1、课后素养落实(二十四)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1CDC由抛物线的定义，有|AF|BF|xAxBp3，故xAxB3p，故线段AB的中点到y轴的距离为2已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A2B1C4D8C抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，即焦点F到抛物线准线的距离等于43抛物线y24x的焦
2、点为F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，面积为()A2B4C6D4D据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM垂直抛物线的准线，设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1，0)，|PM|FM|得1，得m212，等边三角形的边长为4，其面积为44直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是()A1B2C3D4B由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，A到准线x的距离为xA，B到准线x的距离为xB，线段AB的中点到准线的距离为，线段AB的中点到y轴
3、的距离为1，即xAxB2，由抛物线定义，|AF|xA，|BF|xB，|AB|xAxBp4，即xAxB4p，4p2，即p25已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4B4Cp2Dp2A若焦点弦ABx轴， 则x1x2，x1x2，y1p，y2p，y1y2p2，4若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2，y1y2p2，故4二、填空题6已知点A(0，)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N若|FM|MN|12，则抛
4、物线的方程是_y24x依题意F点的坐标为，如图，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|FM|MN|12，|KN|KM|1，p2，p2抛物线方程为y24x7已知直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|a，|QF|b，M为KS的中点，则|MF|的值为_PQ与x轴不垂直时，如图，根据抛物线的定义，有|PF|PK|，|QF|QS|，易知KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|2故|FM|KS|PQx轴时，|MF|pab综上可知，|MF|
5、8已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_xy10依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10三、解答题9已知点P(1，m)是抛物线C：y22px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|2，直线l：yk(x1)与抛物线C相交于不同的两点A，B(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|8，求k的值解(1)抛物线C：y22px的准线为x，由|PF|2得12，得p2所以抛物线的方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，
6、y2)，由可得k2x2(2k24)xk20，16k2160，x1x2直线l经过抛物线C的焦点F，|AB|x1x2p28，解得k1，所以k的值为1或110已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N(1)求y1y2的值(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解(1)依题意，设AB的方程为xmy2(m0)，代入y24x，得y24my80，从而y1y28(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x消去x得：y24ny40，所以y1y34
7、，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值1已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10A法一：抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为0不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224同理可得|DE|44k2，所以|AB|DE|444k2848816，当且仅当
8、k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16法二：设直线l1的倾斜角为，则直线l2的倾斜角为或，则|AB|，|DE|(或)所以|AB|DE|416，当或时，取等号，即|AB|DE|的最小值为162(多选题)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)与抛物线的准线交于点D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2BF为AD中点C|BD|2|BF|D|BF|2ABC如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y，联立得12x220px3p20解得：xAp，xBp，由|AF|p2p4，得p2抛物线方程为y24x又
9、xBp，则|BF|1，|BD|，|BD|2|BF|，|BD|BF|4，则F为AD中点故选ABC3已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_2由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1
10、y24代入，得k24已知点A(2，0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|_1抛物线C：x24y的焦点为F(0，1)，点A坐标为(2，0)，抛物线的准线方程为l：y1，直线AF的斜率为k过M作MPl于P，根据抛物线的定义得|FM|PM|RtMPN中，tanMNPk，可得|PN|2|PM|，得|MN|PM|，可得|FM|MN|PM|MN|1如图，已知m是非零实数，抛物线C：y22px(p0)的焦点F在直线l：xmy0上(1)若m2，求抛物线C的方程；(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A
11、1，B1，AA1F，BB1F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外解(1)由焦点F在直线l上，得pm2又m2，p4，抛物线C的方程为y28x(2)抛物线C的焦点F在直线l上，pm2，抛物线C的方程为y22m2x设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y22m3ym40m0，4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，2，2，G，H，线段GH的中点M设R是以线段GH为直径的圆的半径，则R2|GH|2(m24)(m21)m4设抛物线的准线与x轴的交点为N，则|MN|2m4(m48m24)m4(m21)(m24)3m2m4(m21)(m24)R2故点N在以线段GH为直径的圆外即对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外
