1、 类型1指数与对数的运算1本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点2指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧【例1】计算：(1)2log32log3log385log53；(2)1.5080.25()6.解(1)原式log33231.(2)原式22223321427110.1设3x4y36
2、，则的值为()A6B3C2D1D由3x4y36得xlog336，ylog436，2log363log364log369log364log36361. 类型2指数函数、对数函数的图象及应用函数yax及ylogax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称，前者恒过(0,1)点，后者恒过(1,0)点，两函数的单调性均由底数a决定在解题中要注意由翻拆、平移等变换得出的函数图象【例2】(1)已知a0且a1，则函数f(x)ax和g(x)loga的图象只可能是()(2)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)(1)C(2)C(1)由题
3、意可知f(x)ax与g(x)loga的单调性相同，故排除选项D，又g(1)loga10，排除选项AB，故选C.(2)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.2(1)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列图象对应的函数正确的是() ABC D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x.如图，画出函数f(x)的图象；根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域(1)B由已知函数图象可得，lo
4、ga31，所以a3.A项，函数解析式为y3x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y(x)3x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为ylog3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为yx3，与图象相符故选B.(2)解先作出当x0时，f(x)x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x(，0)时的图象函数f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1 类型3指数函数、对数函数的性质及应用以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等在解含对数式的方程或解不等
5、式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围【例3】(1)若0xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yDx0，a1且loga3loga2，若函数f(x)logax在区间a,3a上的最大值与最小值之差为1.求a的值；若1x3，求函数y(logax)2loga2的值域(1)C因为0xy1，则对于A，函数y3x在R上单调递增，故3x3y，A错误对于B，根据底数a对对数函数ylogax的影响：当0a1时，在x(1，)上“底小图高”因为0xylogy3，B错误对于C，函数ylog4x在(0，)上单调递增，故log4xy，D错误(2)解因为loga3loga2，所以f
6、(x)logax在a,3a上为增函数又f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)logaa1，即loga31，所以a3.函数y(log3x)2log32(log3x)2log3x22.令tlog3x，因为1x3，所以0log3x1，即0t1.所以y2，所以所求函数的值域为.3(1)设alog2，b，c2，则()AabcBbacCacbDcba(2)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数(1)C(2)A(1)alog2l
7、og221，b10，c2，即0ccb，故选C.(2)由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数又f(x)lnln，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数 类型4函数的零点与方程的根函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性【例4】已知定义在R上的函数yf(x)的图象是一条不间断的曲线，f(a)f(b)，其中ab，设F(x)f(x
8、)，求证：函数F(x)在区间(a，b)上有零点证明f(x)在(a，b)上不间断，F(x)f(x)在(a，b)上连续又f(a)f(b)，f(a)f(b)0.F(a)f(a)，F(b)f(b)，F(a)F(b)0，即F(a)F(b)0.函数F(x)在区间(a，b)上有零点4(1)方程x的根x0所在的区间为()A(0,1)B(1,2) C(2,3)D(3,4)(2)设x表示不超过实数x的最大整数，则方程2x2x10的根有()A4个B3个 C2个D1个(1)B(2)B(1)令f(x)x，易知f(x)在R上单调递增，f(1)0，f(1)f(2)0，a1，m0)解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应
9、解析式，然后利用相应解析式解决实际问题【例5】2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为ykln(mx)ln(m)4ln 2(其中k0)当燃料质量为(1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8
10、km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)解(1)由题意得4klnm(1)mln(m)4ln 2，解得k8，所以y8ln(mx)ln(m)4ln 28ln .(2)由已知得Mmx479.8，则m479.8x，又y8，则88ln ，解得x303.3.故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.5某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)p0ekt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.(1)求函数关系
11、式p(t)；(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 20.3)解(1)根据题意，得p0p0ek，ek，p(t)p0t.(2)由p(t)p0tp0，得t103，两边取对数并整理得t(13lg 2)3，t30.因此，至少还需过滤30个小时1(2020全国卷)设alog342，则4a()AB CDB法一：因为alog342，所以log34a2，则有4a329，所以4a，故选B.法二：因为alog342，所以alog342，所以log34a2，所以4a32，故选B.法三：因为alog342，所以log43，所以43，两边同时平方得4a9，所以4a，故选B.2(20
12、20全国卷)设alog32，blog53，c，则()AacbBabcCbcaDcabA 2332，23，log32log33，ac.3352，35，log53log55，bc，acb，故选A.3(2020新高考全国卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需
13、要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天B1.8天 C2.5天D3.5天BR01rT，3.2816r，r0.38.若则e0.38(t2t1)2,0.38(t2t1)ln 20.69，t2t11.8，选B.4(2020天津高考)设a30.7，b0.8，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDcaa1，log0.70.8log0.70.71，ca2bBab2Dab2B令f(x)2xlog2x，因为y2x在(0，)上单调递增，ylog2x在(0，)上单调递增，所以f(x)2xlog2x在(0，)上单调递增又2alog2a4b2log4b22blog2b22blog22b，所以f(a)f(2b)，所以a2b.故选B.
