1、空间向量及其加减运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.对于空间向量,有以下命题:单位向量的模为1,但方向不确定;如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量的模为0;若ab,bc,则ac;若ABCD-ABCD为平行六面体,则=.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.在平行六面体ABCD-ABCD中,能与向量相等的向量有()A.0个B.3个C.6个D.9个3.在空间四边形OABC中,+-等于()A.B.C.D.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是()A.B.C.D.5.(2013成都高二检测)设A,B,C,D是空间不
2、共面的四个点,且满足=0,=0,=0,则BCD的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定二、填空题(每小题8分,共24分)6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式-+的化简结果是.7.在平行六面体ABCD-ABCD中,=a,=b,=c,则= ,= .8.化简:-+-=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,几何体ABCDEF -ABCDEF为正六棱柱,在顶点连接的向量中,(1)与相等的向量有哪些?(2)与,相等吗?10.如图,已知空间四边形ABCD中,向量=a,=b,=c,若M为BC的中点,G为BCD的重心,试用a,b,c表示向量.11.(
3、能力挑战题)线段AB,AC,AD不共面,连接BC,CD,DB,取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,如图所示,试判断四边形EFGH的形状,并用向量的相关知识给出证明.答案解析1.【解析】选D.为真命题.模为1的向量叫单位向量,但方向不唯一;为真命题.相反向量的模相等,且方向相反,所以如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量为零向量,模为0;为真命题.平行向量的方向要么方向相同,要么方向相反,具有传递性;为真命题.与的方向相同,且大小相等,所以是相等向量.2.【解析】选B.相等向量的模相等,并且方向相同,所以,与相等的向量有,共3个.3.【解析】选C.+-=-=+=.4.【解析】选D.
4、5.【解析】选C.=(-)(-)=-+2=20,同理0,0,所以BCD是锐角三角形.6.【解析】-+=-+=+=.答案:7.【解析】=+=-+=-a+b+c.=+=-+=-c+a+b=a+b-c答案:-a+b+ca+b-c8.【解题指南】根据向量的减法运算法则将-化为,根据加法运算将-化为-即可解决.【解析】原式=(+)-(+)=0-=-=.答案:9.【解析】(1)与相等的向量有,.(2)由正六棱柱的性质可知,BD与BD,AE,AE分别平行且相等,=.【举一反三】若本例条件不变,所求问题改为:与平行的向量有多少个?【解析】可知在顶点连接的线段中,与AD平行的有BC,BC,AD,FE,FE共5条.根据平行向量的定义可知,与平行的向量共有52+1=11(个).10.【解析】在BCD中,注意到三角形重心的性质,得=+=c+=c+(+)=c+(-+-)=c+(a+b-2c)=(a+b+c).【拓展提升】用已知向量表示指定向量的方法用已知向量来表示指定向量时,常结合具体图形.通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中,通过向量的运算性质将指定向量表示出来,然后转化为已知向量的线性式.11.【解析】四边形EFGH是平行四边形.证明如下:=+=(+)=,=+=(+)=,=.又E点不在上,EHFG且EH=FG,四边形EFGH是平行四边形.
