1、微点1数列与新信息的综合含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、新情境等.此类问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,不易抓住信息的关键部分并用于解题.二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关,所以要运用的知识隐藏得较深,不易让学生找到解题的方向.三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫.1(1)2020全国卷0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,
2、),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)=1mi=1maiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.11001(2)图W1-1是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列an,an的前n项和为Sn,则
3、下列说法中正确的是()图W1-1A.数列an是递增数列B.数列Sn是递增数列C.数列an的最大项是a11D.数列Sn的最大项是S11微点2数列与函数的综合数列与函数的综合问题的解题策略:(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.2(1)若数列an为等差数列,bn为等比数列,且满足a1+a2020=27,b1b2020=2,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)且f(x)=ex,x0,2,则fa1010+a10111+
4、b1010b1011=()A.eB.e2C.e-1D.e9(2)已知数列an满足对任意nN*,an0,2,且a1=3,f(an+1)=f(an),其中f(x)=tanx,则使得sina1sina2sinak0,rn0,n=1,2,)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=,rn=.图W1-2微点4数列与平面向量的综合4(1)如图W1-3,已知点E是平行四边形的边AB的中点,Fn(nN*)为边BC上的一列点,连接AFn交BD于Gn,点Gn满足GnD=an+1GnA-2(2an+3)GnE,其中数列an是首项为1的正项数列,Sn是数列an的前n项和,则下列结论正确的是()图W1-3A
5、.a3=15B.数列an+3是等比数列C.an=4n-3D.Sn=2n+1-n-2(2)设Sn,Tn分别为等差数列an,bn的前n项和,且SnTn=3n+24n+5.设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,且AP=a1+a4b3AB+AC,则实数的值为()A.2825B.-325C.328D.-18251.已知函数f(x)=1-4x,x0,1+log3x,x0,在等差数列an中,a7=7,a9=11,则f(a8)=()A.1B.2C.3D.42.若数列an的首项a1=2,且点(an,an+1)在直线x-y=2上,则数列an的前n项和Sn等于()A.3n-1B.-n2+3nC.3n+1D.
6、n2-3n3.在数列an中,a1=1,若OP=(an+1,-1),OQ=(1,an+2),且OPOQ,Sn为数列an的前n项和,令bn=1Sn+n,若数列bn的前n项和为Tn,则Tn=()A.nn+1B.n+1n+2C.n+2n+3D.n+3n+44.设函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对于任意正数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,若一个各项均为正数的数列an满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(nN*),其中Sn是数列an的前n项和,令bn=1anan+1,数列bn的前n项和为Tn,则T2020的值为()A.2020B.12020C.20192
7、020D.202020215.若数列an满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列an为周期数列,周期为T.已知数列an满足a1=m(m0),an+1=an-1,an1,1an,01,使得an是周期为T的数列D.存在mQ且m2,使得数列an是周期数列6.对于数列an,令Pn=1n(a1+2a2+2n-1an)(nN*),则称Pn为an的“伴随数列”.已知数列an的“伴随数列”Pn的通项公式为Pn=2n+1(nN*),记数列an-kn的前n项和为Sn,若SnS4对任意的正整数n恒成立,则实数k的取值范围为.7.我们把一系列向量ai(i=1,2,n)按次序排列成一列,称为
8、向量列,记作an.已知向量列an满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2),设n表示向量an-1与an的夹角,若bn=n2n,对于任意正整数n,不等式1bn+1+1bn+2+1b2n12loga(1-2a)恒成立,则实数a的取值范围是.8.牛顿迭代法(Newtonsmethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图W1-4,设r是f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0)作曲线y=f(x)的切线l,l与x轴的交点的横坐标x1=x0
9、-f(x0)f(x0)(f(x0)0),称x1是r的一次近似值,过点(x1,f(x1)作曲线y=f(x)的切线,则该切线与x轴的交点的横坐标为x2=x1-f(x1)f(x1)(f(x1)0),称x2是r的二次近似值.重复以上过程,得到r的近似值序列.请你写出r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式.若f(x)=x2-2,取x0=1作为r的初始近似值,试求f(x)=0的一个根2的三次近似值(请用分数作答).图W1-4微专题一数列与其他知识的综合微点1例1(1)C(2)C解析(1)对于A选项,C(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+0+0)=15,C(2)=15i=15aiai+2
10、=15(0+1+0+1+0)=2515,不满足题意;对于B选项,C(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+1+1)=3515,不满足题意;对于C选项,C(1)=15i=15aiai+1=15(0+0+0+0+1)=15,C(2)=15i=15aiai+2=15(0+0+0+0+0)=0,C(3)=15i=15aiai+3=15(0+0+0+0+0)=0,C(4)=15i=15aiai+4=15(1+0+0+0+0)=15,满足题意;对于D选项,C(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+0+1)=2515,不满足题意.故选C.(2)因为1月28日的新增确诊病例数小于1月2
11、7日的新增确诊病例数,即a7a8,所以an不是递增数列,所以选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S33=S34,所以数列Sn不是递增数列,所以选项B错误;因为1月31日新增确诊病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列an的最大项是a11,所以选项C正确;数列Sn的最大项是S35,所以选项D错误.故选C.微点2例2(1)A(2)298解析(1)因为数列an为等差数列,且a1+a2020=27,所以a1010+a1011=27.因为bn为等比数列,且b1b2020=2,所以b1010b1011=2,所以a1010+a10111+b1010b1011=273=9.因
12、为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,又f(x)=ex,x0,2,所以f(9)=f(24+1)=f(1)=e,即fa1010+a10111+b1010b1011=e.故选A.(2)f(x)=tanx=sinxcosx,f(x)=cos2x+sin2xcos2x=1+tan2x.f(an+1)=f(an),tanan+1=1+tan2an,即tan2an+1-tan2an=1,数列tan2an是首项为3,公差为1的等差数列,tanan=n+2.an0,2,sinan=n+2n+3,sina1sina2sinak=344556k+2k+
13、3=3k+3,由3k+3297,使得sina1sina2sinak0,an-an-1-1=0,即an-an-1=1,故数列an是以1为首项,1为公差的等差数列,an=1+1(n-1)=n,nN*,bn=1anan+1=1n(n+1),T2020=b1+b2+b2020=112+123+120202021=1-12+12-13+12020-12021=1-12021=20202021.故选D.5.D解析对于A,若a3=4,因为an+1=an-1,an1,1an,01时,a2-1=a3=4,解得a2=5,当a11时,a1-1=a2=5,解得a1=6,当0a11时,1a1=a2=5,解得a1=15;
14、当01时,a1-1=a2=14,解得a1=54,当0a11时,1a1=a2=14,解得a1=4,不合题意,舍去.故m可以取3个不同的值,故A中结论正确.对于B,若m=2,则a2=a1-1=2-1,a3=1a2=2+1,a4=a3-1=2,所以an+3=an,则数列an是周期为3的数列,故B中结论正确.对于C,D,先考虑数列an的周期性.如果a1=k+a,kN*,01,故C中结论正确.对于D,如果存在这样的m,那么由前面的分析知必有m=k+a,kN*,0a1,且a=-k+k2+42Q,于是有k2+4Q,这是不可能的,故D中结论错误.6.125,52解析由题意得a1+2a2+2n-1an=n2n+
15、1,所以a1=122=4,a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n(n2),由-得2n-1an=n2n+1-(n-1)2n(n2),所以an=2n+2(n2),当n=1时也满足上式,所以an=2n+2(nN*).因此数列an-kn的前n项和Sn=12n(4-k+2n+2-kn)=12n(6-k+2n-kn),因为SnS4对任意正整数n恒成立,所以2-k0,所以f(n)单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,则112loga(1-2a).因为a0且a1,1-2a0,所以0aa2,解得-1-2a-1+2,故实数a的取值范围为(0,2-1).8.xn+1=xn-f(xn)f(xn)(f(xn)0)577408解析由题设可得x1=x0-f(x0)f(x0)(f(x0)0),x2=x1-f(x1)f(x1)(f(x1)0),x3=x2-f(x2)f(x2)(f(x2)0),依次类推,则可得xn+1=xn-f(xn)f(xn),其中f(xn)0.因为f(x)=x2-2,所以xn+1=xn-xn2-22xn=xn2+22xn(xn0),因为x0=1,故x1=32,x2=1712,x3=577408.
