1、第1讲函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷全国卷全国卷2020函数单调性的应用T12对数大小的判断T11函数的奇偶性与单调性T9函数的性质T162019函数图像的判断T5函数的建模与应用T4函数图像的判断T72018函数图像的判断T3函数图像的判断T71.2019全国卷函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,的图像大致为()ABCD图M1-1-12.2018全国卷函数y=-x4+x2+2的图像大致为()图M1-1-23.2019全国卷若ab,则()A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|4.2020全国卷若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|0的解集是()A.(
2、-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)6.2020全国新高考卷若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,37.2020全国卷已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.ca0,ax+b,x0,且f(0)=3,f(-1)=4,则ff(-3)=()A.-1B.-lg3C.0D.1(2)已知函数f(x)=x+1,x0,2x,x0,若f(a)0,0,x=0
3、,-1,x1,若f(x)的最小值为f(1),则实数a的值可以是()A.1B.2C.3D.4函数的图像与判断2(1)函数f(x)=cosxln|x|x+sinx在-,0)(0,上的图像大致为()图M1-1-3(2)函数f(x)=1x-lnx-1的图像大致是()图M1-1-4【规律提炼】已知解析式判断函数图像问题,首先要确定函数的定义域,进而确定函数图像是否有渐近线,过何定点,然后判断函数的奇偶性、周期性等,最后确定函数的图像.测题1.已知函数f(x)=x2-ln|x|,则函数f(x)的大致图像是()图M1-1-52.图M1-1-6可能是下列哪个函数的图像()图M1-1-6A.y=x2(x-2)x
4、-1B.y=x(x-2)ln|x-1|C.y=x2ln|x-1|D.y=tanxln(x+1)3.已知函数f(x)=12x2-2x+1,x1,4,当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图像为()图M1-1-7基本初等函数的性质与图像3(1)2020全国卷设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在12,+单调递增B.是奇函数,且在-12,12单调递减C.是偶函数,且在-,-12单调递增D.是奇函数,且在-,-12单调递减(2)已知函数f(x)=cosx-2|x|,则()A.flog413f(-2)f(33)B.f(-33)f
5、log312f(2)C.f(33)f(-2)flog615D.f(2)f(33)flog514(3)设偶函数f(x)满足f(x)=12x+2(x0),则使不等式f(x-1)2bB.ab2D.abcB.bcaC.acbD.cba2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1m(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m3.已知函数f(x)=x3+ln1+x1-x,若f(m)+f(m+1)0,则实数m的取值范围是()A.-1,-12B.-12,0C.-12,1D.-12,+4.若
6、a=0.220.33,b=0.330.22,c=log0.330.22,则()A.abcB.bacC.cabD.cba函数性质的综合应用4(1)已知函数f(x)是偶函数,y=f(x+1)为奇函数,且当x1,2时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)0;f(x+8)=f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(-7),b=f(11),c=f(2020),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.bcaD.cb0等价于f(
7、x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0.则f32,f(2),f(3)的大小关系是()A.f32f(2)f(3)B.f(3)f(2)f32C.f32f(3)f(2)D.f(3)f32f(2)2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x3,5时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式一定不成立的是()A.fcos6fsin6B.f(sin1)fsin23D.f(sin2)f(cos2)3.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意xR,都有f(x+4)=f(x)+2020f(2),若函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且f(-1.67)=2,则f(2
8、021.67)=()A.2B.3C.-2D.-3函数建模与信息题5(1)为了抗击新型冠状病毒,保障师生安全,某校决定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比(0t0.5);药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=0.25t-a(a为常数,t0.5),如图M1-1-8所示.据测定,当空气中的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进教室,则学校应安排工作人员至少提前多长时间进行消毒工作()图M1-1-8A.0.5hB.0.6hC.1hD.1.5h(2)2020北京卷为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的
9、企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图M1-1-9所示.图M1-1-9给出下列四个结论:在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.【规律提炼】高考中常见的应用题有:与经济有关即以利润最大化和成本最小化为背景的应用题,以平面几
10、何图形、空间几何体为背景的图形应用题,与数学文化结合的应用题等,要引起足够重视.主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等,难度以中档题为主.测题1.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度,其工作原理是:激光器发出的光平均分成两束射出,在被测物体表面汇聚,探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时,反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时,反射光相对探测光会发生频移fp=2vsin,其中v为测速仪测得被测物体的横向速度,为激光波长,为两束探测光线夹角的一半.如图M1-1-10,若激光测速仪安装在距离高铁1m处,发出的激光波长为1550nm(1n
11、m=10-9m),测得某时刻的频移为9.03109(1/h),则该时刻高铁的速度约为()图M1-1-10A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h2.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+SN.它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫作信噪比.按照香农公式,若不改变信道带宽W,而将信噪比SN从1000提升至2000,则C大约增加了()A.10%B.30%C.50%D.100%模块一函数与导数第1讲函数的图像与性质的简单应用真知真题扫描1.D解析因为x-,
12、所以由f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx+xcosx+x2=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以选项A错误.又由当x=时,f()=sin+cos+2=2-1,可知0f()0时,函数y=-x4+x2+2在0,22上单调递增,在22,+上单调递减.又函数y=-x4+x2+2为偶函数,故选D.3.C解析因为ab,不妨设a=-1,b=-2,则ln(a-b)=ln1=0,3-13-2,|-1|-2|,选项A,B,D均错,故选C.4.A解析方法一:设f(x)=2x-3-x,则f(x)在R上单调递增.由题知2x-3-x2y-3-y,即f(x)f(y),得x1,所
13、以ln(y-x+1)0.方法二:取x=0,y=1,可排除选项B,C,D.故选A.5.D解析方法一:因为f(-2)=2-2-(-2)-1=540,所以排除A,C;因为f(-1)=2-1-(-1)-1=120,所以排除B.故选D.方法二:因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)=2xln2-1.令f(x)=0,得2x=1ln2,所以x=-log2(ln2)0.当x-log2(ln2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x-log2(ln2)时,f(x)0的解集为(-,0)(1,+).故选D.6.D解析方法一:由题意可得y=f(x)的图像可如图所示,y=f(x-1)的图像可由y=f(x)的图像向右平
14、移一个单位得到(如图),满足xf(x-1)0即满足f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)0的解集为-1,01,3.方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x(-,-2)(0,2)时,f(x)0;当x(-2,0)(2,+)时,f(x)0;当x(-1,1)(3,+)时,f(x-1)0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足xf(x-1)0的x的取值范围为-1,01,3.故选D.7.A解析由a=log53,b=log85,得ab=log53log85=log53l
15、og58log53+log5822=log52422log52522=1,所以ab;由5584,得5ln54ln8,即ln5ln8=log8545,由13485,得4ln1345,所以cb.故cba.8.C解析由题意可知,K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,即1+e-0.23(t*-53)=10.95,得e-0.23(t*-53)=119,即-0.23(t*-53)=ln119-3,所以t*53+30.2366.9.解析f(x)的定义域为x|xk,kZ,关于原点对称.由f(x)=sinx+1sinx,易知f(-x)=-sinx+1-sinx=-sinx+1sinx=-f(x),所以是
16、假命题,是真命题;因为f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx=f(x),所以是真命题;因为f-6=sin-6+1sin(-6)=-12-2=-520,ax+b,x0,且f(0)=3,f(-1)=4,则a0+b=1+b=3,a-1+b=4,解得a=12,b=2,则f(-3)=12-3+2=10,则ff(-3)=f(10)=-lg10=-1.故选A.(2)当a0时,2a10时,由a+12,得0a0,0,x=0,-1,x0时,gf(x)=g(1)=sin=0;当x=0时,gf(x)=g(0)=sin0=0;当x0时,f(x)=1,ff(x)=f(1)=1,ff(x)=f(
17、x)成立;当x=0时,f(0)=0,ff(0)=f(0)=0,ff(x)=f(x)成立;当x1时,f(x)=x+4x+a4+a,当且仅当x=2时,等号成立.当x1时,f(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2.要使f(x)在x=1处取到最小值,则a1且f(1)4+a,即a1且1-2a+9a+4,解得a2,故选BCD.小题2例2(1)D(2)B解析(1)因为f(-x)=-cosxln|x|x+sinx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,故排除A.又因为f(1)=0,f2=0,f30,f()0,g(x)单调递增,当x(0,1)时,g(x)0.故选B.【自测题】1.A解析
18、由题意知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)=x2-ln|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,排除D;又f(1)=12-ln1=10,所以排除B,C.故选A.2.C解析对于A,当x=12时,y0,与图像不符,排除A;对于B,当x=2时,该函数无意义,与图像不符,排除B;对于D,当x=4时,y0,与图像不符,排除D.故选C.3.C解析f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x1,4,当x=4时,f(x)取得最大值1,故a=4,b=1,可得g(x)=a|x+b|=4|x+1|=4x+1,x-1,4-x-1,x-1,对比图像知C满足条件.故选C.
19、小题3例3(1)D(2)A(3)A(4)B解析(1)f(x)的定义域为x|x12,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),则f(x)为奇函数.当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x)单调递增;当x-,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(-2x+1)=ln2x+12x-1=ln1+22x-1单调递减.故选D.(2)f(x)=cosx-2|x|是R上的偶函数,flog413=f(log43),f(-2)=f(2),又f(x)在0,2上单调递减,2,33,log430,2,且log432f(-
20、2)f(33).故选A.(3)易知f(x)在(0,+)上单调递减,且f(2)=94.由f(x-1)94得f(x-1)2或x-13或x-1.故选A.(4)由题知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-122b+log2(2b),又函数y=2x+log2x在(0,+)上为增函数,所以a1.因为1b=log510=1+log52,1c=log918=1+log92,所以1b1c1,所以0bc10,得-1x0,所以f(m)-f(m+1)=f(-m-1),所以m-m-1,-1m1,-1-m-11,故-12ma=0.220.330,1b=0.330.220,c=log0.330.22
21、log0.330.33=1,所以ca且cb.ln0.220.33=0.33ln0.22,ln0.330.22=0.22ln0.33.构造函数f(x)=lnxx,x0,所以f(x)=1-lnxx2,令f(x)=0,解得x=e.当x(0,e)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(0.22)f(0.33),即ln0.220.22ln0.330.33,即0.33ln0.22a.综上,cba.故选D.小题4例4(1)C(2)D解析(1)因为函数y=f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,即f(-x)+f(2+x)=0.因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),于是
22、f(x)+f(2+x)=0,用x+2替换x,可得f(x+2)+f(4+x)=0,所以f(x+4)=f(x).当x1,2时,f(x)=1-|x-2|=x-1.当x(-3,-2)时,x+4(1,2),f(x)=f(x+4)=(x+4)-1=x+3,所以f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)0.故选C.(2)由知f(x)在4,8上单调递增;由知f(x)的周期为8;由知直线x=4是f(x)的图像的对称轴.则a=f(-7)=f(8-7)=f(1)=f(8-1)=f(7),b=f(11)=f(11-8)=f(3)=f(8-3)=f(5),c=f(2020)=f(2020-2528)=f(4),因为
23、4578,所以f(4)f(5)f(7),故cb0,所以函数y=f(x)在0,1上单调递增.因为f(3)=f(1),f32=f12,f(2)=f(0),1120,所以f(3)f32f(2),故选D.2.A解析f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2.当x3,5时,f(x)=2-|x-4|,当x1,3时,f(x)=2-|x+2-4|=2-|x-2|.当x1,2时,f(x)=x,故函数f(x)在1,2上是增函数,当x(2,3时,f(x)=4-x,故函数f(x)在(2,3上是减函数,且f(x)的图像关于直线x=4对称.函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,且f(x)的图像
24、关于y轴对称,故fcos6=f32fsin6=f12,故A中不等式一定不成立,故选A.3.A解析函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,函数f(x)的图像关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故f(-x)=f(x).对任意xR,都有f(x+4)=f(x)+2020f(2),f(-2+4)=f(-2)+2020f(2),即2020f(2)=0,可得f(2)=0,f(x+4)=f(x)+2020f(2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,f(2021.67)=f(4505+1.67)=f(1.67)=f(-1.67)=2.故选A.小题5例5(1)C(2)解析(1)由题知函数图像过点(
25、0.5,1),则0.250.5-a=1,解得a=0.5,故y=2t,0tg(t1),t2-t10,所以V甲V乙,所以在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在t2时刻,甲企业与乙企业的污水排放量相等,但此时甲企业污水排放量的瞬时变化率的绝对值比乙企业大,表示甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量,所以甲、乙两企业的污水排放量都已达标,故正确;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,污水治理能力分别为V1=h(0)-h(t1)t1,V2=h(t1)-h(t2)t2-t1,V3=h(t2)-h(t3)t
26、3-t2,所以V1V3V2,所以甲企业在0,t1这段时间内的污水治理能力最弱,故不正确.综上可得,正确结论的序号是.【自测题】1.D解析由题意知sin=2010-31+(2010-3)2=0.021.0004,由fp=2vsin,得v=fp2sin=9.03109155010-920.021.0004=9.0315501.00040.04349982(m/h)350(km/h).故选D.2.A解析当SN=1000时,C=Wlog2(1+1000),当SN=2000时,C=Wlog2(1+2000),则Wlog2(1+2000)-Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)=log22001log21001-11+log21000log21000-1=13lg2.又14=lg1014lg2lg1013=13,根据选项分析,13lg20.1,所以信噪比SN从1000提升至2000,则C大约增加了10%.故选A.
