1、第5讲 椭圆 第八章 平面解析几何考纲解读 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(重点)2掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容预测 2021年将会考查：椭圆标准方程的求解；直线与椭圆位置关系的应用；求解与椭圆性质相关的问题试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1 基础知识过关 PART ONE 1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的01 _等于02 _(大于
2、|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 03 _(2)集合语言：PM|MF1|MF2|04 _，且 2a 05 _|F1F2|，|F1F2|2c，其中 ac0，且 a，c 为常数注：当 2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，
3、F2(0，c)顶点A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)轴线段 A1A2，B1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短轴长为 2b性质焦距|F1F2|2c标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)离心率eca且 e(0,1)性质 a，b，c的关系c2a2b23直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉 y，得到 Ax2BxC0 的形式(这里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆 01 _；(2)0直线与椭圆 02 _；(3)b0)上任意一点 P(
4、x，y)，则当 x0 时，|OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 xa 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴端点处(2)已知过焦点 F1 的弦 AB，则ABF2 的周长为 4a.1概念辨析(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程 mx2ny21(m0，n0 且 mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)()(4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)答案2小题热身(1)椭圆
5、x29y241 的离心率是()A.133B.53C.23D.59解析 由已知得 a3，b2，所以 c a2b2 3222 5，离心率eca 53.答案解析(2)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.x236y2321 B.x29y281C.x29y251 D.x216y2121解析 由题意，得2c2a13，2a6，解得 a3，c1，则 b 3212 8，所以椭圆 C 的方程为x29y281.故选 B.答案解析(3)若 方 程x2m2 y26m 1 表 示 椭 圆，则 m 的 取 值 范 围 是_解析 方程 x2m2
6、y26m1 表示椭圆m20，6m0，m26m，解得 2m6 且 m4.2m2)，“AF1F245”改为“F1AF260”，则AF1F2 的面积为_解析 设|AF1|r1，|AF2|r2，则 r1r22a，在AF1F2 中，F1AF260，|F1F2|2c.由余弦定理得(2c)2r21r222r1r2cos60(r1r2)23r1r24a23r1r2，所以 3r1r24a24c24b2，又因为 b24，所以 r1r2163，所以 SAF1F212r1r2sin604 33.4 33解析利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭
7、圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧见举例说明 3求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a 转化或变形，借助三角形性质求最值见举例说明 21如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是()A.椭圆B双曲线C.抛物线D圆解析 由题意得|PF|MP|，所以|PO|PF|PO|MP|MO|OF|，即点 P 到两定点 O，F 的距离之和为常数(圆的半径
8、)，且此常数大于两定点的距离，所以点 P 的轨迹是椭圆.答案解析2.(2019安徽皖江模拟)已知 F1，F2 是长轴长为 4 的椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则PF1F2 面积的最大值为_解析 解法一：PF1F2 的面积为12|PF1|PF2|sinF1PF212|PF1|PF2|2212a2.又 2a4，a24，PF1F2 面积的最大值为 2.解法二：由题意可知 2a4，解得 a2.当 P 点到 F1F2 距离最大时，SPF1F2 最大，此时 P 为短轴端点，SPF1F2122cbbc.又 a2b2c24，bcb2c222，当 bc 2时，PF1F2
9、面积最大，为 2.2解析题型二 椭圆的标准方程 角度 1 定义法求椭圆的标准方程1.已知 A12，0，B 是圆x122y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为_x2y2341解析 如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2.所以|PA|PF|2 且|PA|PF|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，a1，c12，b234.所以动点 P 的轨迹方程为 x2y2341.解析角度 2 待定系数法求椭圆的标准方程2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5)，则椭圆方程为_解析 设椭圆方程为 mx
10、2ny21(m0，n0 且 mn)由已知得94m254 n1，3m5n1，解得 m16，n 110，所以椭圆方程为y210 x261.y210 x261解析1.定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程见举例说明 1.其中常用的关系有：(1)b2a2c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.2.待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为 mx2ny21(m0，n0，mn)可简记为“先定型，再定量”见举例说明 2.1.与圆 C1：(x3)2y21 外
11、切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_解析 设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，所以点 P 的轨迹是以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆，点 P 的轨迹方程为x225y2161.x225y2161解析2.(2019武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_解析 椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，可设椭圆方程为x2a2y2b21
12、(ab0)，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，4a2 3b21，2a4c，又 a2b2c2，a2 2，b 6，c 2，椭圆方程为x28y261.x28y261解析1.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为()A.(3,0)B(4,0)C.(10,0)D(5,0)解析 由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故 c3，又因为 2b8，b4，所以 a2b2c216925.故 a5.所以椭圆的左顶点为(5,0).答案解析题型三 椭圆的几何性质 2.已知 F1，F2 分别是椭圆x2a2y
13、2b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 上下两点，若ABF2 是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是()A.(0，21)B(21,1)C.(0，31)D(31,1)答案解析 F1，F2 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 上下两点，F1(c,0)，F2(c,0)，Ac，b2a，Bc，b2a，ABF2 是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，b2a2c1，整理，得 b22ac，a2c20，解得 e 21 或 e 21(舍去)，0e1，椭圆的离心率e 的取值范围是(2
14、1,1)解析条件探究 将本例中椭圆满足的条件改为“椭圆上存在点 P，使F1PF290”，则该椭圆离心率的取值范围是_解析 解法一：椭圆上存在点 P 使F1PF290以原点 O 为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点bc，如图，由 bc，得 a2c2c2，即 a22c2，解得 eca 22，又 0e1，故椭圆的离心率的取值范围是22，1.22 e1解析解法二：设 P(x0，y0)为椭圆上一点，则x20a2y20b21.PF1(cx0，y0)，PF2(cx0，y0)，若F1PF290，则PF1 PF2 x20y20c20.x20b21x20a2 c2，x20a2c2b2c2.0 x20a2，0c
15、2b2c21.b2c2，a22c2，22 eb0)和直线 l：x4y31，若过 C 的左焦点和下顶点的直线与 l 平行，则椭圆 C 的离心率为()A.45B.35C.34D.15解析 直线 l 的斜率为34，过 C 的左焦点和下顶点的直线与 l 平行，所以bc34，又 b2c2a234c2c2a22516c2a2，所以 eca45.答案解析3.若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A.2 B3 C6 D8解析 由椭圆x24y231，得 F(1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)(2x2)，则OP FPx2xy2
16、x2x31x2414x2x314(x2)22，2x2，当且仅当 x2 时，OP FP取得最大值 6.答案解析题型四 直线与椭圆的综合问题 角度 1 直线与椭圆的位置关系1.已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组y2xm，x24y221，将代入，整理，得 9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.解析(1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实
17、数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点.解析角度 2 点差法解中点弦问题2.焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y2x1 所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为_y275x2251解析 设所求的椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意
18、，可得弦 AB 的中点坐标为x1x22，y1y22，且x1x2227，y1y2237.将 A，B 两点坐标代入椭圆方程，得y21a2x21b21，y22a2x22b21.两式相减并化简，得a2b2y1y2x1x2y1y2x1x2267473，所以 a23b2，又c2a2b250，所以 a275，b225，故所求椭圆的标准方程为y275x2251.解析角度 3 弦长问题3.已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由4x2y21，yxm，得 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m
19、220(m21)0，解得 52 m 52.解析(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x22mxm210，所以 x1x22m5，x1x215(m21)，所以|AB|x1x22y1y22 2x1x22 2x1x224x1x224m225 45m2125108m2.所以当 m0 时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.解析角度 4 综合计算问题4.(2019天津高考)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知 3|OA|2|OB|(O 为原点)(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点 F 且斜率为34的直
20、线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x4 上，且 OCAP.求椭圆的方程解(1)设椭圆的半焦距为 c，由已知有 3a2b，又由 a2b2c2，消去 b 得 a232 a 2c2，解得ca12.所以椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a2c，b 3c，故椭圆方程为 x24c2 y23c21.由题意，F(c,0)，则直线 l 的方程为 y34(xc)点 P 的坐标满足 x24c2 y23c21，y34xc，消去 y 并化简，解析得到 7x26cx13c20，解得 x1c，x213c7.代入到 l 的方程，解得 y132c，y2 914
21、c.因为点 P 在 x 轴上方，所以 Pc，32c.由圆心 C 在直线 x4 上，可设 C(4，t)因为 OCAP，且由(1)知 A(2c,0)，故t432cc2c，解得 t2.解析因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆 C 的半径为 2.又由圆 C 与 l 相切，得344c213422，可得 c2.所以椭圆的方程为x216y2121.解析1.直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标见举例说明 1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数.2.“点差法
22、”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：3.中点弦的重要结论AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)(1)斜率：kb2x0a2y0.见举例说明 2.(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值b2a2.4.直线与椭圆相交的弦长公式(1)若直线 ykxm 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|.见举例说明 3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长为 2a.1.若直线 ykx1
23、 与椭圆x25y2m1 总有公共点，则 m 的取值范围是()A.m1 Bm0C.0m0 且 m5，综上知 m 的取值范围是 m1 且 m5.解析2.直线 yxm 被椭圆 2x2y22 截得的线段的中点的横坐标为16，则中点的纵坐标为_13解析 解法一：由yxm，2x2y22，消去 y 并整理得 3x22mxm220，设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22m3，2m3 13，解得 m12.由截得的线段的中点在直线 yx12上，得中点的纵坐标 y161213.解析解法二：设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2x21y212,2x22y22
24、2.两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.把y1y2x1x21，x1x213代入上式，得y1y2213，则中点的纵坐标为13.解析3.(2019武威六中模拟)已知直线 l：ykx2 与椭圆 C：x28y221 交于A，B 两点，直线 l1 与直线 l2：x2y40 交于点 M.(1)证明：直线 l2 与椭圆 C 相切；(2)设线段 AB 的中点为 N，且|AB|MN|，求直线 l1 的方程解(1)证明：由x28y221，x2y40，消去 x 整理得 y22y10，440，直线 l2 与椭圆 C 相切解(2)由ykx2，x2y40，得 M 的坐标为(0,2)由x28y2
25、21，ykx2，消去 y 整理得(14k2)x216kx80，因为直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，所以(16k)232(14k2)128k2320，解得 k214.解设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，则 x1x2 16k14k2，x1x2814k2，所以 x0 x1x228k14k2.|AB|MN|，即 1k2|x1x2|1k2|x00|，x1x224x1x2|x0|，即8k14k24 24k2114k2，解得 k212，满足 k214.k 22，直线 l1的方程为 y 22 x2.解3 课时作业 PART THREE 1.已知椭圆 mx23y26m0 的一个焦点
26、的坐标为(0,2)，则 m 的值为()A.1 B3 C5 D8A组基础关解析 由 mx23y26m0，得x26 y22m1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以 2m64，解得 m5.答案解析2.(2019邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A.25B.35C.2 35D.2 55解析 由题 2b16.4,2a20.5，则ba45，则离心率 e145235.答案解析3.如果方程x2a2 y2a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是()A.(6，2)B.(3，)C.(6，2)(3，)D.(6，3)(2，)解析 由题意，得a2a
27、6，a60，解得a3，a6，所以6a3.答案解析4.过椭圆x25y241 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.43B.53C.54D.103解析 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，则直线 AB 的方程为 y2x2.联立x25y241，y2x2，解得交点(0，2)，53，43，SOAB12|OF|yAyB|121243 53.故选 B.答案解析5如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251 B.x23
28、0y2101C.x236y2161 D.x245y2251解析 设 F为椭圆的右焦点，连接 PF，在POF 中，由余弦定理，得 cosPOF|OP|2|OF|2|PF|22|OP|OF|35，则|PF|OP|2|OF|22|OP|OF|cosPOF8，由椭圆定义，知 2a4812，所以 a6，又 c2 5，所以 b216.故椭圆 C 的方程为x236y2161.答案解析6.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55答案解析 设直线 xy50 与椭圆x2a2y2b21 相交于 A(x1
29、，y1)，B(x2，y2)两点，因为 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1x28，y1y22.易知直线 AB的斜率 ky2y1x2x11.x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，所以y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2，所以b2a214，于是椭圆的离心率 eca1b2a2 32.故选 C.解析7.(2020成都一诊)已知点 M(1,0)和 N(1,0)，若某直线上存在点 P，使得|PM|PN|4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：x2y60；xy0；2xy10；xy30.其中是“椭型直线”的是()A.BCD答案解析 由
30、椭圆的定义知，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆，其方程为x24y231.对于，把 x2y60 代入x24y231，整理得 2y29y120，由(9)24212150，知 2xy10 是“椭型直线”；对于，把xy30 代入x24y231，整理得 7x224x240，由(24)24724b0)由离心率 e 55可得 a25c2，所以 b24c2，故椭圆的方程为 x25c2 y24c21，将 P(5,4)代入可得 c29，故椭圆的方程为x245y2361.x245y2361解析9.已知椭圆x25y241 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为4的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB
31、|的值为_解析 由题意知，F(1,0)直线 l 的倾斜角为4，斜率 k1.直线l 的方程为 yx1.代入椭圆方程，得 9x210 x150.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2109，x1x253.|AB|2 x1x224x1x2 2109245316 59.16 59解析10.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且 PF2 垂直于 x 轴，若直线 PF1 的斜率为 33，则该椭圆的离心率为_33解析 因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为c，b2a.又因为直线 PF1 的斜率为 33，所以在 RtPF1F2 中
32、，PF2F1F2 33，即b2a2c 33.所以 3b22ac.3(a2c2)2ac，3(1e2)2e，整理得 3e22e 30，又 0eb0)的下、上焦点分别为F1，F2，直线 l：ykx1 过椭圆 C 的焦点 F2，与椭圆交于 A，B 两点，若点 A 到 y 轴的距离是点 B 到 y 轴距离的 2 倍，则 k2_.27解析 直线 l 过定点(0,1)，即 F2 为(0,1)，由于ca 22，a2b2c2，故a 2，b1，则椭圆 C 的方程为y22x21，由y22x21，ykx1，得(k22)x22kx10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2kk22，x1x21k22，
33、由点 A 到 y 轴的距离是点 B 到 y 轴距离的 2 倍，得 x12x2，代入 x1x2 2kk22，解得 x2 2kk22，x1 4kk22，代入 x1x21k22，解得 k227.解析3.(2019全国卷)设 F1，F2 为椭圆 C：x236y2201 的两个焦点，M 为 C上一点且在第一象限若MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为_(3，15)解析 设 F1 为椭圆的左焦点，分析可知点 M 在以 F1 为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264 上因为点 M 在椭圆x236y2201 上，所以联立方程可得x42y264，x236y2201，解得x3，y 15.又因为点 M
34、 在第一象限，所以点 M 的坐标为(3，15).解析4.(2020厦门摸底)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆 C 的右顶点，以 A 为圆心的圆与直线 ybax 相交于 P，Q 两点，且A PAQ0，O P3OQ，则椭圆 C 的标准方程为_，圆 A的标准方程为_x24y21(x2)2y285解析 如图，设 T 为线段 PQ 的中点，连接 AT，则ATPQ.A PAQ0，即 APAQ，|AT|12|PQ|.又 O P3OQ，|OT|PQ|.|AT|OT|12，即ba12.由已知得焦半距 c 3，a24，b21，故椭圆 C 的方程为x24y21.解析又|A
35、T|2|OT|24，|AT|24|AT|24，|AT|2 55，r|AP|2 105.圆 A 的方程为(x2)2y285.解析5.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 中点的横坐标为14，且AFFB(其中 1)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值解(1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，又 e12，a2，故 b2a2c23，椭圆 C 的标准方程为x24y231.解(2)由AFFB，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)若直线 ABx 轴，则 x1x21
36、，不符合题意；当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 yk(x1)由ykx1，x24y231，消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.解x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，x1x2 8k24k2321412，k214.将 k214代入方程，得 4x22x110，解得 x13 54.又AF(1x1，y1)，FB(x21，y2)，AFFB，即 1x1(x21)，1x1x21，又 1，3 52.解C组素养关1.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦
37、点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程解(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得a2，b 3，c1，所以椭圆的方程为x24y231.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，所以圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，由 d1 得|m|b0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点(1)若POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2 的面积等
38、于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解(1)连接 PF1.由POF2 为等边三角形可知在F1PF2 中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|3c，于是 2a|PF1|PF2|(31)c，故 C 的离心率为 eca 31.解(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当12|y|2c16，yxc yxc1，x2a2y2b21，即 c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21.由及 a2b2c2 得 y2b4c2.又由知 y2162c2，故 b4.由及 a2b2c2 得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4 2.当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 P.所以 b4，a 的取值范围为4 2，).解本课结束
