1、大庆实验中学 2021 得分训练（三）理科数学第 1 页 共 4 页大庆实验中学 2021 年高三得分训练（三）理科数学参考答案一、选择题一、选择题题号123456789101112选项DDBBDDACABCD二、填空题13321434i15 5,616.2 23三、解答题17解：（1）选择条件：na是等差数列，112nn nSa nd，112nSnadn，数列nSn是以1a 为首项，2d 为公差的等差数列，7117 67211722SSda，4d，1134147naandnn 选择条件：na是等差数列，111111nnnna adaa，1223671223671111111111a aa a
2、a adaaaaaa17111111112621daadaad，0d，4d，14147naann选择条件：na是等差数列，22222367237aaaad aaa 27163272642aaddad ，0d，4d，14147naann（2）1a，6a，101a是以 3 为首项，5d 为公差的等差数列共101 1 1215 项1610121 203 212041372Saaa 18解：（1）设甲乙丙三人分别通过科目二考试的概率为1P，2P，3P，由题可知112P，123124PP P，12311114PPP，解得213P，314P 或214P，313P 由于乙通过考试的概率比丙大，213P，31
3、4P.（2）由题意，随机变量 的可能取值为 0，1，2，3则1(0)4P ，123123123(1)111111PPPPP PPPP P 12311312111234234234241(3)24P ，1(2)1(0)(1)(3)4PPPP 的分布列为大庆实验中学 2021 得分训练（三）理科数学第 2 页 共 4 页0123P141124141241111113()012342442412E 19解：（1）证明：在 BAD中，因为22ABAD，60BAD.由余弦定理得，2222cos60BDADABAB AD，解得3BD，222ABADDB，ADDB，在直平行六面体中，GD 平面 ABCD，D
4、B 平面 ABCD，GDDB又 ADGDD，BD 平面 ADG，平面 BDG 平面 ADG.（2）解：如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，因为45BAEGAD ，22ABAD，所以 1,0,0A，0,3,0B，0,3,2E，0,0,1G，1,3,2AE，1,0,1AG，0,3,1GB.设平面 AEFG 的法向量,nx y z，3200n AExyzn AGxz ，令1x，得33y，1z ，31,13n.设直线GB 和平面 AEFG 的夹角为，所以30,3,11,1321sincos,730,3,11,13GB nGB nGBn，所以直线GB 与平面 AEFG 所成角的正弦值为217
5、.20解：(1)由2224ceaac 得 a22，c2，所以 b2a2c24，所以椭圆 M 的方程为28x24y1.(2)设直线 l1：ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知 D(x1，y1)，C(x2，y2)联立221844xyykx消去 y 得(12k2)x216kx240,所以 x1x221612kk，x1x222412k.又 kBQ221yx，kDQ111yx，则 kBQkDQ221yx111yx223kxx113kxx2k 12123 xxx x2k2248122412kkk 2k2k0，大庆实验中学 2021 得分训练（三）理科数学第 3 页 共 4 页知 k
6、BQkDQ，故点 B，D，Q 三点共线，即直线 BD 经过点 Q(0，1)同理可得直线 AC 经过点 Q(0，1)所以直线 AC 与直线 BD 交于点 Q(0，1)21解：（1）11()1ln1xxg xexmxe，设1()ln1xh xmxe ，(1)0h因此原问题转化为当1x时，不等式()0h x恒成立，1()xmh xex，当1m 时，()0h x，函数1()ln1xh xmxe 在1x时，单调递减，所以当1x时，()(1)0h xh，所以不等式()0h x恒成立；当1m 时，11()0 xxmh xemxex，设1()xF xxe，1()(1)xF xxe，当1x时，()0F x，所以
7、函数1()xF xxe 此时是单调递增函数，且()(1)1F xF因此函数 ym与函数1()xF xxe 有唯一交点，设0 x，显然01x，因此当0(1,)xx时，()0h x，函数1()ln1xh xmxe 单调递增，当0(,)xx 时，()0h x，函数1()ln1xh xmxe 单调递减，因此max0()()(1)0h xh xh，显然不等式()0h x不恒成立，不符合题意，综上所述：实数 m 的取值范围是(,1；（2）112211122211lnsinlnsin22f xxf xxmxxxmxxx，即2121121(lnln)(sinsin)2mxxxxxx，设()sinG xxx，(
8、)1 cos0G xx，所以函数()sinG xxx是增函数，因为1x，2x 是两个不相等的正数，所以不妨设210 xx，因此有21()()(0)0G xG xG，即2211sin0,sin0 xxxx，因此22112121sinsin0(sinsin)()xxxxxxxx ，即222121111122111(lnln)(sinsin)(222)mxxxxxxxxxxxx，212120lnlnxxmxx，要想证明122x xm 成立，只需证明112221lnlnxxx xxx，因为210 xx，所以令211xtx，因此只需证明1lnttt 在1t 时成立，即1lnttt 在1t 时成立，设函数
9、1()lntm ttt，1t ，2(1)()02tm tt t，所以当1t 时，函数1()lntm xtt单调递减，因此当1t 时，()(1)0m tm，即11()ln0lnttm xtttt，因此1lnttt 成立，所以122x xm.（二）（选考题）共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.22（1）设为曲线 C 上的点，圆上的点的坐标为，依题意，得，则，代入中，得曲线 C 的方程为，参数方程为为参数）（2）点 P的直角坐标为，直线的直角坐标方程为直线 PQ 的斜率为，直角坐标方程为，即设 A，B，联立得，AB 的中点的坐标为大庆实验中学 202
10、1 得分训练（三）理科数学第 4 页 共 4 页线段 AB 的垂直平分线的方程为，即，化为极坐标方程是23（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲（1）由题意得 2220fa，0a，得4a，不等式 2f x 即为4132xx ，1222xx 或1402x或4282xx，解得01x 或14x或 45x，综上可得05x，所以不等式 2f x 的解集为0,5.（2）由（1）得 22,14130,1428,4x xf xxxxxx，作出函数 f x 的图象，如图所示，由于直线2ykx过定点0,2C，当此直线经过点 4,0B时，可得12k；当此直线与直线 AD 平行时，可得2k .结合图象可知，当直线2ykx与函数 f x 的图象有公共点时，k2 或1k2.故实数k 的范围为1,2,2.
