1、专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.(2020全国,文10)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+)单调递增B.是奇函数,且在(0,+)单调递减C.是偶函数,且在(0,+)单调递增D.是偶函数,且在(0,+)单调递减2.函数y=-x4+x2+2的图象大致为()3.设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当xf(sin )B.f(sin )f(cos )C.f(cos )f(cos )D.f(cos )f(sin )6.(2020全国,文12)已知函数f(x)=sin x+1sinx,则()A.f(x)的最小值为2B.f(
2、x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=对称D.f(x)的图象关于直线x=2对称7.已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.508.已知f(x)是R上的偶函数,fx+2=-f(x),当0x2时,f(x)=sin x,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是()A.12B.10C.6D.59.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log1
3、2a)2f(1),则a的取值范围是.11.设奇函数y=f(x)(xR),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且当x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.12.若f(x)+3f1x=x+3x-2log 2x对x(0,+)恒成立,且存在x02,4,使得f(x0)m成立,则m的取值范围为.13.若不等式3x2-logax0在x0,13内恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练14.定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1x0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.14B.-14C.-15D.1515.已知函数图象如图所示,则
4、其对应的函数解析式可能是()A.y=2x-x2-1B.y=2xsin xC.y=xlnxD.y=(x2-2x)ex16.(2020全国,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.acbB.abcC.bcaD.cab17.已知函数f(x)=|x|+2,x0.若对任意x-3,+),f(x)|x|恒成立,则a的取值范围是.20.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.专题能力训练5基本初等函数、函数的
5、图象和性质一、能力突破训练1.A解析:由题意可知,f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.f(x)=x3-1x3,f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3-1x3=-f(x),f(x)为奇函数.易知f(x)=x3-1x3在区间(0,+)内单调递增.故选A.2.D解析:当x=0时,y=20,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+22.排除C.故选D.3.D解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.4.C解析:f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).当x(0
6、,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.5.B解析:根据题意,得当x(-1,0)时,f(x)=2-x=12x,则f(x)在区间(-1,0)内为减函数.又f(x)为偶函数,则f(x)在区间(0,1)内为增函数.若,为锐角三角形的两个内角,则+90,即90-,所以sinsin
7、(90-)=cos,所以f(sin)f(cos).6.D解析:由sinx0可得函数的定义域为x|xk,kZ,关于原点对称,且函数f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),故该函数为奇函数,其图象关于原点对称,选项B错误;令t=sinx,则t-1,0)(0,1,由g(t)=t+1t的性质,可知g(t)(-,-22,+),故f(x)无最小值,选项A错误;由f(2-x)=sin(2-x)+1sin(2-x)=-sinx-1sinx=-f(x),f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
8、选项D正确.故选D.7.C解析:由题意,可得f(-x)=f(2+x)=-f(x),则f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).故f(x)的周期为4.f(x)为定义在(-,+)上的奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.8.B解析:由fx+2=-f(x),可得函数f(x)的周期为,作出函数y=f(x)与y=lg|x|的图象,由图象可知,当x0时,两函数图象有5个交点
9、.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.9.1解析:f(x)是偶函数,f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,a=1.10.12,2解析:由题意知a0,log12a=log2a-1=-log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).f(log2a)+f(log12a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又f(x)在区间0,+
10、)内单调递增,|log2a|1,-1log2a1,a12,2.11.-14解析:根据对任意tR都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.12.(-,6)解析:在f(x)+3f1x=x+3x-2log2x中,以1x代替x,得f1x+3f(x)=1x+3x+2log2x,消去f1x,得f(x)=x+log2x.若x2,4,则f(x)单调递增,f
11、(x)max=f(4)=6,故m6.13.解由题意知3x21,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方(图略),所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方(如图),则loga1313,所以a127,所以127a1.综上,实数a的取值范围为127a1.二、思维提升训练14.D解析:由f(x+1)=f(x-1)可知函数f(x)是周期为2的周期函数,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log25-1)=-45-1=15,故选D.15.D解析:y=2xsinx
12、为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B;函数y=xlnx的定义域为x|0x1,故排除C;对于y=2x-x2-1,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-10,故排除A.16.A解析:32a=32log32=log3223=log981,a1,b23.又c=23,acb.故选A.17.A解析:由f(x)=|x|+2,x0在R上恒成立.关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,关于x的不等式-f(x)x2+af(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-x2-f(x)af(x)-x2在R上恒成立.令p(x)=-x2-f(x),则p(x)=x2-2,x0,-32x-2,0x1,-32x-2x,x1.当x0
13、时,p(x)-2,当0x1时,-72p(x)-2,当x1时,p(x)-23,当且仅当x=233时取等号.综上所述,p(x)max=-2.令t(x)=f(x)-x2,则t(x)=-32x+2,x0,x2+2,0x1,x2+2x,x1.当x2,当0x1时,2t(x)0时,f(x)|x|可化为-x2+2x-2ax,即x-122+2a-140,所以a18;当-3x0时,f(x)|x|可化为x2+2x+a-2-x,即x2+3x+a-20.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-32.因为当-3x0时,y0,所以当x=0时,y0,即a-20,所以a2.综上所述,a的取值范围为18,2.20.解(1)f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,f(x)是增函数.f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.f(x-t)+f(x2-t2)0对xR恒成立,f(x-t)f(t2-x2),t2-x2x-t,x2+xt2+t对xR恒成立.x+122t+122对xR恒成立.t+122x+12min2对一切xR恒成立,t+1220,t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.
