1、空间向量证明立体几何问题空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直1、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向 为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系CBADOABCxyzODO DO CDBACOAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念xo右手直角坐标系yz空间直角坐标系 Oxyz横轴纵轴竖轴1112、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点
2、M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.4、平面的法向量n/若,则称 是直线 的方向向量alal3、直线的方向向量1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据na=0且nb=0可列出方程组11122200 x xy yz zx xy yz z3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平
3、面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量(4,6,1),(4,3,2)ABAC 4604320 xyzxyz解：平面ABC的法向量为:(3,4,12)n 得43zxzy 得12z 令(3,4,12)ABCn平面的法向量(,)nx y z 例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），
4、A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得1OA1OD2020 xyzxyz 20 xzy解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)ABOzyA1C1B1AxCDD15、两法向量所成的角与二面角的关系l1n2nl1n2n设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）222212121ABABxxyyzz2、向量的长度公
5、式（向量的模）2222aaxyz12121 2a bx xy yz z3、向量的坐标运算公式 111222(,)(,)ax y zbxy z若那么121212(,)abxxyyzz111(,)axyz121212|,()a bxxyyzzR111222|xyzabxyz4、两个向量平行的条件 5、两个向量垂直的条件 12121 20abx xy yz z或123123123333xxxxyyyyzzzz7、重心坐标公式 6、中点坐标公式 121212222xxxyyyzzz9、直线与平面所成角公式|sin|PM nPMn(PMlMn为 的法向量)8、直线与直线所成角公式|cos|AB CDAB
6、CD10、平面与平面所成角公式 1212cos|n nnn(为二面角两个半平面的法向量）1n2n11、点到平面的距离公式|PM ndn（PM为平面的斜线,为平面的法向量）n12、异面直线的距离公式|AB ndn（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）n利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行,的法向量分别为,u v，则 设直线,l m 的方向
7、向量分别为,a b，平面 线线垂直线面垂直 u v.0vul m a b0a b；l a uau；面面垂直、垂直问题 设直线,l m 的方向向量分别为,a b，平面l m a bab；线面平行 u vuv.线线平行l au0a u；面面平行,的法向量分别为,u v，则四、基本方法1、平行问题 设直线,l m 的方向向量分别为,a b，平面,两直线l,m 所成的角为(02),cosa ba b；直线l 与平面 所成的角为(02),sina ua u；平面 与平面 所成的角为(0 ),u vu vcos.的法向量分别为,u v，则、角度问题、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距
8、离直接用公式求解。（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。例：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCA BC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中点、，BCCACCA BACDF11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F题型一：线线角五、典型例题A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则11CC CxyzC1111 1(,0,1),(,1)22 2FD)1,21,21(,)1,0
9、,21(11DBFA1111|3010|AFBDAFBD11cos,AF BD|所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010,例.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCA B CAAABCA CABBCAB.2,(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0).(3,0,),(0,1,),(0,1,).解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为 高为hABCAh Bh ChABCBCA),2,0(),1,3(),1,3(hBChCAhAB22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB 题型二：线线垂直ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/
10、面A1C1E EF题型四：线面平行)1,0,0(),2,2,0(),2,0,2(.2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系xyz1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).ACA EDB 则的法向量设平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即)2,1,1(n解得,021111nBDnBD./111ECADB平面:,.例 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面ABCDA B C DCC BDA FBDEFEXYZ,DA DC DDxyzA证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),
11、(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0(1,1,2)(0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明A Fnn题型六：面面角ABCDS090,11,2例、已知，是一直角梯形，平面求面与面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解：建立直角坐系A-xyz如所示,),0,21,0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S)1,21,0(),0,21,1(D
12、SDC),0,21,0(1DAnSBA的法向量易知，面2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：设平面0202zyyx)1,2,1(2 n解得：,36|,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。xyz11111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)|.|.|.|111111证明 如图分别以、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则则AA即直线AC，则A平面同理可证：A平面平面AD AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD 11
13、.平面CB DXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD面CB1D1 题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明12,n n12,nn例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED面A1FD1 ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直11:(0,0,0),(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1,2)0,0,111111证明 如图直角坐标系.设正方体的棱长为2,则则AED FAE D FD FAED FD FD F平面平面平面DAEDFDADADAAEDA
14、FDAED或证明两平面的法向量垂直ABC1A1C1BNMzxy练习111111111111902(1)(2)cos,(3)如图，直三棱柱中，棱，、分别是、的中点，求：的长；的值；证明：。OABCA B CCACBBCAAAMNA BAABNBA CBA BC MxzyABCD1A1D1C1BEF练习11111124已知长方体中，、分别是，的中点，求异面直线、所成角的大小。ACABBCAAEFA DA BBECFBAC1AD1C1B1DEFzxy练习11111111111111:1:2(1)(2)(3)如图，已知正方体中，是中点，点 在上，且，求：平面的法向量；直线与平面所成角；平面与平面所成
15、角的大小。ABCDA B C DEBCFAAA F FAB EFBBB EFB EFA B C DABDC1A1D1C1Bxzy练习1111111111112(1)(2)(3)O1为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB=ADC=90，求异面直线和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDA B C DADCDaAAABaACB CACBCCCABABMPDCANxzyO练习23312如图所示，已知正方形所在平面，点、分别在、上，（）求证：面面；（）若，求二面角的大小。PAABCDMNABPCAMABPCNCPADPCDPAABNDMC题型九：异面直线的距离zxyABCC1).4,2
16、,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001 BAnECn即04220zyxyx取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,ACAC在两直线上各取点1|2 3.|3n CACEABdn与的距离EA1B1111101.4,2,90,例 已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。ABCA BCAAABCACBCBCAEABCEAB000:,(0,0,2),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),
17、(2,4,0).(4,2,2),(2,4,2)(,),:020CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znGExynGF解 以的方向为 轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则设平面的法向量为则有000101203(1,1,3),2(0,4,1)(0,4,2)|2211.11.1111xzyxyzznGBnGBdBEFGn 又即点 到平面的距离为ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离:4,2,例 如图已知是边长为 的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且求点 到平面的距离.ABCDE FAD ABGCABCDGCBEFG1ABA1BC1CDE1Dxzy练习 1111181已知
18、正方体的棱长等于，为中点，求点D 到平面的距离。ABCDA BC DEBBAECADBCEG1A1C1Bzxy练习 111011190211在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点 在平面上的射影是 ABC的重心G，(1)求A B与平面ABD所成角的大小；(2)求点A 到平面的距离。ABCA B CACBAADECCA BEABDAEDADCBGFExzy练习 4,如图已知为边长为 的正方形 点、分别是、的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面GEF的距离。ABCDEFABADxzyA1B1CDCB1A1DPOH练习 11111111111111144123在棱长为 的正方体中，是正方形的中心，点 在棱上，且（）求直线与平面所成角的大小；（）设 点在平面上的射影是，求证：；（）求点 到平面的距离。ABCDA B C DOA B C DPCCCCCPAPBCC BOD APHD HAPPABD已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。求证：PE AF；求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离；求直线PA与EF的距离；求直线PA与EF所成的角；求PA与平面PEF所成的角；求二面角A-PE-F的大小。ABCDEFPxyz练习
