1、第4讲数列求和考纲解读1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式(重点)2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等预测2021年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合此类问题一般以解答题为主，以中档题型为主.1基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Snna1d.(2)等比数列求和公式：Sn2非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法常见的裂项公式：；()3常用求和公式(1)1234n；(2)
2、1357(2n1)n2；(3)122232n2；(4)132333n32.1概念辨析(1)已知等差数列an的公差为d，则有.()(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)若数列a1，a2a1，anan1是(n1，nN*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1BCD答案B解析an，S5a1a2a51
3、.(2)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21B2n2n1Cn21Dn2n1答案A解析该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.(3)数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200B200C400D400答案B解析设bn4n3，则bn是首项为1，公差为4的等差数列，an(1)n1bn.S100(a1a2)(a3a4)(a99a100)(b1b2)(b3b4)(b99b100)4444450200.(4)数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2021等于()A1010B2018C505
4、D1010答案D解析易知a1cos0，a22cos2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为0，前2020项中所有偶数项(共1010项)依次为2,4，6,8，2018，2020.故S20200(24)(68)(20182020)1010.a20210，S20211010.故选D.题型一分组转化法求和1(2019信阳模拟)已知数列an中，a1a21，an2则数列an的前20项和为()A1121B1122C1123D1124答案C解析由题意知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121123.2(2019中山调研)
5、在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)证明：由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，所以数列an的通项公式为an4n1n，所以数列an的前n项和Sn.分组转化法求和的常见类型(1)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和如举例说明1.(2)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和如举例说明2(2).已知数列an是等差数列，满
6、足a12，a48，数列bn是等比数列，满足b24，b532.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d2，所以ana1(n1)d2(n1)22n.设等比数列bn的公比为q，由题意得q38，解得q2.因为b12，所以bnb1qn122n12n.(2)Snn2n2n12.题型二裂项相消法、并项法求和1.在数列an中，ann，nN*，前50个偶数的平方和与前50个奇数的平方和的差是()A.0B5050C2525D5050答案B解析(22421002)(1232992)(2212)(4232)(1002992)3711195199
7、5050.2.(2019石家庄模拟)已知数列an是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q.由a2a312，a11，得qq212，解得q3或q4.因为数列an的各项都为正数，所以q0，所以q3，所以an3n1.(2)因为bn，所以Sn.条件探究将本例中的条件改为“an2n，数列an的前n项和为Sn，bn(1)n1”，求数列bn的前n项和Tn.解因为an2n，所以数列an是等差数列，所以Snn(n1)，则bn(1)n1(1)n1(1)n1.所以Tn(1)n11(1)n1.1.几种常见的裂项相
8、消及解题策略(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法(k为非零常数)()(a0，a1)logaloga(n1)loganan为等差数列，公差为d(d0)，(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(如举例说明2)，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等.2.并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解如举例说明1.1.已知数列an的通项公式为an，若前n项和为10，则项数n为_.答案120解析因为an，所以Sn(1)()()1，又因为S
9、n10，所以110，解得n120.2.(2019长春二模)各项均为整数的等差数列an，其前n项和为Sn，a11，a2，a3，S41成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求数列(1)nan的前2n项和T2n.解(1)各项均为整数的等差数列an，设公差为d，则d为整数，由a11，a2，a3，S41成等比数列，可得aa2(1S4)，即(12d)2(1d)(36d)，可得d2，所以an2n3.(2)由(1)可得T2na1a2a3a4a2n1a2n(11)(35)(54n4n3)2222n.题型三错位相减法求和(2019成都模拟)在数列an中，a11，an1，设bn，nN*.(1)求证数列bn是等差数列，并求通项公式bn；(2)设cnbn2n1，且数列cn的前n项和为Sn，若R，求使Sn1cn恒成立的的取值范围.解(1)由条件知，1，所以1，所以bn1bn1.又b11，所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，故数列bn的通项公式为bnn.(2)由(1)知，cnn2n1，则Sn120221n2n1，2Sn121222n2n.由得，Sn20212n1n2nn2n1(1n)2n，所以Sn1(n1)2n.因为cn0，所以Sn1cn恒成立，等价于对任意nN*恒成立.因为20且解得d2，q2.所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2).Sn1，2Sn23，得Sn2222226.
