1、课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的方差1多选已知随机变量X的分布列为X101P则下列结论正确的是()AE(X)BE(X4)CD(3X1)5 DP(X0)解析：选ACDE(X)(1)01，E(X4)，故A正确，B错误D(X)222，D(3X1)9D(X)5，故C正确P(X0)P(X1)，故D正确2从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X则X的方差D(X)()A. B.C. D.解析：选A显然X服从两点分布，P(X0)，P(X1).故X的分布列为X01P所以E(X)，故D(X).3甲、乙两个运动员射击命中环数，的分布列如下表其中射击比较稳定的运动员是()环数k89
2、10P(k)0.30.20.5P(k)0.20.40.4A.甲 B乙C一样 D无法比较 解析：选BE()9.2，E()9.2，所以E()E()，D()0.76，D()0.56D()，所以乙稳定4(2020全国卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4，且i1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()AP1P40.1，P2P30.4BP1P40.4，P2P30.1CP1P40.2，P2P30.3DP1P40.3，P2P30.2解析：选BA项，E(X)10.120.430.440.12.5，所以D(X)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)2
3、0.4(42.5)20.10.65；B项，E(X)2.5，D(X)1.85；C项，E(X)2.5，D(X)1.05；D项，E(X)2.5，D(X)1.45.故选B.5有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于()A3.36 B.C7.8 D3.6解析：选A由题知X6,9,12.P(X6)，P(X9)，P(X12).X的分布列为X6912PE(X)69127.8.D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.6袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停
4、止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为_解析：X的分布列为X135P则E(X)135，D(X).答案：7若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5，则E(X)和D(X)分别为_解析：因为X服从两点分布，所以E(X)p0.5，D(X)p(1p)0.25.答案：0.5和0.258随机变量X的取值为0,1,2.若P(X0)，E(X)1，则D(X)_.解析：由题意设P(X1)p，则X的分布列如下：X012Ppp由E(X)1，可得p，所以D(X)120212.答案：9袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(
5、1)求X的分布列、均值和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值解：(1)X的分布列为X01234P则E(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，得a2.又E(Y)aE(X)b，所以，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.所以或10有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较
6、甲、乙两厂材料哪一种稳定性好解：E(X)1100.11200.21250.41300.11350.2125，E(Y)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(X)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D(Y)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165，由于E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好1设X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，现已知E(X)，D(
7、X)，则x1x2的值为()A. B.C3 D.解析：选C由题意得P(Xx1)P(Xx2)1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以解得x11，x22(x1，x2舍去)，所以x1x23，故选C.2设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2)DD(1)与D(2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关解析：选A由题意可知E(1)(x1x2x3x4x5)，E(2)(x1x2x3x4x5)，期望相等，都设为m，D(1)(x1m)2(x5m)2，D(2)，10x1x2x3D(2)故选A.3若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Ppp则E(X)的最大值是_，D(X)的最大值
8、是_解析：由分布列的性质可知p，则E(X)p1，故E(X)的最大值为.D(X)(p1)2p(p11)2(p12)2p2p12，又p，当p0时，D(X)取得最大值1.答案：14A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，(100x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求
9、f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24；E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)因为f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002)，所以当x75时，f(x)取最小值3.5为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x
10、和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P0.3.(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为012P故的数学期望E()0121.(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差