1、第一章 立体几何初步 2 直观图 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握斜二测画法的步骤(重点)2会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(重点、难点)3通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.1.通过用斜二测画法画简单图形的直观图培养直观想象素养2通过观察直观图了解空间几何体的表示形式，提升数学抽象素养.自 主 预 习 探 新 知 1斜二测画法(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy，它们确定的平面表示水平平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段45
2、(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中；平行于y轴的线段，.长度为原来的12保持原长度不变思考：相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定，如正方形的直观图是平行四边形 2立体图形的直观图的画法 立体图形直观图画法的“四步曲”：性和长度都不变平行1水平放置长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A BCD答案 C2下面说法正确的是()A水平放置的正方形的直观图可能是梯形B两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线C互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形D 正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，A 错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行
3、，B 错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C 错，只有 D 正确3 如 图，直 观 图 ABC(其 中 ACOy，BCOx)所表示的平面图形是()A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形D 由 ACOy，BCOx知，在原图形中，ACCB，所以对应的平面图形为直角三角形4在棱长为 4 cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，作直观图时，棱 AA1 在 x 轴上，棱 AD 在 y 轴上，则在其直观图中，对应棱 AD的长为_cm，棱 AA1的长为_cm.2 4 在 x 轴上的线段长度不变，故 AA14 cm，在 y 轴上的线段变成原来的一半，故 AD2 cm.合 作 探 究 释
4、 疑 难 平面直观图的画法【例 1】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解(1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相应的 x轴和 y轴，使xOy45，如图所示(2)在 x轴上截取 OBOB，在 y轴上截取 OD12OD，过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC.连接 BC，如图.(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容
5、易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定2要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系跟进训练1用斜二测画法画如图所示边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图解(1)如图所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴(2)画对应的 x轴、y轴，如图，使xOy45.在 x轴上截取 OBOCOBOC2 cm，在 y轴上取 OA12OA，连接 AB，AC，去掉辅助线，则三角形ABC即为正三角形 ABC 的直观图，如图所示
6、空间几何体的直观图的画法【例 2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解 画法：(1)画轴画 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴，xOy45(或135)，xOz90，如图.(2)画底面以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度等于原四棱锥的高(4)成图顺次连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于 z 轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴画底
7、面画侧棱成图跟进训练2用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,2 cm 的长方体ABCD-ABCD的直观图解 画法：(1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN4 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使 PQ32 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A，B，C，D，四边形 ABCD 就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段
8、 AA，BB，CC，DD.(4)成图顺次连接 A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图.直观图的还原及有关计算探究问题1如图是一梯形 OABC 的直观图 OABC，OCh，根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？提示：原图形是一个直角梯形且高为 2 h.2已知ABC的直观图如图所示，你能求出原ABC的面积吗？你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？提示：由题意，易知在ABC 中，ACAB，且 AC6，AB3，SABC12639.又 SABC123(3sin 45)9 24，SABC 24 SABC.【例 3】如图所示，一个水平放置的平面
9、图形的斜二测画法的直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，求原四边形的面积思路探究 分别以 BC，AB所在的直线为 x轴，y轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积 解 如图是四边形的直观图，取 BC所在直线为 x轴因为ABC45，所以取 BA所在直线为 y轴 过 D作 DEAB，DE交 BC于 E，则 BEAD1.又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形，所以 EC 2.再建立一个直角坐标系 xOy，则 O，B 重合，如图所示，在 x轴上截取线段 BCBC1 2，在 y 轴上截取线段 BA2BA2.过 A 作 ADBC，截取 ADAD1.连接 CD，则四边形 ABCD
10、 就是四边形 ABCD的平面图形 四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD1，下底 BC1 2，高AB2，所以 S 梯形 ABCD12AB(ADBC)122(11 2)2 2.1若将例题中图形变为如图所示的图形，试求原图形面积解 将该三角形还原后可知|OA|2|OA|，|OB|OB|，则 SABO1212 2 2.故原图形面积为 2.2若将例题中直观图换为下图，试求原图形的周长解 如图为原平面图形 由斜二测画法可知，OB2OB2 2，OCOCABAB1，且 ABOC，BOC90.所以四边形 OABC 为平行四边形，且 BC OC2OB2 183，故平行四边形 OABC 的周长为 2(OCBC)
11、8.将直观图还原为平面图的关键是找与 x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段还原时长度不变，平行于 y轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.课 堂 小 结 提 素 养 1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox，O
12、y 轴，在直观图中画成Ox，Oy轴，使xOy45或 135.(2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”1思考辨析(1)用斜二测画法画直观图时，在原图 x 轴上长为 4 的线段，在直观图中的长度为 4.()(2)正方形的直观图仍是正方形()(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形()(4)用斜二测画法画直观图时，平行于 y 轴的线段在直观图中长度减半()解析(2)，正方形的直观图是平行四边形 答案(1)(2)(3)(4)2水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 AC3，BC2，则 AB 边上的中线的实际长度为_2.5 由题图知原图是以 3,4 为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半3如图为ABO 水平放置的直观图，其中 ODBD2AD，且 BDy轴，由图判断原三角形中 AB，OB，BD，OD 的大小关系是_ODBDABABBDOD.4已知一等腰ABC 底边 ABa，高为 32 a，求用斜二测画法得到的直观图的面积解 如图所示的是实际图形和直观图，由图可知，ABABa，OC12OC 34 a，在图中作 CDAB于 D，则 CD 22 OC68 a，所以 SABC12ABCD12a 68 a 616a2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
