1、巩固双基,提升能力一、选择题1(2013甘肃诊断)若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直,则切线l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析:设切点为P(x0,y0),则斜率k4x4,x01,故切点为P(1,1),所求切线方程为y14(x1),即4xy30.答案:A2(2013南宁测试)曲线yx33x26x10,xR的切线中,斜率最小的切线方程为()Ay3x17 By3x11Cy3x11 Dy6x10解析:斜率k3x26x63(x1)233,k最小时切点为(1,14),此时切线方程为y3x11.答案:B3(2013桂林调研)设xR,函数f(x)exaex的导函数y
2、f(x)是奇函数,若曲线yf(x)的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A. BCln2 Dln2解析:yf(x)exaex,yf(x)为奇函数,f(0)1a0,a1,f(x)exex,由exex,得ex2,xln2.答案:C4(2013山西测试)已知函数f(x)x3ax22ax3a2,且在f(x)的图像上点(1,f(1)处的切线在y轴上的截距小于0,则a的取值范围是()A(1,1) B.C. D.解析:f(x)3x22ax2a,f(1)3,又f(1)1a3a2,在点(1,f(1)处的切线为y3(x1)1a3a2,则可得3a2a20,解得a1.答案:C5(2013河南测试)已知函数f(x)是
3、定义在R上的奇函数,且当x(,0时,f(x)exex2a,则函数f(x)在x1处的切线方程为()Axy0 Bexy1e0Cexy1e0 Dxy0解析:由题意f(0)1a0,a1,当x(,0时,f(x)exex21,当x0时,f(x)f(x)exex21,此时f(x)ex2ex,f(1)e2ee,切点为(1,1),故切线方程为exy1e0.答案:B6(2013德州期末)函数f(x)的图像如图所示,f(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A0f(3)f(3)f(2)f(2)B0f(2)f(3)f(3)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析
4、:f(2)、f(3)表示曲线在x2,x3处的切线的斜率,f(3)f(2)表示(2,f(2),(3,f(3)两点连线的斜率根据函数图像知f(2)f(3)f(2)f(3)0.答案:A二、填空题7(2012广东)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析:yx3x3,y3x21,当x1时,k2,由点斜式方程得y32(x1),即2xy10.答案:2xy108(2013宿州月考)若f(x)2xf(1)x2,则f(0)_.解析:f(x)2f(1)2x.令x1,得f(1)2f(1)2,即f(1)2.令x0,得f(0)2f(1)4.答案:49(2013济宁期末)已知f1(x)sinxcosx,记f2(x
5、)f1(x),f3(x)f2 (x), fn(x)fn1(x)(nN*且n2),则f1f2f2 012_.解析:f2(x)f1(x)cosxsinx,f3(x)f2(x)sinxcosx,f4(x)f3(x)sinxcosx,f5(x)f4(x)sinxcosx,运算周期为4,四项和为0,故2 012项和为0.答案:0三、解答题10已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积解析:(1)y2x1.直线l1的方程为y3x3.设直线l2切曲线yx2x2于点B(b,b2b2),斜率
6、k22b1.则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2,则有2b1,b,所以直线l2的方程为yx.(2)解方程得所以直线l1和l2的交点的坐标为.又l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、,所以所求三角形的面积为S|.11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程解析:(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y
7、13(x2)(6),即y13x32.(2)方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1.直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0),0(3x1)(x0)xx016.整理,得x8,x02.y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)方法二:设直线l的方程为ykx,切点为(x0,y0),则k.又kf(x0)3x1,3x1.解之得x02.y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)(3)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0,y0),则
8、f(x0)3x14,x01.或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12设函数f(x)ax(a,bZ),曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明函数yf(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值,并求出此定值解析:(1)f(x)a,于是解得或因为a,bZ,故f(x)x.(2)已知函数y1x,y2都是奇函数,所以函数g(x)x也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11,故函数f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)在曲线上任取一点,由f(x0)1知,过此点的切线方程为y(xx0)令x1,得y,切线与直线x1交点为.令yx,得y2x01,切线与直线yx交点为(2x01,2x01);直线x1与直线yx的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以,所围三角形的面积为定值2.