1、曲线与方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.如图,方程x+|y-1|=0表示的曲线是()2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题中正确的是()A.满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程C.方程f(x,y)=0所表示的曲线不一定是CD.以上说法都正确3.已知曲线C的方程为x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线C上的点是()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(2,-3)D.(3,6)4.方程xy2+x2y=1所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y
2、=x对称5.(2013安阳高二检测)曲线y=和y=-x+公共点的个数为()A.3B.2C.1D.0二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013沧州高二检测)已知方程x2+y2+2x-4=0的曲线经过点P(m,1),那么m的值为.7.曲线y=|x|-1与x轴围成的图形的面积是.8.(2013重庆高二检测)如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=有公共点,那么b的取值范围是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.求方程(x+y-1)=0所表示的曲线.10.分析下列曲线上的点与方程的关系:(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系.(2)作出函数y=x2的图象,指出图象上
3、的点与方程y=x2的关系.(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|=2之间的关系.11.(能力挑战题)已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+g(x,y)=0(R)上.答案解析1.【解析】选B.由x+|y-1|=0可知x0,用排除法可知应选B.也可去绝对值符号,将方程化为或再找出符合条件的图象.【变式备选】下列方程与图形对应的是()【解析】选C.选项A中不对应,应该是个整圆;选项B中应该还有一条直线y=-x;选项D中需要x0,y0.2.【解析】选C.因为“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”,所以可以认为
4、曲线C可能是方程f(x,y)=0所表示的曲线上的某一小段,因此只有C正确.3.【解题指南】若点M(x0,y0)满足f(x,y)=0,则点M在曲线上,否则点M不在曲线上,因此采用验证法.【解析】选A.把(-1,2),(1,-2),(2,-3),(3,6)分别代入x2-xy+y-5=0验证,只有(-1,2)适合.【举一反三】题中方程不变,求曲线与x轴的交点坐标.【解析】由y=0得x2-5=0,x=,故曲线与x轴的交点坐标为(,0).4.【解题指南】解答本题只需设出曲线上任意一点的坐标,并求出该点关于给定的直线(或点)的对称点的坐标,然后把对称点的坐标代入方程中,检验坐标是否满足方程即可.【解析】选
5、D.设P(x0,y0)是曲线xy2+x2y=1上的任意一点,则x0+y0=1.点P关于直线y=x的对称点为P(y0,x0),由y0+x0=x0+y0=1,点P在曲线xy2+x2y=1上,故该曲线关于直线y=x对称.5.【解析】选C.由得-x+=,两边平方并整理得(x-1)2=0,x=,这时y=,故公共点只有一个(,).【误区警示】解题中,易把y=看成x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错.6.【解析】把(m,1)代入方程得m2+12+2m-4=0,即m2+2m-3=0,解得m=-3或1.答案:-3或17.【解析】在y=|x|-1中,令x=0得y=-1,令y=0得x=1,所以曲线y=|x|-1
6、与x轴围成的图形的面积为21=1.答案:18.【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=的图象,利用数形结合解题.【解析】曲线C:y=表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(1,0),如图,当l与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=,直线l与曲线C有公共点时,-1b.答案:-1,【误区警示】解题时,易把y=看成单位圆x2+y2=1,从而得出错误答案-,.9.【解题指南】将方程进行同解变形,转化为熟悉的方程的形式,从而判断出原方程表示的曲线.【解析】依题意可得或x-1=0,即x+y-1=0(x1)或x=1.综上可知,原方程所表示的曲线是射线x+y-1=0(x1)
7、和直线x=1.【拓展提升】方程变形的常用方法判断方程表示什么曲线,需对方程进行同解变形,常用的方法有:配方法,因式分解法、平方法或者是化为常见的熟悉形式,然后根据方程的特征进行判断.10.【解析】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等,即y=x.可以看到:l上点的坐标都是方程x-y=0的解;以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上.(2)函数y=x2的图象如图所示是一条抛物线,这条抛物线上的点的坐标都满足方程y=x2,即方程y=x2对应的曲线是如图所示的抛物线,抛物线的方程是y=x2.(3)如图所示,直线l上点的坐标都是方程|x|=2的解,然而坐标满足方程|x|=2的点不
8、一定在直线l上,因此|x|=2不是直线l的方程.11.【证明】P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,P在曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0,P在曲线g(x,y)=0上,即g(x0,y0)=0,f(x0,y0)+g(x0,y0)=0+0=0,故点P在曲线f(x,y)+g(x,y)=0(R)上.【拓展提升】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原则,即若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,根据定义需完成两步:曲线上任意一点的坐标都是方程的解;以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.