1、巩固双基,提升能力一、选择题1(2013甘肃诊断)若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：设切点为P(x0，y0)，则斜率k4x4，x01，故切点为P(1,1)，所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.答案：A2(2013南宁测试)曲线yx33x26x10，xR的切线中，斜率最小的切线方程为()Ay3x17 By3x11Cy3x11 Dy6x10解析：斜率k3x26x63(x1)233，k最小时切点为(1，14)，此时切线方程为y3x11.答案：B3(2013桂林调研)设xR，函数f(x)exaex的导函数y
2、f(x)是奇函数，若曲线yf(x)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A. BCln2 Dln2解析：yf(x)exaex，yf(x)为奇函数，f(0)1a0，a1，f(x)exex，由exex，得ex2，xln2.答案：C4(2013山西测试)已知函数f(x)x3ax22ax3a2，且在f(x)的图像上点(1，f(1)处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是()A(1,1) B.C. D.解析：f(x)3x22ax2a，f(1)3，又f(1)1a3a2，在点(1，f(1)处的切线为y3(x1)1a3a2，则可得3a2a20，解得a1.答案：C5(2013河南测试)已知函数f(x)是
3、定义在R上的奇函数，且当x(，0时，f(x)exex2a，则函数f(x)在x1处的切线方程为()Axy0 Bexy1e0Cexy1e0 Dxy0解析：由题意f(0)1a0，a1，当x(，0时，f(x)exex21，当x0时，f(x)f(x)exex21，此时f(x)ex2ex，f(1)e2ee，切点为(1,1)，故切线方程为exy1e0.答案：B6(2013德州期末)函数f(x)的图像如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(3)f(3)f(2)f(2)B0f(2)f(3)f(3)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析
4、：f(2)、f(3)表示曲线在x2，x3处的切线的斜率，f(3)f(2)表示(2，f(2)，(3，f(3)两点连线的斜率根据函数图像知f(2)f(3)f(2)f(3)0.答案：A二、填空题7(2012广东)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：yx3x3，y3x21，当x1时，k2，由点斜式方程得y32(x1)，即2xy10.答案：2xy108(2013宿州月考)若f(x)2xf(1)x2，则f(0)_.解析：f(x)2f(1)2x.令x1，得f(1)2f(1)2，即f(1)2.令x0，得f(0)2f(1)4.答案：49(2013济宁期末)已知f1(x)sinxcosx，记f2(x
5、)f1(x)，f3(x)f2 (x)， fn(x)fn1(x)(nN*且n2)，则f1f2f2 012_.解析：f2(x)f1(x)cosxsinx，f3(x)f2(x)sinxcosx，f4(x)f3(x)sinxcosx，f5(x)f4(x)sinxcosx，运算周期为4，四项和为0，故2 012项和为0.答案：0三、解答题10已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积解析：(1)y2x1.直线l1的方程为y3x3.设直线l2切曲线yx2x2于点B(b，b2b2)，斜率
6、k22b1.则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2，则有2b1，b，所以直线l2的方程为yx.(2)解方程得所以直线l1和l2的交点的坐标为.又l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、，所以所求三角形的面积为S|.11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解析：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y
7、13(x2)(6)，即y13x32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1.直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整理，得x8，x02.y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)方法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k.又kf(x0)3x1，3x1.解之得x02.y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则
8、f(x0)3x14，x01.或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明函数yf(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解析：(1)f(x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)已知函数y1x，y2都是奇函数，所以函数g(x)x也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11，故函数f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)在曲线上任取一点，由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)令x1，得y，切线与直线x1交点为.令yx，得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01,2x01)；直线x1与直线yx的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.