1、核心素养专项提升一、典型物理模型指导突破(一)科学思维之模型建构“数学圆”模型在电磁学中的应用一、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上模型将半径为R=的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件,这种模型称为“平移圆”模型案例探究1如图所示,边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿AB方向射入磁场,恰好从C点飞出磁场;若带电粒子以相同的速度从
2、AD的中点P垂直AD射入磁场,从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1,由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计),则t1t2为()A.21B.23C.32D.二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定,大小不同粒子源发射速度方向一定,大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP上模型以入射点P为定点,圆心位于PP直线上,将半径放缩作轨迹圆,
3、从而探索出临界条件,这种模型称为“放缩圆”模型案例探究2(多选)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,下列说法中正确的是()A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从cd边射出磁场B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从ad边射出磁场C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从bc边射出磁场D.若该带电粒子在磁场中经历的时间
4、是t0,则它一定从ab边射出磁场三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定,方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若射入初速度为v0,则圆周运动半径为R=。如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上模型将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索粒子的临界条件,这种模型称为“旋转圆”模型案例探究3边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域AOB各个方向同时射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,所有粒子的速率均为v。如图所示,沿OB
5、方向射入的粒子从AB边的中点C射出,不计粒子之间的相互作用和重力的影响,已知sin 35=0.577。求:(1)匀强磁场的磁感应强度的大小;(2)带电粒子在磁场中运动的最长时间;(3)沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出时,还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。创新训练1.(多选)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,板上有两条宽度分别为2d和d的缝,两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q、速度不同的粒子,从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场,对于能够从宽度为d的缝射出的粒子,下列说法正确的是()A.射出粒子带
6、正电B.射出粒子的最大速度为C.保持d和L不变,增大B,射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D.保持d和B不变,增大L,射出粒子的最大速度与最小速度之差增大2.如图所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。(1)求带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径;(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。二、典型物理模型指导突破(二)科学思维之模型建构圆形有界匀强磁场中的磁聚焦和磁
7、发散模型磁聚焦磁发散电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,磁场边界在该点的切线与入射方向平行带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与磁场边界在入射点的切线方向平行说明磁聚焦和磁发散是相反的过程,满足运动的可逆性。案例探究如图所示,真空中有一半径r=0.5 m的圆形磁场,与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=210-3 T,方向垂直于纸面向外,在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有一沿y轴正方向的匀强电场区域,电场强度E=1.5103 N/C。在x=3 m处有一垂直于x轴方向的足够
8、长的荧光屏,从O点处向不同方向发射出速率相同、比荷=1109 C/kg且带正电的粒子,粒子的运动轨迹在纸面内,一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子,恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子重力及其相互作用,求:(1)沿y轴正方向射入磁场的粒子进入电场时的速度大小和粒子在磁场中的运动时间;(2)速度方向与y轴正方向成=30角(如图中所示)射入磁场的粒子,离开磁场时的速度方向;(3)按照(2)中条件运动的粒子最后打到荧光屏上的位置坐标。解题指导审题读取题干获取信息圆形磁场,与坐标原点相切;从O点处向不同方向发射出速率相同、比荷=1109C/kg且带正电的粒子初步判断粒子运动情境属于磁发散模型,粒
9、子离开磁场时的速度方向可能沿x轴向右一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子,恰能从磁场最右侧的A点离开磁场粒子匀速圆周运动的半径等于磁场圆的半径,满足磁发散的条件续表读取题干获取信息不计粒子重力及其相互作用粒子在磁场中仅受洛伦兹力,做匀速圆周运动;粒子在电场中仅受电场力,做类平抛运动;粒子出电场后不受力,做匀速直线运动破题首先在解答(1)问时根据题意确定粒子匀速圆周运动的半径等于磁场圆的半径,判断出本题考查磁发散模型,然后在此思路引导下解题就事半功倍了。创新训练1.如图所示,一束不计重力的带电粒子沿水平方向向左飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能从磁场区域的最下端P孔飞出磁场,则这些粒子(
10、)A.运动速率相同B.运动半径相同C.比荷相同D.从P孔射出时的速度方向相同2.如图所示,长方形abcd的长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以e为圆心、eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心、Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场),磁感应强度B=0.25 T。一群不计重力、质量为m=310-7 kg、电荷量为q=+210-3 C的带正电粒子,以速度v=5102 m/s沿垂直ad方向垂直射入磁场区域,则下列判断正确的是()A.从Od之间射入的粒子,出射点全部分布在Oa边B.从aO之间射入的粒子,出射点全部分布在ab边C.从O
11、d之间射入的粒子,出射点分布在ab边D.从ad之间射入的粒子,出射点一定是b点核心素养专项提升一、典型物理模型指导突破(一)案例探究1.C画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹,并将该轨迹向下平移,粒子做圆周运动的半径为R=L,从C点射出的粒子运动时间为t1=;由P点运动到M点所用时间为t2,圆心角为,则cos=,则cos=,=60,故t2=,所以,C正确。2.AC如图所示,作出带电粒子以方向与Od成30角的速度射入正方形内时,刚好从ab边射出的轨迹、刚好从bc边射出的轨迹、从cd边射出的轨迹和刚好从ad边射出的轨迹。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0后刚好从c
12、点射出磁场可知,带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图中几何关系可知,从ad边射出磁场经历的时间一定小于等于t0;从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0,小于等于t0;从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0,小于等于t0;从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。综上所述,A、C正确。3.答案(1)(2)(3)解析(1)OC=Lcos30=L沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出,由几何知识得,粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角为60半径r=OC=L由qvB=得B=。(2)从A点射出的粒子在磁场中运动时间最长,设弦OA对应的圆心角为,由几何关系得sin=0.577,故=70最长时间
13、tm=。(3)由几何知识得,从OA上D点射出的粒子做圆周运动的弦长OD=OC,粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角也为60,如图所示,入射速度与OD的夹角应为30,即沿OC方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿OB方向射入的粒子相等,从OB方向到OC方向这30范围内的粒子此时都还在磁场中,而入射的范围为60,故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是。创新训练1.BC利用左手定则可判定,射出粒子带负电,A项错误;利用qvB=知r=,能射出的粒子半径满足r,因此射出粒子的最大速度vmax=,B项正确;射出粒子的最小速度vmin=,v=vmax-vmin=,由此可判定,C项正确,D项错误。2.答案(1)(
14、2)60解析(1)带电粒子进入磁场后,受洛伦兹力作用,由牛顿第二定律得Bqv=m,则r=。(2)粒子的速率均相同,因此粒子轨迹圆的半径均相同,但粒子射入磁场的速度方向不确定,故可以保持圆的大小不变,只改变圆的位置,画出“动态圆”,通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧,对于劣弧而言,弧越长,弧所对应的圆心角越大,偏转角越大,则运动时间越长,当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时,粒子在磁场空间的偏转角最大,sin,即max=60。二、典型物理模型指导突破(二)案例探究答案(1)1106 m/s10-6 s(2)与x轴平行向右(3)(3 m,3 m)解析(1)由题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周
15、运动的轨迹半径为R=r=0.5m由Bqv=,可得粒子进入电场时的速度为v=1109210-30.5m/s=1106m/s,在磁场中运动的时间为t1=T=s=10-6s。(2)由粒子的轨迹半径R=r及几何关系可知,粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O、C以及两圆的圆心O1、O2组成菱形,CO2和y轴平行,所以粒子离开磁场时的速度v的方向和x轴平行向右,如图甲所示。甲(3)粒子在磁场中转过120后从C点离开磁场,速度方向和x轴平行,做直线运动,再垂直电场线进入电场,如图乙所示。乙在电场中的加速度大小为a=1.51031109m/s2=1.51012m/s2,粒子穿出电场时有vy=at2=a=1.510
16、12m/s=1.5106m/s,tan=1.5,在磁场中y1=r(1+sin)=0.51.5m=0.75m,在电场中侧移y2=1.510122m=0.75m,飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=xtan=11.5m=1.5m,y=y1+y2+y3=0.75m+0.75m+1.5m=3m,则粒子打到荧光屏上的位置坐标为(3m,3m)。创新训练1.B根据“磁聚焦”模型可直接判断只有选项B正确。2.D粒子进入磁场后做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力,得r=m=0.3m;因ab=0.3m=r,从O点射入的粒子从b点射出,如图所示;从Od之间射入的粒子,因磁场边界上无磁场,粒子经圆周运动到达bc后做直线运动,即全部通过b点;从aO之间射入的粒子先做一段时间的直线运动,设某一个粒子在M点进入磁场,其运动轨迹圆圆心为O,如图所示,根据几何关系可得,四边形OMeb是菱形,则粒子的出射点一定是b点,可知,从aO之间射入的粒子,出射点一定是b点,故选项A、B、C错误,选项D正确。
