1、6.2 垂直关系的性质考 纲 定 位重 难 突 破1.理解直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言准确地描述定理2.能够灵活地运用两个垂直性质定理证明相关问题3.理解并掌握“平行”与“垂直”的相互转化，以及垂直关系之间的相互转化.重点：线面垂直和面面垂直性质定理的应用难点：常与线面、面面垂直的判定定理结合命题，考查多个定理应用的相互转化疑点：要证明的结论容易被当成已知使用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理一、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两条直线同，那么这两条直线平行ab ab垂直于一个平面 二、平
2、面与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面laala交线双基自测1如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线和这个平面的垂线()A垂直 B相交 C平行D异面解析：设 m，n，则 内一定有一条直线 l，使得 ml，且有 ln，所以 mn.答案：A2在空间中，下列结论正确的是()平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行A B CD解析：由公理 4 知对；垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交、平行；平行于同一个平面的两条直线
3、可能异面、相交、平行；由线面垂直的性质知正确答案：B3两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()A垂直B平行C平行或相交D平行或相交或直线在另一个平面内解析：若这条直线平行于交线则它平行于另一个平面；若这条直线与交线相交则它与另一个平面也相交；若这条直线就是交线则它在另一个平面内答案：D4在 RtABC 中，D 是斜边 AB 的中点，AC6 cm，BC8 cm，EC平面 ABC，EC12 cm，则 ED_cm.解析：连接 CD，则 CD5，又 EC平面 ABC，所以 ECCD，所以 ED EC2CD2 1225213.答案：135如图所示，PO平面 ABC，BOAC，在图中与 AC
4、 垂直的直线有_条解析：连接 PD(图略)，PO平面 ABC，AC 平面 ABC，POAC.又 ACBO，POBOO，AC平面 PBD，平面 PBD 内的 4 条直线 PB，PD，PO，BD 都与 AC 垂直，图中共有 4 条直线与 AC 垂直答案：4探究一 线面垂直的性质的应用典例 1 如图，已知 ADAB，ADAC，AEBC 交 BC 于 E，D 是 FG 的中点，AFAG，EFEG.求证：BCFG.证明 连接 DE.ADAB，ADAC，AD平面 ABC.又 BC 平面 ABC，ADBC.又 AEBC，BC平面 ADE.AFAG，D 为 FG 的中点，ADFG.同理 EDFG.又 ADED
5、D，FG平面 ADE.BCFG.1线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法2证明线线平行的方法：(1)ac，bcab.(2)a，a，bab.(3)，a，bab.(4)a，bab.1.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F 分别在 A1D，AC上，且 EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明：连接 AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面 ABCD，AC 平面 ABCD，DD1AC.又ACBD，且 BDDD1D，AC平面 BDD1B1.BD1 平面 BDD1B1，BD1AC.同理，BD1B1C.B1CACC，BD1平面 AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.
6、又 EFAC，且 ACB1CC，EF平面 AB1C.EFBD1.探究二 面面垂直的性质的应用典例 2 如图，四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，BCD120，平面 PCD平面 ABCD，PCa，PD 2a，E 为 PA 的中点，求证：平面 EDB平面 ABCD.证明 设 ACBDO，连接 EO，则 EOPC.PCCDa，PD 2a，PC2CD2PD2，PCCD.平面 PCD平面 ABCD，CD 为交线，PC平面 ABCD，EO平面 ABCD.又 EO 平面 EDB，故有平面 EDB平面 ABCD.1面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，
7、经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直2证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线以上三点缺一不可2.如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，平面PAC平面 ABC.(1)判断 BC 与平面 PAC 的位置关系，并证明；(2)判断平面 PBC 与平面 PAC 的位置关系解析：(1)BC平面 PAC.证明如下：因为 AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，所以ACB90，即 BCAC.又因为平面 PAC平面 ABC
8、，平面 PAC平面 ABCAC，BC 平面 ABC，所以 BC平面 PAC.(2)因为 BC 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAC.探究三 平行与垂直关系的综合应用典例 3 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面 BCE；(2)设线段 CD，AE 的中点分别为 P，M，求证：PM平面 BCE.证明(1)因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCDAB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，AB
9、AE，所以AEB45.又因为AEF45，所以FEB90，即 EFBE.因为 BC 平面 BCE，BE 平面 BCE，BCBEB，所以 EF平面 BCE.(2)如图，取 BE 的中点 N，连接 CN，MN，则 MN 綊12ABPC，所以四边形 PMNC 为平行四边形所以 PMCN.因为 CN 平面 BCE，PM 平面 BCE，所以 PM平面 BCE.以空间几何体为载体，综合考查空间线线、线面、面面的平行关系与垂直关系是考试的热点，解决这类问题的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系是解决这类问题的关键3.如图，在三棱柱 AB
10、C-A1B1C1 中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBB12BC2，BCC160.(1)求证：C1B平面 A1B1C1；(2)P 是线段 BB1 上的动点，当平面 C1AP平面 AA1B1B 时，求线段 B1P 的长解析：(1)证明：由 AB侧面 BB1C1C，得 ABC1B.由 ABBB12BC2，BCC160，知C1BC90，即 C1BCB.又 CBABB，所以 C1B平面 ABC.由棱柱的性质，知平面 ABC平面 A1B1C1，所以 C1B平面 A1B1C1.(2)因为 AB侧面 BB1C1C，所以平面 ABB1A1平面 BB1C1C.过点 C1 作 C1PBB1 交 BB1 于点
11、P，连接 AP(图略)，则 C1P平面 AA1B1B.又 C1P 平面 C1AP，所以平面 C1AP平面 AA1B1B.在BB1C1C 中，BB1C1BCC160，C1BCBC1B190，所以 B1P12B1C112BC12.平行与垂直的综合应用典例(本题满分 12 分)如图，在ABC 中，ACBC 22 AB，四边形 ABED 是边长为 a 的正方形，平面 ABED平面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点求证：(1)GF平面 ABC；(2)平面 EBC平面 ACD.规范解答(1)如图，取 BE 的中点 H，连接 HF，GH.因为 G，F分别是 EC 和 BD 的中点，所以 HGB
12、C，HFDE.2 分又因为四边形 ADEB 为正方形，所以 DEAB，从而 HFAB.所以 HF平面 ABC，HG平面 ABC.又 HFHGH，HF，HG 平面 HGF，所以平面 HGF平面 ABC.所以 GF平面 ABC.6 分(2)因为四边形 ADEB 为正方形，所以 EBAB.又因为平面 ABED平面 ABC，所以 BE平面 ABC，所以 BEAC.又因为 CA2CB2AB2，所以 ACBC.又 BEBCB，所以 AC平面 BCE.从而平面 EBC平面 ACD.12 分规范与警示(1)解决本题的 2 个关键点：处证明线线平行时，找中点，作辅助线得平行关系，是解题的关键处证明垂直时，往往是
13、通过对已知条件得出的结果进行判断，故立体几何的有关证明可采用作图、计算、证明的混合模式(2)解决该类问题一般思路a线面垂直与平行的相互转化：空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的b转化关系：线线垂直 判定定理定义线面垂直 性质定理判定定理 线线平行(3)在解决平行和垂直的综合问题时，一定要把线面垂直、面面垂直的性质和判定方法掌握准确，应用时所具备的条件要罗列清楚，明确题目中的关键点，为后面的计算或解答明确目标随堂训练 1已知ABC 所在的平面为，直线 lAB，lAC，直线 mBC，m
14、AC，则直线l，m 的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D不确定解析：因为 lAB，lAC，AB，AC 且 ABACA，所以 l，同理可证 m，所以 lm.答案：C2在下列四个正方体中，满足 ABCD 的是()解析：设平面 CBD 内的另一个顶点为 E，则 CDAE，CDBE，所以 CD平面 ABE，所以 CDAB.答案：A3下列几种说法正确的有_(只填序号)平面 平面，直线 l，则 l；平面 平面，平面 平面，则；平面 平面，平面 平面，则.解析：易知正确；和同一个平面垂直的两个平面可以平行，也可以相交，故错误；正确答案：4已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PCBD，则平行四边形 ABCD一定是_解析：由 PA平面 ABCD，得 PABD，又因为 PCBD，PAPCP，所以 BD平面 PAC.于是 BDAC，故 ABCD 一定为菱形答案：菱形课时作业
