1、第二讲 数形结合思想配套作业一、选择题1已知0a1，则方程a|x|logax|的实根个数为(B)A1个B2个C3个 D1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画出两个函数图象(如右图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根2(2015安徽卷)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是(A)Aa0，b0，d0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0，d0，令x0d0，又f(x)3ax22bxc，可知x1、x2是f(x)0的两根，由图可知x10，x20.故A正确3定义在R上的偶函数yf(x)满足f(
2、x2)f(x)，当x3，4时，f(x)x2，则(C)AffBffCf(sin 1)f(cos 1)Dff解析：由f(x)f(x2)知T2为f(x)的一个周期，设x1，0，知x43，4，f(x)f(x4)x42x2，画出函数f(x)的图象，如图所示：A：sin cos ff；B：sincosff；C：sin 1cos 1f(sin 1)f(cos 1)；D：sincosff.4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1、抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)A2 B3 C. D.解析：记抛物线y24x的焦点为F，是F(1，0)，注意到直线l2：x1是抛物线y24x
3、的准线，于是抛物线y24x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y24x上的动点P到直线l1：4x3y60的距离与它到焦点F(1，0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即等于2.故选A.5已知P为抛物线y24x上的一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是(C)A5 B8 C.1 D.2解析：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0，4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，由抛物线的定义有d|PF|，所以|PQ|d|PQ|PF
4、|(|PC|1)|PF|CF|11.6函数f(x)2xx32在区间(0，1)内的零点个数是(B)A0个 B1个 C2个 D3个解析：解法一因为f(0)1021，f(1)22328，即f(0)f(1)0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，故f(x)在(0，1)内的零点个数是1.解法二设y12x，y22x3，在同一坐标系中作出两函数的图象(如下图所示)，可知B正确7(2015北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是(C)Ax|1x0 Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2解析：令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得 结合图象知不等
5、式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1二、填空题8当x(1，2)时，(x1)2logax恒成立，则a的取值范围为_解析：在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象，若ylogax过(2，1)，则loga21，a2.结合图形，若使x(1，2)时，(x1)2logax恒成立，则1a2.答案：(1，2三、解答题9已知0x，方程sin2x2sin xcos x3cos2xa0有3个实数根，求a的取值范围解析：原方程可化为2sin 2xcos 2xa0，即sina2.令f(x)sin(2x)(0x)，则原方程有3个实根等价于yf(x)与ya2有3个交点由图象可得1a21，a的
6、取值范围为3，1)10已知圆C过椭圆y21的右焦点，且圆心在x的正半轴上，且直线l：yx1被圆C截得的弦长为2.(1)求圆C的标准方程；(2)从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标解析：(1)在椭圆y21中，c2a2b21，所以c1，于是右焦点为(1，0)设圆心为(t，0)(t0)，圆心到直线的距离为d.注意到弦长、半径、弦心距满足：r2d2，即2(t1)2，解之得t3或t1(舍去)，半径r312，所以圆C的标准方程为(x3)2y24.(2)如图，不妨设P(x，y)，由于|PM|2|PC|2|CM|2，且|PM|PO|，所以|PO|2|PC|2|CM|2，也即|PC|2|PO|2|CM|24，于是(x3)2y2(x2y2)4，即x，即点P所在曲线方程为x.要使|PM|最小，由|PM|2|PC|24，只需|PC|最小，也即圆心到直线x的距离最小，可知点P在x轴上时满足题意，即点P.
