1、1.(2012阜阳检测)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C. D.解析：选B.如图建系，则D(0，0，0)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)(1，1，1)，(1，0，2)cos，.2.在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选B.如图，以BCD的中心O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，z轴，平面BCD内垂直OC于点O的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱
2、长为1，则C(，0，0)，A(0，0，)，D(，0)，所以E(，)，所以CE(，)，因为平面BCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以，设夹角为，sin.3.底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，C90，AA1AC，D为CC1上的点，且CC13C1D，则平面BB1D与平面B1DA夹角的余弦值为_解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1AC3，则A(0，3，0)，B1(3，0，3)，D(0，0，2)(0，3，2)，(3，3，3)设平面ADB1的法向量为n(1，)，则解得n(1，2，3)又平面BB1D的法向量(0，3，0)，cosn，.由图知，平面BB1D与平面B1D
3、A夹角的余弦值为.答案：4.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA2，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，)，S(0，0，2)(，1，)，(0，2，2)cos，.BD与SC的所成的角为45.答案：45A级基础达标1.(2012焦作质检)平面的一个法向量为n1(4，3，0)，平面的一个法向量为n2(0，3，4)，则平面与平面夹角的余弦值为()AB.C. D以上都不对解析：选B.cosn1，n2，平面与平面夹角的余弦值为.2.在
4、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与BN夹角的余弦值为()A. BC. D解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，可得A( 1，0，0)，M(1，1)，B(1，1，0)，N(1，1，)，则(0，1)，(0，0，)，视，分别为直线AM，BN的方向向量，则cos，0.设直线AM和BN的夹角为，故cos.3.(2012淮北质检)如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A1B1C1，已知AB1，点D在BB1上，且BD1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是()A. B.C. D.解析：选D.A点坐标为(，0)，D点坐标为(1，0，1)，
5、AD(，1)易知平面ACC1A1的法向量nCBCA(1，0，0)(，0)(，0)，所求角的余弦值为 .4.(2012安康质检)如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1、CD的中点，则_解析：设正方体的棱长为a，则C(0，a，0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，0)，于是得EF(a，)，(a，0，a)所以cos，所以150.答案：1505.正方体A1C中，平面AB1C与平面A1B1C夹角的正切值为_解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(
6、0，1，1)则平面A1B1C的法向量为n1(1，0，1)平面AB1C的法向量为n2(1，1，1)，cosn1，n2，sinn1，n2.tann1，n2.平面与平面间夹角的范围是0，故平面A1B1C与平面B1CA夹角的正切值为.答案：6.(2012九江检测)如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC的夹角的大小；(2)求DP与平面AADD的夹角的大小解：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD所在的直线为x、y、z轴，并以DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz. 则(1，0，0)，(0，0，1)在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m，1)(m0
7、)，由已知，60，由|cos，可得2m，解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC的夹角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0，1，0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD的夹角为30.B级能力提升7.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D的夹角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以(2，2，0)，(0，0，1)，(2，0，1)设平面BB1D1D的一个法向量为a(x，y，z)，由a0，a0得，取x1
8、，得y1，z0，即平面BB1D1D的一个法向量为a(1，1，0)所以所求角的正弦值为|cosa，|.8.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为()A. B.C. D.解析：选D.连接BD，设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，D(，0，0)(0，0)，且为平面BDF的一个法向量由(，0)，(，0，)可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.9.在
9、正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)连接AC，则ACBD，ACBB1，AC平面BB1D1D，是平面BB1D1D的一个法向量(0，1，1)，(1，1，0)cos，60，A1B与平面BB1D1D所成的角为906030.答案：30.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CPm，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为.解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x
10、，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，所以(1，1，m)，(1，1，0)，又0，0，所以是平面BDD1B1的一个法向量设AP与平面BDD1B1所成的角为，则sincos()，所以m.11.(创新题)如图所示，矩形ABCD的边ABa，BC2，PA平面ABCD，PA2，现有数据：a；a1；a；a2；a4.(1)当在BC边上存在点Q，使PQQD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；(2)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线DQ与平面ADP所成的角的大小解：(1)如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(0，2，0)，设BQx，则Q(a，x，0).(a，x2，0)，(a，x，2)因为PQQD，所以a2(x2)x0，即x22xa20有解，所以44a20，所以a21.又a0，所以0a1，所以当在BC边上存在点Q时，a可以取1或.(2)由(1)知a1，所以x1，所以(1，1，0)，平面ADP的一个法向量为n(1，0，0)所以cos，n，所以，n，所以直线DQ与平面ADP所成的角的大小为.
