1、2.2 圆的一般方程考 纲 定 位重 难 突 破1.正确理解圆的一般方程及其特点2.会由圆的一般方程求其圆心、半径3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用4.初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用.重点：用二元二次方程表示圆的条件及圆的一般方程解题难点：圆与方程、不等式结合命题方法：数形结合思想在解题中的应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理 圆的一般方程1方程：当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 叫作圆的一般方程，其圆心为 C，半径为 r.2说明：方程 x2y2DxEyF0 不一定表示圆，当且仅当时，表示圆；
2、当 D2E24F0 时，表示一；当 D2E24F0个点(D2，E2)不表示任何图形双基自测1方程 x2y22x4y60 表示的图形是()A以(1，2)为圆心，11为半径的圆B以(1,2)为圆心，11为半径的圆C以(1，2)为圆心，11为半径的圆D以(1,2)为圆心，11为半径的圆解析：方程可化为(x1)2(y2)211，可知该方程表示圆心为(1,2)，半径为 11的圆答案：D2如果方程 2x22y2ax120 表示的曲线是圆，则实数 a 的取值范围是()A(，2)(2，)BRC(2,2)D(，22，)解析：原方程可化为 x2y2a2x140，所以方程表示圆的条件是a224140，即a24，解得
3、 a2 或 a0)依题意得D2EF50，DF10，D2E10，解得D2，E2，F1，所以圆的方程为 x2y22x2y10.探究一 判断二元二次方程是否表示圆典例 1 判断方程 x2y24mx2my20m200 能否表示圆若能表示圆，求出圆心和半径解析 解法一 由方程 x2y24mx2my20m200，可知 D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，当 m2 时，它表示一个点；当 m2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为 r12D2E24F 5|m2|.解法二 原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当 m2
4、时，它表示一个点；当 m2 时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为 r 5|m2|.1解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与 y2 的系数是否相等；(2)不含 xy 项当它具有圆的一般方程的特征时，再看 D2E24F0 是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数2(1)圆的标准方程平方展开整理配方圆的一般方程(2)由公式求半径和圆心坐标时，一定要注意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且为 1.1已知方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490 表示圆(1)求实数 t 的取值范围；(2)求该圆的半径 r 的
5、取值范围解析：(1)方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490 表示圆，4(t3)24(14t2)24(16t49)0，即 7t26t10，解得17t1.故实数 t 的取值范围为(17，1)(2)r2(t3)2(14t2)2(16t49)7t26t17(t37)2167，r2(0，167，r(0，4 77，即 r 的取值范围为(0，4 77 探究二 求圆的一般方程典例 2(1)已知点 A(2，2)，B(5,3)，C(3，1)，求ABC 的外接圆的方程；(2)已知一个圆经过 P(4，2)，Q(1,3)两点，且圆心到直线 PQ 的距离为 22，求该圆的方程解析(1)设圆的方程为 x2y
6、2DxEyF0，依题意有2D2EF8，5D3EF34，3DEF10，解得D8，E10F44.于是圆的方程为 x2y28x10y440.(2)依题意，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则有(4a)2(2b)2r2，(1a)2(3b)2r2，又 kPQ3214 1，于是 PQ 所在直线的方程为 y3(x1)，即 xy20，因此有|ab2|2 22.解组成的方程组可得a1，b0，r 13或a2，b1，r 13.于是所求圆的方程为(x1)2y213 或(x2)2(y1)213.1用待定系数法求圆的一般方程的步骤：(1)设出一般方程 x2y2DxEyF0；(2)根据题意，列出关于 D，E
7、，F 的方程组；(3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程2对圆的一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标或半径来列方程组时，通常设圆的标准方程求解；(2)如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系，可通过设圆的一般方程求解2在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆C 的方程解析：法一：曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)，设圆的方程是 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有1EF0，32 22D32 2F0，32 22D32 2
8、F0，解得D6，E2，F1，满足 D2E24F0，故圆的方程是 x2y26x2y10.法二：曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)故可设圆 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1.则圆 C 的半径为 32t123，所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29.探究三 圆的方程的综合应用典例 3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面 2 m，水面宽12 m，当水面下降 1 m 后，水面宽多少米？解析 以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系，设圆心为 C，水面
9、所在弦的端点为 A，B，则由已知得 A(6，2)，B(6，2)，设圆拱所在的圆的方程为 x2y2DxEyF0，因为原点在圆上，所以 F0，另外点 A，点 B 在圆上，所以406D2E0，406D2E0.D0，E20，圆的方程为 x2y220y0.当水面下降 1 m 后，可设点 A的坐标为(x0，3)(x00)，如图所示，将 A的坐标(x0，3)代入圆的方程，求得 x0 51，所以，水面下降 1 m 后，水面宽为 2x02 51(m)在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助3一辆卡车宽 3 m，
10、要经过一个半径为 5 m 的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的距离不得超过 4 m，试用数学知识进行验证解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为 x2y225(y0)，当 x3 时，y4，即高度不得超过 4 m.圆的一般方程的应用典例(本题满分 12 分)已知方程 x2y2ax2ay2a2a10.(1)若此方程表示圆，求实数 a 的取值范围；(2)求此方程表示的圆的面积最大时 a 的值及此时圆的方程 规范解答(1)由条件知 a2(2a)24(2a2a1)0.2 分即 3a24a40，所以2a23.即实数 a 的取值范围为2，23.6 分(2)要使圆的面积
11、最大，只需圆的半径最大即可，由于 r12D2E24F123a24a4123a232163.9 分因为2a23，所以 a23时，r 取得最大值，从而圆的面积取得最大值，此时圆的方程为 x2y223x43y790.12 分规范与警示(1)解题过程中处根据一般式确定出关于 a 的不等式是解题的关键，也是失分点(2)在求圆的面积的最大值时，将面积问题转化为求半径的函数问题，利用函数最值的求法求圆的面积最大时 a 的值，如处，是又一失分点随堂训练 1方程 x2y24x4y10k0 表示圆，则 k 的取值范围是()Ak2Ck2 Dk2解析：依题意有(4)2424(10k)0，解得 k2.答案：B2圆 x2
12、y24x0 的圆心坐标和半径分别为()A(0,2)，2 B(2,0)，4C(2,0)，2 D(2,0)，2解析：圆的方程可化为(x2)2y24，可知圆心坐标为(2,0)，半径为 2.故选 D.答案：D3若圆经过两点(2,0)和(0，4)，且圆心在直线 yx 上，则其方程为_解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，依题意得402DF0，0164EF0，D2E2，解得D6，E6，F8，所以圆的方程是 x2y26x6y80.答案：x2y26x6y804已知一个圆过点 A(4,2)，B(1,3)，且它在坐标轴上的截距之和为 2，求此圆的方程解析：设该圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，所以该圆在 x 轴上的截距之和为 x1x2D；令 x0，得 y2EyF0，所以该圆在 y 轴上的截距之和为 y1y2E.由题意，知 x1x2y1y2(DE)2，所以 DE2.又 A(4,2)，B(1,3)两点在圆上，所以 1644D2EF0，19D3EF0，由，得 D2，E0，F12.故所求圆的方程为 x2y22x120.课时作业
