1、北京市朝阳区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（共10题；共50分）1.设 xR ，则“ x1 ”是“ 0x1 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(x-1x)5 展开式中 x 的系数为（ ） A.-20B.-10C.10D.203.函数 f(x)=13x3-4x+4 在区间 -3,3 上的最大值为（ ） A.-43B.1C.7D.2834.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用 X 表示取到红球的个数，则 D(X)= （ ） A.29B.89C.169D.835.设随机变量 X 服从正态分布
2、N(,2) ，若 P(x2)=0.2 ， P(2x0 ；对任意 k ，存在实数 x ，使得 f(x)0 ；对任意实数 k ， x ，均有 f(x)0 成立；对任意实数 k ， x ，均有 f(x)0 时，称成对数据正相关， r1 ，则 a+2a-1 的最小值为_. 16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220999031女2505012080合计470149210111假设
3、所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是_.三、解答题（共5题；共70分）17.已知集合 A=x|x2-5x-60 ， B=x|m-2xt(x-1) 对任意的 x1 恒成立，求 t 的最大值； （3）设 g(x)=f(x+1)-e+3 的零点为 m(m1) ，当 x1 ， x2(m,+) ，且 x1x2 时，证明： ex1-x2ln(x1+1)ln(x2+1) . 答案解析部分一、单选题（共10题；共50分）1.设 xR ，则“ x1 ”是“ 0x1 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充
4、要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】 x|x1 x|0x1 ，因此，“ x1 ”是“ 0x1 ”的必要不充分条件. 故答案为：B. 【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断，即可得出答案。2.(x-1x)5 展开式中 x 的系数为（ ） A.-20B.-10C.10D.20【答案】 C 【考点】二项式定理 【解析】【解答】 Tr+1=C5rx5-r(-1x)r=(-1)rC5rx5-2r ， 令 5-2r=1 ，解得 r=2 .所以 x 的系数为 (-1)2C52=10 .故答案为
5、：C 【分析】 先求出二项展开式的通项公式，通过通项公式确定x的系数.3.函数 f(x)=13x3-4x+4 在区间 -3,3 上的最大值为（ ） A.-43B.1C.7D.283【答案】 D 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】依题意： f(x)=x2-4=(x+2)(x-2) ，而 x-3,3 ， 于是得 -3x-2 或 20 ， -2x2 时， f(x)71 ，所以 f(x) 最大值为 283 .故答案为：D 【分析】求导，令导数为零,再求f(x)0.得到单调增区间，令f(x)0，得到单调减区间，判定函数在给定的区间x-3,3上，先增再减再增，利用极值和端点值函数值的大小比较
6、可得最值.4.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用 X 表示取到红球的个数，则 D(X)= （ ） A.29B.89C.169D.83【答案】 B 【考点】极差、方差与标准差 【解析】【解答】袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为 812=23 ， 所以， XB(4,23) ，因此， D(X)=42313=89 .故答案为：B. 【分析】求出从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率，再由XB(4,23)即可求出答案。5.设随机变量 X 服从正态分布 N(,2) ，若 P(x2)=0.2 ， P(2x4)=0.6 ，则 = （ ） A.1
7、B.2C.3D.4【答案】 C 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】 P(x4)=P(2x0 ；对任意 k ，存在实数 x ，使得 f(x)0 ；对任意实数 k ， x ，均有 f(x)0 成立；对任意实数 k ， x ，均有 f(x)0 ，故正确错误；因为当 k(-,12)(1,+) 时， =-4(2k-1)(k-1)0 恒成立，故正确；因为当 k12,1 时， =-4(2k-1)(k-1)0 ，所以方程 x2-2kx+3k2-3k+1=0 有一根或两根，所以对任意 x ， f(x)0 不恒成立，故错误；故答案为：A. 【分析】根据二次函数的性质以及根的情况，逐项进
8、行判断，即可得出答案。10.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ） A.70B.140C.210D.280【答案】 B 【考点】组合及组合数公式 【解析】【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形， 并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，从圆周上8个点中任取4点可以构成 C84 个圆内接四边形，所以圆上的“自由弦对”总组数为 2C84=270=140 .故答案为：B. 【分析】因顺次连接一组“自由弦对
9、”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，由组合数的运算可得答案。二、填空题（共6题；共30分）11.判断对错，并在相应横线处划“”或“”.样本相关系数 r0 时，称成对数据正相关， r0 时，称成对数据负相关_.样本相关系数的绝对值 |r| 越接近于1，线性相关程度越弱， |r| 越接近于0，线性相关程度越强_. 【答案】 ； 【考点】两个变量的线性相关 【解析】【解答】由成对数据正负相关与相关系数的对应关系知，正确，在横线处划“”； 因样本相关系数的绝对值 |r| 越接近于1，线性相关程度越强
10、， |r| 越接近于0，线性相关程度越弱，则不正确，在横线处划“”.故答案为：； 【分析】 根据线性回归中，相关系数的定义，利用相关系数r进行判断，而且|r|越接近于1,相关程度越强;|r越接近于0，相关程度越弱，即可得答案.12.某单位工会组织75名会员观看光荣与梦想觉醒年代跨过鸭绿江三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看人数只看过光荣与梦想12只看过觉醒年代11只看过跨过鸭绿江8只看过光荣与梦想和觉醒年代7只看过光荣与梦想和跨过鸭绿江4只看过觉醒年代和跨过鸭绿江5同时看过光荣与梦想觉醒年代和跨过鸭绿江21则会员中看过跨过鸭绿江的共有_人，三部电视剧中，看过至少一部
11、的有_人.【答案】 38；68 【考点】Venn图表达集合的关系及运算 【解析】【解答】解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示： 由图可知看过跨过鸭绿江的共有 21+4+5+8=38 人；三部电视剧中，看过至少一部的有 12+7+21+4+8+5+11=68 人.故答案为：38；68. 【分析】根据题意，将数据利用韦恩图表示，即可得出答案。13.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第 n 行的各数就是 (a+b)n 的展开式的二项式系数. 则第10行共有_个奇数；第100行共有_个奇数.【答案】 4；
12、4 【考点】归纳推理 【解析】【解答】由杨辉三角可得如下表： 第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个；第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个；第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个；第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；第88行，2个；第89行，4个；第90行，4个； 第91行，8个； 第92行，4个；第93行，8个；第94行，8个；第95行，16个；第96行，2个；第97行，4个；第98
13、行，4个； 第99行，8个； 第100行，4个；第101行，8个；第102行，8个；第103行，16个；故答案为：4；4 【分析】利用题中所给的规律进行推理，即可得出答案。14.函数 f(x)=cosxcos2x 的定义域为_，极大值点的集合为_. 【答案】xR|xk2+4,kZ；x|x=(2k-1),kZ【考点】利用导数研究函数的极值，余弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】依题意得 cos2x0 ，即 2xk+2,kZ ，解得 xk2+4,kZ ， 所以函数 f(x)=cosxcos2x 的定义域为 xR|xk2+4,kZ ；f(x)=-sinxcos2x-cosx(-2sin2x)cos
14、22x=2sin2xcosx-sinxcos2xcos22x=2sinxcos2x+sinxcos22x=sinx(2cos2x+1)cos22x ，由 f(x)=0 ，即 sinx=0 得 x=k(kZ) ，2k-4x2k(kZ) 时， f(x)0 ， 2kx0 ，于是得 x=2k(kZ) 是 f(x) 极小值点，2k+4x0 ， 2k+54x2k+74(kZ) 时 f(x)0 ，2k+34x0 ， (2k+1)x2k+54(kZ) 时， f(x)1 ，则 a+2a-1 的最小值为_. 【答案】22+1【考点】基本不等式 【解析】【解答】因为 a1 ，则 a+2a-1=a-1+2a-1+12
15、(a-1)2a-1+1=22+1 ， 当且仅当 a-1=2a-1 时，即 a=1+2 时取等号，所以 a+2a-1 的最小值为 22+1 .故答案为： 22+1 【分析】由 a+2a-1=a-1+2a-1+1结合基本不等式可得 a+2a-1的最小值 。16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220999031女2505012080合计470149210111假设所有学生睡眠质
16、量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是_.【答案】 0.47 【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】从该中学男生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 99220=920 ， 从该中学女生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 50250=15 ，因此，该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是 P=92045+112015=0.47 .故答案为：0.47. 【分析】根据相互独立的概率公式求解，即可得出答案。三、解答题（共5题；共70分）17.已知集合
17、A=x|x2-5x-60 ， B=x|m-2xm . （1）若 m=0 ，全集 U=AB ，求 UB ； （2）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 m 的取值范围. 条件：若 AB=A ；条件：若 AB= .如果选择条件条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】 （1）因为 x2-5x-60 ，所以 -1x6 ，所以 A=x|-1x6 ， 又 B=x|-2x0 ，所以 U=AB=x|-2x6 ，所以 UB=x|0x6 ；（2）若选：因为 AB=A ，所以 BA ， 又因为 m-2m 恒成立，所以 B ，所以 m-2-1m6 ，所以 1m6 ，即 m 的取值范围是 m|1m6 ；若选：因为 m
18、-2m 恒成立，所以 B ，又因为 AB= ， m-1 或 m-26 ，所以 m-1 或 m8 ，即 m 的取值范围是 m|m-1 或 m8 .【考点】并集及其运算，补集及其运算，子集与交集、并集运算的转换 【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，求得A，化简B，根据补集的定义即可求得 UB； （2） 若选：因为AB=A ， 所以BA ， 得 m-2-1m6 ，求解可得 m的取值范围； 若选：因为m-20 时， f(x)0xlnk ， f(x)00x0 时， f(x) 的单调递增区间是 (lnk,+) ；（2）因为 a12 ，要证 f(x)ax2 ，只需证 f(x)12x2 ， 设 g(x)=
19、f(x)-12x2=ex-x-1-12x2,x0 ，g(x)=ex-x-1 ，令 u(x)=ex-x-1,u(x)=ex-10,x0 恒成立，所以 u(x) 在 0,+) 上单调递增，所以 u(x)u(0)=0 ，即 g(x)0,x0,+) 上恒成立，所以 g(x),x0,+) 单调递增， g(x)g(0)=0 ，即 g(x)=f(x)-12x20 ，得证.【考点】利用导数研究函数的单调性，分析法和综合法 【解析】【分析】（1）求导得 f(x)=ex-k ， 分 k0，k0 讨论函数的单调性可得 f(x)的单调递增区间； （2） 要证f(x)ax2 ， 只需证f(x)12x2 ， 设g(x)=
20、f(x)-12x2=ex-x-1-12x2,x0 ， g(x)=ex-x-1 ， 令u(x)=ex-x-1,u(x)=ex-10,x0恒成立， 求解可证得 f(x)ax2.19.根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片八佰和金刚川合力贡献了国内全年票房的15 .我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况. （1）记C表示事件：“观看电影八佰的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计C的概
21、率；（2）现从参与调查的电影金刚川的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率. （3）填写下面的22列联表，并根据小概率值=0.01的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片女性观众男性观众总计八佰100金刚川100总计861142000.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828附：x2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】（1）由图1知，“观看电影八佰的观众年龄低于30岁”的频率为0.07+0.26+0.24=0.57，由此估计
22、事件C的概率为P(C)=0.57；（2）由图2知，参与调查的电影金刚川的100名购票观众中男性有61人，从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件B，相当于从含60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件，其概率为P(B)=6099=2033，（3）观察图2得22列联表如下：影片女性观众男性观众总计八佰4753100金刚川3961100总计86114200则x2的观测值为x2=200(4761-5339)210010086114=320024511.306t(x-1) 对任意的 x1 恒成立，求 t 的最大值； （3）设 g(x)=f(x+1)-e+3
23、 的零点为 m(m1) ，当 x1 ， x2(m,+) ，且 x1x2 时，证明： ex1-x2ln(x1+1)ln(x2+1) . 【答案】 （1）函数 f(x)=x-lnx-2 定义域为 (0,+) ， f(x)=1-1x=x-1x ， 0x1 时 f(x)1 时 f(x)0 ， x=1 时， f(x) 取得极小值 f(1)=-1 ，无极大值，所以 f(x) 的极小值为-1，无极大值；（2）x1,xlnx+xt(x-1)t1) ， h(x)=(lnx+2)(x-1)-(xlnx+x)(x-1)2=x-lnx-2(x-1)2 ，由(1)知 f(x)=x-lnx-2 在 (1,+) 上单调递增
24、，而 f(3)=1-ln30 ，x0(3,4),f(x0)=0 ，即 lnx0=x0-2 ，当 1xx0 时， f(x)0,h(x)x0 时， f(x)0,h(x)0 ，于是得 h(x) 在 (1,x0) 上递减，在 (x0,+) 上递增，则 x=x0 时， h(x)min=h(x0)=x0lnx0+x0x0-1=x0(x0-2)+x0x0-1=x0(3,4) ，从而有 tx0 ，而 tZ ，则 tmax=3 ，所以 t 的最大值是3；（3）由(1)知 g(x)=f(x+1)-e+3 在 (0,+) 上递增， g(1)=f(2)-e+3=3-e-ln20 ， 即 g(x) 大于1的零点 m(1
25、,2) ，令 (x)=ln(x+1)ex,x(m,+) ， (x)=e-x1x+1-ln(x+1) ，显然 F(x)=1x+1-ln(x+1) 在 (1,+) 上单调递减， x(m,+),F(x)F(m)F(1)=12-ln20 ，于是得 x(m,+),(x)x2 时， (x1)(x2) ，即 ln(x1+1)ex1ln(x2+1)ex2ln(x1+1)ln(x2+1)x2 时， ex1-x2ln(x1+1)ln(x2+1) .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）用一阶导数求极值即可； （2） 令h(x)=xlnx+xx-1(x1) ， 求导可得单调性，进而得出 t的最大值 ； （3） 由(1)知g(x)=f(x+1)-e+3在(0,+)上递增，根据零点判断定理可得 g(x)大于1的零点m(1,2) ， 令(x)=ln(x+1)ex,x(m,+) ，求导可得 (x)在(m,+)上单调递减， 进而可证得 ex1-x2ln(x1+1)ln(x2+1).
