1、专题能力训练10三角变换与解三角形专题能力训练第26页一、能力突破训练1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=3+1,b=2,A=3,则B=()A.34B.6C.4D.4或34答案:C解析:由余弦定理可得a=b2+c2-2bccosA=4+(3+1)2-2(3+1)=6.由正弦定理可得sinB=bsinAa=2326=22.ba,B为锐角,B=4.2.(2020全国,理9)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53B.23C.13D.59答案:A解析:原式化简得3cos2-4cos-4=0,解得cos=-23或cos=2(舍去).(0,),si
2、n=1-cos2=53.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23答案:D解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32cosBsinB,即cosB=32cosBsinB,则sinB=32.0B0,所以A0,4,于是sinA+sinC=sinA+sin2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sinA22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sinA+sinC的取值范围是22,98.1
3、1.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解：(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cos
4、A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练12.若02,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-69答案:C解析:cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
5、csin A=acos C.当3sin A-cosB+4取最大值时,角A的大小为()A.3B.4C.6D.23答案:A解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0A0,从而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,则C=4,所以B=34-A.于是3sinA-cosB+4=3sinA-cos(-A)=3sinA+cosA=2sinA+6.因为0A34,所以6A+60,tanBtanC0,所以tanA+2tanBtanC22tanAtanBtanC,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC22tanAtanBtanC,解得tanAta
6、nBtanC8,即最小值为8.17.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3C2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判断ABC的形状;(2)若|BA+BC|=2,求BABC的取值范围.解：(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3C2,23B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,cosB=2-a2a2.而cosB=-cos2C,12cosB1,1a243.BABC=accosB=a2cosB,且cosB=2-a2a2,a2cosB=2-a223,1.BABC23,1.
