1、平面向量、复数第五章第一节平面向量的概念及线性运算高考概览1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或模)(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的(3)单位向量：长度等于的向量大小方向长度长度为 0任意1 个单位(4)平
2、行向量：方向或的向量平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上规定：0 与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量(6)相反向量：长度且方向的向量相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反2向量的线性运算 3.两个向量共线定理向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是.有且只有一个实数，使得 ba温馨提示 一个易错点：零向量的性质零向量的方向不确定，所以在处理平行问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行在讨论两个向量共线时，考生容易忽视零向量如：下列叙述错误的是(填序号)若 ab，bc，则 ac；|a|b|ab|a 与 b 方向相同；向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，
3、使得 ba；若 ab，则 ab.提示：对于，当 b0 时，a 不一定与 c 平行对于，当 a，b 之一为零向量时结论不成立对于，当 a0 且 b0 时，有无数个值；当 a0 但 b0 时，不存在对于，当 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 ab，此时不一定有 ab.小题速练1下列结论正确的是()A若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同BABC 中，D 是 BC 中点，则AD 12(ACAB)C向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上D若 ab，则R 使 ba答案 B2若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：ABCD BCDA；AC
4、BD BCAD；ACBD DC AB.其中正确的有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析 式的等价式是ABBC DA CD，左边AB CB，右边DA DC，不一定相等；式的等价式是ACBCADBD，ACCBAD DB AB成立；式的等价式是ACDC ABBD，AD AD 成立答案 C3在ABC 中，ABc，ACb.若点 D 满足BD 2DC，则AD()A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c解析 如图所示，可知AD AB23(AC AB)c23(bc)23b13c.答案 A4四边形 ABCD 中，12DC AB，且|AD|BC|，则这个四边形的形状是()A矩形B平行四
5、边形C等腰梯形D以上都不对解析 由AB12DC 得，ABDC，且|AB|12|DC|，四边形ABCD 为梯形又|AD|BC|，四边形 ABCD 为等腰梯形答案 C5若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 的起点相同，已知 a，tb，13(ab)三个向量的终点在同一条直线上，则 t_.解析 设OA a，OB tb，OC 13(ab)，则AC OC OA23a13b，ABOB OA tba.要使 A，B，C 三点共线，只需AC AB，即23a13btba 即可，又 a，b 是两个不共线的非零向量，23，13t，解得23，t12，当三个向量的终点在同一条直线上时，t12.答案 12考点突破
6、提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 平面向量的概念基础考点 给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()ABCD解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长
7、度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A.答案 A向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(4)非零向量 a 与 a|a|的关系是：a|a|是 a 方向上的单位向量跟踪演练 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模
8、能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1B2 C3D4解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当 a0时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故选 C.答案 C考点二 平面向量的线性运算常考点 (1)(2018贵州模拟)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC(2)(2
9、017河北保定期中)如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若ACAM BD，则()A.43B.53C.158D2思路引导 写出ab向量的坐标 由坐标运算得关于方程 解方程得值解析(1)由题意得AD ACCD AC13BCAC13AC 13AB13AB43AC，故选 A.(2)ACABAD，AM ABBM AB12AD，BD AD AB.ACAM BD AB12AD(AD AB)()AB2 AD，1，21，解得 43，13.53.故选 B.答案(1)A(2)B向量的线性运算的解题规律(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量
10、，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减(向量)”；平行四边形法则的要素是“起点重合”(2)善于利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(3)PAPBPC0P 为ABC 的重心；(4)AD 12(ABAC)D 是ABC 中 BC 边的中点跟踪演练1在ABCD 中，ABa，AD b，AN 3NC，M 为 BC 的中点，则MN()A14a14bB12a12bCa12bD34a34b解析 由AN3NC 得 4AN3AC3(ab)，又AM a1
11、2b，所以MN ANAM 34(ab)a12b 14a14b.答案 A2(2017云南曲靖联考)在ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD 2DC，CE3EA，若ABa，ACb，则DE()A.13a 512bB.13a1312bC13a 512bD13a1312b解析 DE DC CE13BC34CA13(ACAB)34AC13AB 512AC13a 512b，故选 C.答案 C考点三 共线向量定理及应用常考点 设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线思路引导
12、(1)证明BD AB.(2)利用 kab(akb)求 k.解(1)证明：ABab，BC2a8b，CD 3(ab)BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB.AB，BD 共线，又它们有公共点，A，B，D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两不共线的非零向量，kk10.k210，k1.(1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数，使 ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系
13、，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线跟踪演练1已知向量ABa3b，BC 5a3b，CD 3a3b，则()AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线解析 BD BCCD 2a6b2AB，BD 与AB共线，由于BD 与AB有公共点 B，因此 A，B，D 三点共线，故选 B.答案 B2已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，并且 ab 与 c共线，bc 与 a 共线，那么 abc 等于()AaBbCcD0解析 ab 与 c 共线，abc(0)(*)又 bc 与 a 共线，bca(0)cab 代入(*)得ab(ab)ab11 1.由(*)得 ab
14、cabc0.答案 D 设OA，OB 不共线，求证：点 P，A，B 共线的充要条件是：OP OA OB 且 1，R.思路引导 从充分性和必要性两方面论证证明“充分性”：由OP OA OB，且 1得OP OA(1)OBOB(OA OB)OP OB BA即：BPBA，P、A、B 三点共线“必要性”：由 P、A、B 三点共线，有BPBA，OP OB(OA OB)整理得OP OA(1)OB，令 1，则OP OA OB，OA、OB 不共线，P、A、B 三点共线本例给出了三点共线问题的一个模型，此例的结论也经常用来解选择、填空题跟踪演练1在ABC 中，AD 2DB，CD 13CACB，则 _.解析 利用例
15、4 的结论，A、D、B 共线，131，23.答案 232.如图所示，在ABC 中，AN 13AC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_解析 AN13ACAPmAB 211ACmAB 611ANB、P、N 三点共线，m 6111.m 511.答案 5113(2017西安高级中学三模)在ABC 中，AE2EB，AF3FC，连接 BF，CE，且 BFCEM，AM xAEyAF，则 xy等于()A 112B.112C16D.16解析 因为AE2EB，所以AE23AB，所以AM xAEyAF23xAByAF.由 B，M，F 三点共线得23xy1.因为AF3FC，所以AF34AC，所以AM xAEyAFxAE34yAC.由 C，M，E 三点共线得 x34y1.联立解得x12，y23，所以 xy122316，故选 C.答案 C
