1、第4讲函数yAsin(x)的图象及应用考纲解读1.了解函数yAsin(x)的物理意义，能用五点法画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响(重点)2.能结合yAsin(x)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌握对称轴与对称中心的求解方法及图象的平移和伸缩变换(重点、难点)3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决一些简单的实际问题.考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容一直是高考的一个考查热点预测2021年会把函数yAsin(x)的图象及性质和三角恒等变换相结合进行考查，尤其是函数图象的平移变换与性质的结合题型以客观题的形式为主，有时也会出现于解
2、答题中，试题难度以中档题为主.1函数yAsin(x)的有关概念2“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象3函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤1概念辨析(1)将函数y3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时，“先平移，后
3、伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)将函数y2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y2sin的图象()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，答案A解析函数y2sin的振幅是2，周期T，频率f，初相是，故选A.(2)用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_，_，_，_，_.答案解析列表：xx02ysin01010五个点依次是，.(3)将函数f(x)cos2x的图象向右平
4、移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则g_.答案解析函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数ycoscos的图象，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)cos的图象，所以gcossin.(4)(2019长春模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)sin解析由图象可知A，所以，2，所以f(x)sin(2x)，又f，所以22k，kZ，2k，kZ，又|0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为
5、g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2 B C. D2答案C解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin0，所以sin0.又|0，左移；0，上移；k0，下移(2)伸缩变换沿x轴伸缩由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍如举例说明1沿y轴伸缩由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍3.注意三角函数图象变换中的三个问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数如举例说明2；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准
6、变换量的大小，特别是平移变换中，函数yAsinx到yAsin(x)的变换量是|个单位，而函数yAsinx到yAsin(x)时，变换量是个单位如举例说明2.1.(2020广州模拟)将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象，则f(x)()A.sin BsinC.sin Dsin答案B解析由题意知，先将函数ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)sinsin.2.(2019青岛模拟)将函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象
7、向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为()A.x BxC.x Dx答案A解析当函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)2sin2sin.则函数g(x)的图象的对称轴方程可表示为4xk，kZ，即x，kZ.则g(x)的图象离原点最近的对称轴方程，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴方程为x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式1(2020郑州市第一中学高三摸底考试)已知f(x)Asin(x)
8、b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为()A. B.C. D.答案D解析由图可知A2，b1，T2，所以2，所以f(x)2sin(2x)1，因为点在函数f(x)的图象上所以32sin1，即sin1.所以2k(kZ)，又|，所以，故f(x)2sin1，令2xk(kZ)，得x(kZ)，当k0时，x.所以函数f(x)的对称中心可以为.2.(2019西安八校联考)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且函数f(x)的图象过点P，则函数f(x)()A.sin BsinC.sin Dsin答案A解析由题意得 2，解得，所以函数f(x)sin，又因为函数f(
9、x)的图象过点P，所以sin()，即sin，sin，又因为|0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.如举例说明1.(2)求：确定函数的周期T，则可得.如举例说明1.(3)求的常用方法代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)如举例说明1.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x第五点图象第二次上升时与x轴的交点x21(2019四川绵阳诊断)如图
10、是函数f(x)cos(x)的部分图象，则f(3x0)()A. BC. D答案D解析f(x)cos(x)的图象过点，cos，结合0，可得.由图象可得cos，x02，解得x0.f(3x0)f(5)cos.2.已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图所示，则f等于_.答案解析观察图象可知，所以，2，所以f(x)Atan(2x).又因为函数图象过点，所以0Atan，所以k(kZ)，所以k(kZ).又因为|，所以.又图象过点(0,1)，所以A1.综上知，f(x)tan，故ftan.题型三三角函数图象性质的应用角度1三角函数模型的应用1如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
11、y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5 B6 C8 D10答案C解析由图象可知，ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.角度2函数零点(方程根)问题2.(2019哈尔滨六中模拟)设函数f(x)sin，x，若方程f(x)a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1x2x3，则x1x2x3的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由题意x，则2x，画出函数的大致图象，如图所示，由图得，当a1时，方程f(x)a恰好有三个根，由2x得x，由2x得x，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x对称，点(x2,
12、0)与点(x3,0)关于直线x对称，x1x2，x3，则x1x2x30，0)；画出一个周期上的函数图象；利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题如举例说明2.(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.(2019玉溪模拟)函数f(x)log4x的图象与函数g(x)sinx的图象的交点个数是()A.2 B3 C4 D5答案B解析如图，在同一坐标系中画出函数f(x)log4x，函数g(x)sinx的图象，当x4时，f(x)1，g(x)1，f(x)的图象与g(x)的图象不再有交点，结合图象可知，交点个数为3.2一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周
13、，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()Ah(t)8sint10B.h(t)cost10C.h(t)8sint8D.h(t)8cost10答案D解析设h(t)AcostB，因为12 min旋转一周，所以12，所以，由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A8，B10.所以h(t)8cost10.3.(2020泰安模拟)(多选)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图，则()A函数f(x)的对称轴方程为x4k1(kZ)B.函数f(x)的递减区间为(kZ)C.函数f(x)的递增区间为8k1,8k5(kZ)D.f(x)1的解集为(kZ)答案AD解析由题图知，A2，函数f(x)的最小正周期T4(31)8，故，所以f(x)2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin2，因为|，所以，即f(x)2sin，由xk(kZ)得x4k1(kZ)，即函数f(x)的对称轴方程为x4k1(kZ)，所以A正确；由2kx2k(kZ)，得8k1x8k5(kZ)，即函数f(x)的单调减区间为8k1,8k5(kZ)，所以B，C错误；由2sin1，得sin，所以2kx2k(kZ)，解得8kx8k(kZ)，即不等式f(x)1的解集为(kZ)，所以D正确，故选AD.
