1、平面向量、复数第五章第四节平面向量的综合应用高考概览1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1向量在几何中的应用(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：ab a1b2a2b10(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab0a1b1a2b20.abab(3)平面几何中夹角与线段长度计算：cosa，ba1b1a2b2a21a22 b21b22，|AB|AB|AB 2.2向量在解析几何中的应用(1)向量a(a1，a2)平行于直线l，则直线l 的斜率ka2a1(a10)(2)
2、若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l垂直，向量(B，A)与直线 l 平行ab|a|b|x2x12y2y12小题速练1已知向量 a(2，sin)，b(1，cos)，若 ab，则 sin2()A.35B35C.45D45解析 ab，2cossin0，即 sin2cos，故 tan2，sin22sincos 2sincossin2cos2 2tantan2145.答案 C2在ABC 中，ABAC2，BC2 3，则ABAC()A2 3B2 C2 3D2解析 由余弦定理得cosAAB2AC2BC22ABAC22222 3222212，所以ABAC|AB|AC|cosA2212
3、2，故选 D.答案 D3.(2018湖南长沙模拟)如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若AEABAC，则 的值为()A.12B12C1D1解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E12，1，则AE12，1，AB(1,0)，AC(1,1)，由AEABAC，得 12.答案 A4已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD()A32a2B34a2C.34a2D.32a2解析 在菱形 ABCD 中，BACD，BD BABC，所以BD CD(BABC)CD BACD BCCD a2aacos60a212a232a2.答案 D5(201
4、7北京卷)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_解析 解法一：如图，|AO|2，AO AP|AO|AP|cos.当 P 位于 P时，(AO AP)max6.解法二：设 P(x，y)，则1x1，AO AP(2,0)(x2，y)2x4.22x2，22x46.AO AP的最大值为 6.答案 6考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 向量在平面几何中的应用热考点(1)(2017西安高新模拟)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，CD2，BAD4，若AB AC 2AB AD，则AD AC _.(2)(2017咸阳三模)在 RtABC
5、中，CA4，CB3，M，N是斜边 AB 上的两个动点，且 MN2，则CM CN 的取值范围为()A.2，52B4,6C.11925，485D.11925，535思路引导(1)解法一：从已知的向量等式出发 结合图形活用向量的加、减法运算及其几何意义求解解法二：建立平面直角坐标系 利用向量的坐标运算求解(2)可设出线段MN的中点将CM CN 进行适当的转化 结合向量加法的平行四边形法则求解.解析(1)解法一：因为ABAC2ABAD，所以ABAC ABAD ABAD，所以ABDC ABAD.因为 ABCD，CD2，BAD4，所以 2|AB|AB|AD|cos4，化简得|AD|2 2.故AD ACAD
6、(AD DC)|AD|2AD DC(2 2)22 22cos412.解法二：如图，建立平面直角坐标系 xAy.依题意，可设点 D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中 m0，n0，则由ABAC 2ABAD，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以 n(m2)2nm，化简得 m2.故AD AC(m，m)(m2，m)2m22m12.(2)设 MN 的中点为 E，则有CM CN 2CE，所以CM CN 14(CM CN)2(CM CN)2|CE|214|NM|2|CE|21.易知|CE|的最小值等于点 C 到斜边 AB 的距离即125，所以CM CN 的最小值为125211192
7、5.当点 M(或点 N)与点 A 重合时，|CE|最大，此时|CE|2124221445535，所以CM CN 的最大值为485.综上，CM CN 的取值范围是11925，485.故选 C.答案(1)12(2)C解题反思 在本例(1)解法一中，注意向量AD 与DC 的夹角是ADC 的补角，而不是ADC，本例(2)中运用了结论“在ABC 中，若 D 为 BC 中点，则ABAC|AD|14|CB|2，能迅速求解具有共起点的两个向量的数量积问题向量与平面几何综合问题的解法(1)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解(2)坐标法：把几何图形放在适
8、当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决跟踪演练1已知在直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC2，点 P 是斜边 AB 上的中点，则CPCBCP CA_.解析 由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，可得 A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CPCBCPCA(1,1)(0,2)(1,1)(2,0)224.答案 42已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_ 解 析 AE AF (AB BE)(AD DF)AB13BC
9、 AD 1DC ABAD 1ABDC 13BC AD 13BC DC|AB|AD|cos1201|AB|213|BC|2 13|BC|DC|cos1202443 23103231，2.答案 2考点二 向量在三角函数中的应用热考点角度 1：向量与三角恒等变换结合(2017江苏卷)已知向量 a(cosx，sinx)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值思路引导(1)ab转化为坐标 利用三角公式化简(2)a、b代入坐标运算 化成“一角一函数”形式 求最值解(1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所
10、以 3cosx3sinx.若 cosx0，则 sinx0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cosx0.于是 tanx 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，3)3cosx 3sinx2 3cosx6.因为 x0，所以 x66，76，从而1cosx6 32.于是，当 x66，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.角度 2：向量与解三角形结合(2018山东临沂模拟)在ABC 中，若|AC|2 3，且ABcosCBCcosAACsinB.(1)求角 B 的大小；(2)求ABC 的面积 S.思路引导(1)利
11、用ACABBC化简已知条件 由共面向量基本定理，得三角关系式 三角变换求角(2)边角关系求另一边 面积公式求解解(1)因为AC AB BC，所以AB cosCBC cosAACsinB(ABBC)sinB，即(cosCsinB)AB(cosAsinB)BC0.而向量AB，BC 是两个不共线向量，所以cosCsinB，cosAsinB，所以 cosCcosA，因为 A，C(0，)，所以 AC.在等腰ABC 中，ABC，所以 2AB，A2B2.所以 cosAcos2B2 sinB2sinB，所以 sinB22sinB2cosB2，因为 sinB20，所以 cosB212.综合 0B22，所以B23
12、，B23.(2)由(1)知，则 AC6，由正弦定理得，|AC|sin23|BC|sin6，所以|BC|2，SABC12|AC|BC|sin6122 3212 3.解决向量与三角函数、解三角形知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，再进一步转化为实数运算(即坐标运算)，进而利用三角函数或正余弦定理等知识解决问题跟踪演练1(2018山西太原模拟)已知向量 m(sin2，cos)，n(sin，cos)，其中 R.(1)若 mn，求角；(2)若|mn|2，求 cos2 的值解(1)向量 m(sin2，cos)，n(sin，cos)，若 mn，则 mn0，即为sin(sin2)cos20，即
13、sin12，可得 2k6或 2k56，kZ.(2)若|mn|2，即有(mn)22，即(2sin2)2(2cos)22，即为 4sin248sin4cos22，即有 88sin2，可得 sin34，即有 cos212sin212 91618.2(2017江西南昌三校联考)已知 A，B，C 是ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量 m(3，cosA1)，n(sinA，1)，mn.(1)求角 A 的大小；(2)若 a2，cosB 33，求 b 的值解(1)mn，mn 3sinA(cosA1)(1)0，3sinAcosA1，sinA6 12.0A，6A656，A66，A3.(2)在ABC 中
14、，A3，a2，cosB 33，sinB 1cos2B113 63.由正弦定理知 asinA bsinB，basinBsinA 2 63324 23，b4 23.考点三 向量在解析几何中的应用常考点(1)(2016四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P、M 满足|AP|1，PM MC，则|BM|2 的最大值是()A.434 B.494 C.376 34 D.372 334(2)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0,6)，点 P 在圆O：x2y250 上若PAPB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_(2)根据坐标写出PAPB联立方程求x的取值
15、写出x的范围 设Px，y x2y250解析 (1)如图，由|AP|1 知点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 1 为半径的圆由PMMC 知点 M 为 PC 的中点，取 AC 的中点为N，连接 MN，则|MN|12|AP|12，所以点 M的轨迹是以 N 为圆心，以12为半径的圆因为|BN|3，所以|BM|的最大值为 31272，|BM|2 的最大值为494.故选 B.(2)设 P(x，y)，则PAPB(12x，y)(x,6y)x(x12)y(y6)20.又 x2y250，则 2xy50.联立y2x5，x2y250，解得 x5 或 1.结合图形(图略)可得5 2x1，故点 P 的横坐标的取值范围是5
16、 2，1答案(1)B(2)5 2，1向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法跟踪演练1如图，A 是半径为 5 的圆 C 上的一个定点，单位向量AB在A 点处与圆 C 相切，点 P 是圆 C 上的一个动点，且点 P 与点 A不重合，则APAB的取值范围是_解析 如图所示
17、，以 AB 所在直线为 x 轴，AC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设点 P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则AB(1,0)，AP(x，y)，所以APAB(x，y)(1,0)x.因为点 P 在圆 x2(y5)225 上，所以5x5，即5APAB5.所以应填5,5答案 5,52在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 Q(1,1)的直线 l 与曲线y xx1交于 M、N 两点，则ON OQ MO OQ _.解析 曲线 C：y xx11 1x1，曲线 C 的图象关于点(1,1)成中心对称，Q 是线段 MN 的中点，故ON OQ MO OQ OQ(OM ON)2OQ 24.答案 4名师
18、引领 拓视野 思一思 悟一悟 素养达成三角形各“心”的向量表示素养解读：重心：三角形的三条中线的交点，分中线长度为21；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，到三边距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，到三顶点距离相等(1)已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A内心 B外心 C重心 D垂心(2)在上题中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则如何选择？(3)在(1)
19、中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，(0，)，则如何选择？切入点 借助向量的和差运算，结合向量的几何意义进行判断规范解答(1)由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P的轨迹必过ABC 的重心(2)由条件，得OP OA AB|AB|AC|AC|，即APAB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|和 AC|AC|分别表示平行于AB，AC的单位向量，故 AB|AB|AC|AC|平分BAC，即AP平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC
20、 的内心(3)由条件，得APAB|AB|cosBAC|AC|cosC，从而APBCABBC|AB|cosB AC BC|AC|cosC|AB|BC|cos180B|AB|cosB|AC|BC|cosC|AC|cosC0，所以APBC，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心答案(1)C(2)A(3)D三角形各“心”的向量表示(1)O 是ABC 的重心OA OB OC 0.(2)O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA.(3)O 是ABC 的外心|OA|OB|OC|(或OA 2OB 2OC2)(4)O 是ABC 的内心OA AB|AB|AC|AC|OB BA|BA|BC|BC|OC
21、 CA|CA|CB|CB|0.感悟体验1(2017西工大附中四模)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，点 G 在ABC 内，且满足GA GB GC 0，GA GB 0，若 a2b2c2(R)，则()A5B2 C2D5解析 设 BC 的中点为 D，连接 GD，则GB GC 2GD.又GA GB GC 0，所以 2GD AG，所以 A，G，D 三点共线，且 AG2GD.故AG 23AD 2312(ABAC)13(ABAC)同理可得BG 13(BABC)由GA GB 0，得19(ABAC)(BABC)0，所以(ABAC)(AC2AB)0，即|AC|22|AB|2ABAC0，所
22、以 b22c2bcb2c2a22bc0，化简得 a2b25c2.又 a2b2c2(R)，所以 5.故选 D.答案 D2(2018河南八校质量检测)在ABC 中，AB8，AC6，M 为 BC 的中点，O 为ABC 的外心，则AO AM _.解析 如图所示，过点 O 分别作 ODAB，OEAC，则 D，E 分别为 AB，AC 的中点AO AB12AB 232，AO AC 12AC 218.又AM 12(ABAC)，AO AM AO 12(ABAC)12AO AB12AO AC16925.答案 253(2018温州四校联考)已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2，则 O 是ABC 的_解析|OA|2|BC|2|OC|2|AB|2，OA 2BC 2OC 2AB 2，OA 2OC 2AB 2BC 2，(OA OC)(OA OC)(ABBC)(ABBC)，CA(OA OC)AC(ABBC)，AC(OB OB)0，ACOB 0，ACOB.同理，得 OABC，OCAB，O 为ABC 的垂心 答案 垂心
