1、专题能力训练22坐标系与参数方程(选修44)专题能力训练第54页一、能力突破训练1.(2020全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.解:(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t,得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t,得C1的直角坐标方程为
2、x+y=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由x+y=1,4x-16y+3=0解得x=14,y=14.故C1与C2的公共点的直角坐标为14,14.2.(2020全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.解:(1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线AB的
3、直角坐标方程为x-4+y12=1,将x=cos,y=sin代入,得直线AB的极坐标方程为3cos-sin+12=0.3.(2018全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解：(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cos0时,l的普通方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2
4、+4(2cos+sin)t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.4.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解：(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2c
5、os,3sin)到l的距离为d=55|4cos+3sin-6|,则|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan=43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.5.(2018全国,理22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解：(1)O的普通方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan=k,则l的方程为y=kx-2,l与O
6、交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin+1=0.于是tA+tB=22sin,tP=2sin.又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,434.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=4+3cos,y=3sin (为参数),直线l的参数方程为x=tcos,y=tsin(
7、t为参数,00,即cos2716,且1+2=8cos,12=7,所以|OA|-|OB|=|1-2|=(1+2)2-412=64cos2-28=25,解得cos=32,所以=6或=56.7.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2-cos =0,点M1,2.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.解：(1)x=cos,y=sin,由sin2-cos=0,得2sin2=cos.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的
8、倾斜角为34,故直线l的参数方程为x=tcos34,y=1+tsin34(t为参数),即x=-22t,y=1+22t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x=-22t,y=1+22t(t为参数)代入曲线C的方程得1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0,=(32)2-42=100.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-32,t1t2=2.又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思维提升训练8.(2019全国,理22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC
9、,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求点P的极坐标.解：(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos04,M2的极坐标方程为=2sin434,M3的极坐标方程为=-2cos34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos=3,解得=6;若434,则2sin=3,解得=3或=23;若34,则-2cos=3,解得=56.综上
10、,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.9.在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(0,3),且倾斜角为,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2-4cos-3-1=0.(1)求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于M,N两点,若|PM|-|PN|=2,求直线l的倾斜角的值.解：(1)因为直线l经过点P(0,3),且倾斜角为,所以直线l的参数方程为x=tcos,y=3+tsin(t为参数).因为圆C的极坐标方程为2-4cos-3-1=0,所以2-2cos-23sin-1=0,所以x2+y2-2x-23y-1=0,所以圆C的直角坐
11、标方程为(x-1)2+(y-3)2=5.(2)把直线l的参数方程x=tcos,y=3+tsin(t为参数)代入圆C的方程,得(tcos-1)2+(tsin)2=5,整理得t2-2tcos-4=0.设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则0恒成立,且t1+t2=2cos,t1t2=-40.所以|PM|-|PN|=|t1+t2|=|2cos|=2.所以cos=22.因为0,所以=4或=34.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+4=42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C
12、2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.解：(1)由曲线C1:x=3cos,y=sin(为参数),得x3=cos,y=sin(为参数),两式两边平方相加,得x32+y2=1,即曲线C1的普通方程为x23+y2=1.由曲线C2:sin+4=42,得22(sin+cos)=42,即sin+cos=8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(3cos,sin)到直线x+y-8=0的距离d=|3cos+sin-8|2=2sin+3-82,所以当sin+3=1时,d的最小值为32,此时点P的坐标为32,12.
