1、章末检测（一) 空间向量与立体几何本试卷分第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()ABC D.解析：选A在BCD中，因为点G是CD的中点，所以()，从而().2已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，则a(a3b)()A(0,34,10)B(3,19,7)C44D23解析：选Ca3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，则a(a3b)(3,2,5)(0,17,2)0341044.3已知直线l
2、过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A.B.C.D.解析：选A(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为 .4已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9B9C3D3解析：选B由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.5在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则()A0B.CD解析：选D设a，b，c，则|a|b|c|1，且abbcca，又(ab)，cb，因此(ab)acabbcb2，故选D.6在长方体ABCDA1B1C1D1
3、中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面AB1D1的法向量n(x，y，z)，则即令x2，得n(2，2，1)所以A1到平面AB1D1的距离为d.7已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A.B.C.D.解析：选C设点Q(x，y，z)因为点Q在上，所以，可设x，01，则y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，
4、1，22)，所以62161062.故当时，取得最小值，此时点Q.故选C.8.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()解析：选A如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为a，M(x，y,0)，则0xa,0ya，P，C(0，a,0)，则| ，| .由|，得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段yx(0xa)，故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选
5、项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9有下列四个命题，其中正确的命题有()A已知A，B，C，D是空间任意四点，则0B若两个非零向量与满足0，则C分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz (x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面解析：选BC对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则0，错误；对于B，若两个非零向量与满足0，则，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，正确；对于D，对于空间的任意一点O和不
6、共线的三点A，B，C，若xyz (x，y，zR)，仅当xyz1时P，A，B，C四点共面，故错误10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点则()A，120BBD1ACCBD1EB1DBB1E45解析：选ABC以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1，1,1)，A1(1,0,1)(1，1,1)，(1,1,0)，(1)(1)(1)1100，BD1AC，B正确，(1)(1)110，BD1EB1，C正确(0,1
7、，1)，(1，1,0)，cos，120，A正确，(0,0，1)，cos，D不正确，故A、B、C正确11.如图，PA平面ABCD，正方形ABCD边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，则()AAFFD21BAFFD11C若PA1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为D若PA1，则直线PE与平面ABCD所成角为30解析：选BC建立如图所示的空间直角坐标系，PAa，则B(1,0,0)，C(1，1,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，BFPE，0，解得y，即点F的坐标为，F为AD的中点，AFFD11，B正确，A不正确若PA1，则P(0,0,1)，(
8、0,1,0)，cos，故C正确(0,0,1)，cos，故D不正确12在正方体ABCDA1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则()A二面角A1AC1B的大小为90BC直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于DFGBC1解析：选BC如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n(1,1,0)A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)F，G，设直线FG与平面A1ACC1所成角为，则sin |cosn，|，故C正确；(0
9、,1,0)，(1,1,1)，(0,0,1)设平面ABC1的法向量u(x，y，z)，则即令z1，则u(1,0,1)同理可得平面A1AC1的一个法向量v(1，1,0)，cosu，v，故A错误；(1,0,1)，10.故D错误；(1,1,0)，1，故B正确第卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若A(1,2,3)，B(2，4,1)，C(x，1，3)是以BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x_.解析：由题意得(3，6，2)，(x1，3，6)，3(x1)18120，解得x11.答案：1114.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，
10、CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：15.如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，t,0)(0ta)，P(0,0，z)则(1，t，z)，(1，at,0)由PQQD，得1t(at)0，即t2at10.由题意知方程t2at10只一解a240，a2，这时t10，a答案：216.如图，四面体ABCD中，E，
11、F分别为AB，DC上的点，且AEBE，CF2DF，设a，b，c.(1)以a，b，c为基底表示，则_；(2)若ADBBDCADC60，且|4，|3，|3，则|_.解析：(1)如图所示，连接DE.因为，()，所以abc.(2)|22a2b2c2abacbc423232434333.所以|.答案：(1)abc(2)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，
12、b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .18(本小题满分12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，求D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，由于AB2，BCAA11，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以(1,2,0)，(1，0,1)，(0,2,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则有即令x2，得y1，z2，则n(2,1,2)设D1C1与平面A1
13、BC1所成角为，则sin |cos，n|，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.19(本小题满分12分)如图所示，已知四面体OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是OA和BC的公垂线；(2)求OA和BC间的距离解：(1)证明：E为BC的中点()，DBOA，得0.同理可得0.()0，DEOA.同理可证DEBC.DE是OA和BC的公垂线(2)，|22(222222)(121212211cos 60211cos 60211cos 60)，|，即OA和BC间的距离为.20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG
14、平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，4)cos，GE与PC所成角的余弦值为.(2)，D.设F(0，y，z)，则(0，y，z).，0，即(0,2,0)2y30，y.又点F在PC上，即(0,2，4)，z1，故F，3.21(本小题满分12分)如图，边长为2的等边
15、PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小；(3)求点D到平面AMP的距离解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.(2)设n(x，y，z)为平面PAM的法向量，则即取y1，得n(，1，)取p(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，cosn，p.结合图形可知，二面角PAMD为45.(3)设点D到平面
16、AMP的距离为d，由(2)可知n(，1，)与平面PAM垂直，则d，即点D到平面AMP的距离为.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABA
17、C.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)，(0,0,4)，(4，3,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)设平面B1BC1的一个法向量为m(a，b，c)，则即令a3，得b4，c0，故平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.
