1、平面解析几何第九章第二节两直线的位置关系高考概览1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2 .当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2 .当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0时
2、，l1l2.k1k212两条直线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解3距离小题速练1已知过点 A(2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2xy10平行，则实数 m 的值为()A0 B8 C2 D10解析 由题意知4mm22，解得 m8.答案 B2过点(1,0)，且与直线 x2y20 垂直的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析 因为直线 x2y20 的斜率为12，所以所求直线的斜率 k2.所以所求直线的方程为 y02(x1)，即 2xy20.答案 C
3、3a1 是直线 yax1 和直线 y(a2)x1 垂直的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 当 a1 时，yx1 与 yx1 互相垂直，若两直线垂直，则 a(a2)1，即 a22a10，得 a1，a1 是两直线 yax1 与 y(a2)x1 垂直的充要条件答案 C4(2017河北保定联考)光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为()Ay3x3 By3x3Cy3x3 Dy3x3解析 点 M 关于 x 轴的对称点 M(2，3)，则反射光线即在直线 NM上，由 y030 x121，y3x3，故选 B.答案 B5直线 2
4、x2y10，xy20 之间的距离是_解析 先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d2122 3 24.答案 3 24考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 两条直线的位置关系常考点 已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210，(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)l1l2 时，求 a 的值思路引导 分类明确直线的斜率 运用位置关系建立等式 得结果解(1)解法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：
5、ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由 l1l2a2 11a，3a1，解得 a1，综上可知，a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行解法二：由 A1B2A2B10，得 a(a1)120，由 A1C2A2C10，得 a(a21)160，由 l1l2aa1120aa21160 a2a20，aa216.a1，故当 a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行(2)解法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2不垂直；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 与 l2 不垂直；当 a1 且 a0 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由a2 11a
6、1a23.解法二：由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.判断两条直线位置关系的 2 种方法判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑方法一：若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线 l1l2k1k2，b1b2，l1l2 的充要条件是 k1k21.方法二：设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2的充要条件是A1B2A2B1且A1C2A2C1；l1l2A1A2B1B20.跟踪演练1(2018衡水中学一调)直线 l1：(3a)x4y53a 和直
7、线l2：2x(5a)y8 平行，则 a()A7 或1 B7C7 或 1 D1解析 由题意，得3a5a240，3a8253a0，解得 a7.故选 B.答案 B2已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，若 l1l2，则 m_；若 l1l2，则 m_.解析 若 l1l2，则 1(m2)3m0，m12；若 l1l2，则 3m(m2)0 且 2m6(m2)0，m1.答案 12 1考点二 距离问题常考点(1)过点 P(2，1)且与原点距离为 2 的直线方程为_(2)若直线 4x3y50 与直线 4xay60 平行，则它们之间的距离为_思路引导(1)设直线方程 点到直线的距离公式(2)两直线
8、平行求出a 两平行线间距离解析(1)当 l 的斜率 k 不存在时显然成立，l 的方程为 x2；当 l 的斜率 k 存在时，设 l：y1k(x2)，即 kxy2k10.由点到直线距离公式得|2k1|1k2 2，k34，l：3x4y100.故所求 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)由两直线平行得 a3，由两平行直线间距离公式，得d|56|4232115.答案(1)x2 或 3x4y100(2)115拓展探究(1)本例(1)改为“已知直线 l 过点 P(3，4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_”(2)本例(2)中的直线 4xay60 改为直线 8xay60
9、，其他条件不变，结果如何？解析(1)显然直线 l 斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知，得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23.所求直线 l 的方程为 2xy20 或 2x3y180.(2)直线 4x3y50 与直线 8xay60 平行，483a，得 a6.故直线 8x6y60 方程化为 4x3y30.两平行直线间的距离 d|53|423285.答案(1)2x3y180 或 2xy20(2)85公式法求距离应注意以下两点(1)求点到直线距离时，直线方程一定化成 AxByC0 的形式即直线方程的一般式(2)求两平行线间的
10、距离时，一定化成 l1：AxByC10，l2：AxByC20 的形式即两直线方程中的一般式中 x，y 的系数要对应相等跟踪演练1过点 P(3，1)引直线，使点 A(2，3)，B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为_解析 若直线的斜率不存在，则其方程为 x3，满足条件；若直线的斜率存在，设其方程为 y1k(x3)，即 kxy3k10，由题意得|2k33k1|k21|4k53k1|k21解得 k4，此时直线方程为 4xy130，综上，直线的方程为 x3 或 4xy130.答案 x3 或 4xy1302已知 l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2
11、 间的距离最大时，直线 l1 的方程是_解析 当直线 AB 与 l1，l2 垂直时，l1，l2 间的距离最大因为 A(1,1)，B(0，1)，所以 kAB1101 2，所以两平行直线的斜率 k12，所以直线 l1 的方程是 y112(x1)，即 x2y30.答案 x2y30考点三 对称问题常考点角度解读：对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型单独命题的机会不大，往往与曲线方程或函数图象为背景考查，有一定难度角度 1：点关于点的对称 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_解析 设 l1
12、 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.答案 x4y40角度 2：点关于直线的对称 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标为_解析 设 A(x，y)，由已知得y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413，故 A3313，413.答案 3313，413角度 3：直线关于直线的对称 已知直线 l：xy10，l1：2xy20.若直线l2
13、 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析 由xy10，2xy20，得交点(1,0)，取 l1 上的点(0，2)，其关于直线 l 的对称点为(1，1)，故直线 l2 的方程为 y010 x111，即 x2y10，故选 B.答案 B对称问题的 2 个关注点(1)中心对称：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点
14、的连线与对称轴垂直；二是两对称点连线的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪演练1直线 l：4x3y20 关于点 A(1,1)对称的直线方程为()A4x3y40 B4x3y120C4x3y40 D4x3y120解析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点 P 关于点 A 对称的点 P(x，y)必在直线 l 上由xx2，yy2，得 P(2x,2y)，所以 4(2x)3(2y)20，即 4x3y120.故选 B.答案 B2一条光线沿直线 2xy20 入射到直线 xy50 后反射，则反射光
15、线所在直线方程为_解析 取直线 2xy20 上一点(0,2)，设点(0,2)关于直线xy50 的对称点是 B(a，b)，则a2b22 50，b2a 1，解得a3，b5，所以 B(3,5)联立方程2xy20，xy50，解得x1，y4.所以直线 2xy20 与 xy50 的交点为 P(1,4)所以反射光线所在直线的方程为 x2y70.答案 x2y70名师引领 拓视野 思一思 悟一悟 素养达成几种常见的直线系方程及应用素养解读：所谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体，有时又称直线束方程在解决直线方程问题时，若能巧妙地运用直线系方程的有关结论，有时可以收到事半功倍之效果 1平行直线系 过点(
16、1,2)与直线 3x4y10 平行的直线方程为_切入点 设出平行直线系方程求解规范解答 设所求直线方程为 3x4y0，代入(1,2)得 11，故所求直线方程为 3x4y110.答案 3x4y110斜率为 k 的平行直线系为 ykxb；与直线 AxByC0平行的直线系方程为 AxBy0，其中 为参数(C)2垂直直线系 与直线 2x3y10 垂直，且在 x 轴上的截距为2的直线方程是_切入点 设出垂直直线系方程求解规范解答 设所求直线的方程为 3x2y0，令 y0，得 x3.由32，得 6.故所求直线方程为 3x2y60.答案 3x2y60与直线 AxByC0 垂直的直线系为 BxAy0(为参数)
17、3过定点的直线系 直线(m1)x(m3)y(m11)0(m 为参数)恒过的定点坐标为_切入点 将含有参数的项合并在一起观察关键点 对直线系方程的理解：每一个 m 值都对应一条直线采用恒等式法或特殊直线法求解规范解答 解法一：将方程变为x3y11m(xy1)0，由x3y110，xy10，得x72，y52，故直线恒过定点72，52.解法二：分别令 m1，m3，得4y100，4x140，所以x72，y52，故直线恒过定点72，52.答案 72，52(1)过定点(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)(k 为直线的斜率)或 A(xx0)B(yy0)0(A、B 不同时为 0)(2)求直线系过定点
18、问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于 x，y 的方程组求出定点坐标特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点4过两直线交点的直线系 过直线 x2y10 与直线 2xy10 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_切入点 设出直线系方程，求出参数即可规范解答 设所求直线方程为 x2y1(2xy1)0，当直线过原点时，10，得 1，此时所求直线方程为 x2y0；当直线不过原点时，令 x0，得 y12，令 y0，得x 121.由题意得，12 121，解得 13或 1(舍)此时所求直线方程为 5x5y40.综上所述，所求直线方程
19、为 x2y0 或 5x5y40.答案 x2y0 或 5x5y40过直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数)，其中不包括直线 l2.感悟体验1与直线 x2y30 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是_解析 设所求直线方程为 x2y0，令 x0，得 y2；令 y0，得 x.由题意，得122|4，解得 4.故所求直线方程为 x2y40.答案 x2y402经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程为_解析 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x
20、2yC10，又直线过点(2,1)，所以有 221C10，解得 C10，即所求直线方程为 x2y0.答案 x2y03直线 mxym10(m 为参数)经过定点的坐标为_解析 解法一：(恒等式法)直线方程化为 m(x1)y10，由x10，y10，得 x1，y1.故直线 mxym10 过定点(1,1)解法二：(特殊直线法)取 m0，得 y1，取 m1，得 xy20，由得 x1，y1.故直线 mxym10 过定点(1,1)答案(1,1)4过直线 x2y40 和直线 xy20 的交点，且与直线 3x4y50 垂直的直线方程为_解析 设所求直线方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y(42)0，则其斜率 k12，由题意可知，12341，得 11.故所求直线方程为 4x3y60.答案 4x3y60
