1、人教版选修2-1 3.2.3 直线与平面的夹角B aaOAB一、复习引入aOABCDE,AOBAOCAODAOE中最小的角是哪一个？行行二、新课探究1AlBOM 探究一 已知OA是平面的斜线段，O为斜足，线段AB于B，则直线OB是斜线OA在平面内的正射影，设OM是内通过O点的任意一条直线，OA与OB所成角为1(1 是锐角）,OB与OM所成角为2，OA与OM所成角为。那么，1，2 之间有怎样的关系？2OA mOB mBA m由于 是单位向量，故有 m因此 OAOBBAOA mOBm在直线OM上取单位向量 ，则 ，即 。m0BA mBAm2|cos|cosOAOB2|coscos|OBOA1|co
2、s|OBOA12coscoscos所以 二、新课探究1AlBOM最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。212coscoscos20cos11cososc1斜线和它在平面内的射影所成的角是唯一的 二、新课探究概念：斜线与平面所成角定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(斜线与平面的夹角)。直线和平面所成角的范围是0，90。范围（0，90）线面角的实质：空间角平面角；线面角线线角 二、新课探究探究二.求直线与平面所成角的基本方法(1)几何（定义）法：例题：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求A1B与
3、平面ABCD所成的角（2）求A1B与平面A1B1CD所成的角 思路：找出A1B在平面内的射影 A B C D A1 B1 C1 D1 M 所以A1M是A1B在平面 A1B1CD内的射影，解：连接BC1，交B1C于M，连接A1M。111 平面BCBCC B11111111111111平面A BB CA BB BA BBCC BB CB BB111 平面B CA B CD111A BBC1111A BB CB11BCB Ca在正方体ABCD-A1B1C1D1中，各面均为正方形，设其棱长为 所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30 BA1M为A1B与平面A1B1CD所成的角 122,2A Ba B
4、Ma111sin2BMBA MA B130BA M在RtBA1M中，二、新课探究探究二.求直线与平面所成角的基本方法 变式：正方体ABCD-A1B1C1D1中，若，分别是11,11的中点，求A1B与平面BD所成的角？A B C D A1 B1 C1 D1 M A1B在平面BD内的射影不好找，怎么办？二、新课探究ancos,|ana nan|sin|cos,|ana na n(2)直线的方向量与平面的法向量所成角的关系：设斜线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则向量 与 的夹角为 anan,2n a,2n a 或二、新课探究(2)向量求法：变式：正方体ABCD-A1B1C1D1中，若，分别是1
5、1,11的中点，求A1B与平面BD所成的角？思路：利用法向量与直线方向量所成角。A B C D D1 x y z B1 D A1 C1 M 解：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，则 020 xnDMyznDBxy11(0,1,1),(,1,1),(1,1,0)2A BDMDB令 则 1(1,1,)2n1xA1(1,0,1),B(1,1,0),M(1/2,1,1),N(0,1/2,1),D(0,0,0)(,)nx y z设平面A1B1CD的法向量为 113(1,1,)(0,1,1)22 n A B13|,|22nA B1112cos,2|n A Bn A Bn A B2sin|cos,|2
6、a n设A1B与平面A1B1CD所成的角为。(0,)2 45 故A1B与平面A1B1CD所成的角为45。变式 1：正方体变成长方体如何去求？变式 2：从几何体中分离出三棱柱11AA DBBC，求直线1A B和平面1 1A B CD所成角？思 考 三、新知应用例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求EB与底面ABCD所成的角正切值。P A B C D E 解：取DC中点H，连结EH，HB，易知EH/PD 22215HBHB为斜线EB在平面ABCD上的射影，15tan55EHEHBHBEBH为斜线EB与底面ABCD所称的角。55
7、EH平面ABCD，设PD=DC=2，RtEHB中，EH=1，EB与底面ABCD所成的角正切值为 P A B C D E F 几何法 解：D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)底面ABCD的法向量为|sin|cos,|2662 6 nEBn EBn EB2 n EB(0,0,2)nDP5tan5EB与底面ABCD所成的角正切值为 P A B C D E X Y Z 向量法 三、新知应用例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，求EB与底面ABCD所成的角正切值。E A C D P
8、B 变式：若将此题中的侧棱PD底面 ABCD，PDDC改为：PDPC，侧面PDC底面 ABCD，又如何去建系？五、课堂小结直线与平面的夹角 线在面内、线面平行 大小：0度 线面垂直 大小：90度 线面斜交 范围：（0，90）度 方法 定义（几何）法 作、证、求、答 向量法 建系、求法向量、求角、作答 知识：思想方法：数形结合，转化与化归，一题多解 能力：灵活处理，分析总结，合作交流 六、布置作业必做作业：课本第108页，练习A，1，2，3 探究作业：2.本节中我们用向量法研究了12,之间的关系，请问你否能用其它方法来解决这个问题？1.BAC在平面 内，过该角的顶点 A引平面 的斜线AP，且使PABPAC，求证：斜线 AP在平面 内的射影平分BAC及其对顶角.学习进步！
