1、第1讲 数列的概念与简单表示法 第五章 数列考纲解读 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数2掌握数列求通项的几种常用方法：利用 Sn 与 an 的关系求通项；利用递推关系求通项(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测 2021 年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前 n 项和综合考查，涉及题型有：由 Sn 求 an；由递推关系求 an；根据 anf(n)求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1 基础知识过关 PART ONE 1.数列的有关概念数列按照 0
2、1 _的一列数数列的项数列中的 02 _数列的通项数列an的第 n 项 an通项公式数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式 03 _表达前 n 项和Sn 04 _数列的函数特征数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数 anf(n)一定的次序排列起来每一个数anf(n)a1a2an2数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数 01 _按项数分类无穷数列项数 02 _递增数列an1 03 _an递减数列an1 04 _an按项与项间的大小关系分类常数列an1an其中nN*按其他标准分类有界数列、摆动数列、周期数列有限无限0，且 2Sna2nan(nN*)
3、求数列an的通项公式解 当 n1 时，2S1a21a1，则 a11.当 n2 时，anSnSn1a2nan2a2n1an12，即(anan1)(anan11)0anan1 或 anan11，所以 an(1)n1 或 ann.解角度 1 形如 an1anf(n)，求 an1.已知数列an中，a12，an1anln 11n，求通项公式 an.题型三 由递推关系求通项公式 解 an1anln 11n，anan1ln 1 1n1 ln nn1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln nn1ln n1n2ln 32ln 222ln nn1n1n2322 2ln n(n2)又 a1
4、2 适合上式，故 an2ln n(nN*).解角度 2 形如 an1anf(n)，求 an2.已知数列an中，a11，ann1n an1(n2)，求通项公式 an.解 ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n1n a1n 1n.当 n1 时也满足此等式，an1n.解角度 3 形如 an1panq，求 an3.已知数列an中，a11，an12an3，求通项公式 an.解 递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)，即 an12antt3.故递推公式为 an132(an3)，令 bnan3，则 b1a134，且bn1
5、bn an13an3 2.所以bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn42n12n1，所以 an2n13.解1.累加法求通项公式的四步骤2.累乘法求通项公式的四步骤3.构造法求通项公式的三步骤1.数列an中，a11，an1an2n，则通项公式 an_.解析 an1an2n，an2an12n2，故 an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列当 n 为偶数时，a21，故 ana22n21 n1.当 n 为奇数时，an1an2n，an1n(n1 为偶数)，故 ann.综上所述，ann，n为奇数，n1，n为偶数(nN*).解析n，n为奇数，n1，n为偶数(nN*
6、)2.在数列an中，a13，(3n2)an1(3n1)an(n1)，则 an_.解析(3n2)an1(3n1)an，an13n13n2an，an3n113n123n213n223213223132a13n43n13n73n45825363n1，当 n1 时，满足此等式，an63n1.解析63n13.设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式 an_.解析 因为(n1)a2n1na2nan1an0，所以(an1an)(n1)an1nan0.又因为 an0，所以 an1an0，所以(n1)an1nan0，即an1an nn1，nN*.解
7、析1n所以a2a112，a3a223，a4a334，anan1n1n，以上各式相乘得ana1122334n1n 1n.又 a11，所以 an1n.解析1.已知 ann0.99n0.99，那么数列an是()A.递减数列B递增数列C.常数列D摆动数列题型四 数列的性质及应用解析 ann0.99n0.99n0.991.98n0.991 1.98n0.99，因为函数 y1 1.98x0.99在(0.99，)上是减函数，所以数列an是递减数列.答案解析2.(2019大庆模拟)已知数列an的通项公式 an(n2)67n，则数列an的项取最大值时，n_.解析 因为 an1an(n3)67n1(n2)67n6
8、7n6n37n2 67n4n7.当 n0，即 an1an；当 n4 时，an1an0，即 an1an；当 n4 时，an1an0，即 an10数列an是递增数列；an1an0 时，an1an 1数列an是递增数列；an1an 1数列an是递减数列；an1an 1数列an是常数列当 an1数列an是递减数列；an1an 0 且 a2a1(2a)aan2an2，可得 0a1，故实数 a 的取值范围为(0,1).解析(0,1)3 课时作业 PART THREE 1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第 n 个图形的边数为()A5n1 B6nC5n1 D4n2A组基础关解析 第一个图形是六边形，即
9、a16，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加 5 条边，所以 a26511，a311516，观察可得选项C 满足此条件.答案解析2.(2020秦皇岛质检)数列23，45，67，89，的第 10 项是()A.1617B1819C2021D2223解析 观察前 4 项可知，此数列的一个通项公式为 an(1)n1 2n2n1，所以 a102021.答案解析3.数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是()A.103 B10818C10318D108解析 an2n229n32n2292 n 32n2942329298.结合二次函数的性质可得此数列的最大项为 a7108.答案解析4.(201
10、9沈阳模拟)已知数列an中 a11，ann(an1an)(nN*)，则an()A.2n1 B.n1nn1C.nDn2解析 解法一：特值法可确定 C 正确解法二：ann(an1an)，而an1an n1n，则 an anan1an1an2a3a2a2a1 nn1n1n23221n.故选 C.答案解析5.(2019长春模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snnan为常数列，则 an()A.13n1B.2nn1C.6n1n2D.52n3解析 由题意知，Snnan2，当 n2 时，(n1)an(n1)an1，从而a2a1a3a2a4a3 anan11324n1n1，得 an2nn1，n
11、1 时，上式也成立故选 B.答案解析6.(2019湖北八校联考)已知数列an满足 an 5n1(nN*)，将数列an中的整数项按原来的顺序组成新数列bn，则 b2019 的末位数字为()A.8 B2 C3 D7解析 由 an 5n1，可得数列an的整数项为2,3,7,8,12,13,17,18，末位数字分别是 2,3,7,8,2,3,7,8，因为 201945043，故 b2019 的末位数字为 7.故选 D.答案解析7.(2019辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩
12、，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用 an 表示解下 n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，an满足 a11，且 an2an11，n为偶数，2an12，n为奇数，则解下 4个环所需的最少移动次数为()A.7 B10 C12 D22解析 依题意 a42a312(2a22)122(2a11)217.答案解析8.设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sna14n13，若 a432，则 a1_.解析 Sna14n13，a432，255a1363a13 32，a112.解析129.(2020陕西商洛期中)在数列an中，已知an(1)nna(a为常数)，且 a1a43a2，则 a100_.解析
13、由题意，得 a1a，a45a，a23a.因为 a1a43a2，所以 a5a3(3a)，解得 a4，所以 an(1)nn4，所以 a100(1)100100497.解析9710.(2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三第五次测评)在数列an中，a1a，an1(an1)cosn，Sn 是数列an的前 n 项和，若 S20192019，则 a_.解析 因为 a1a，a2(a1)，a3a，a4a1，a5a，a6(a1)，a7a，所以数列an是周期为 4 的数列因为 a1a2a3a4a(a1)a(a1)2，故 S2019504(2)a1a2a31008a12019，则 a1010.解析10101
14、.(2020广东中山一中月考)已知数列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则89是该数列的()A.第 127 项B第 128 项C.第 129 项D第 130 项B组能力关答案解析 将该数列的第一项 1 写成11，再将该数列分组，第一组 1 项：11；第二组 2 项：12，21；第三组 3 项：13，22，31；第四组 4 项：14，23，32，41，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加 1，且从第二组起每组的分子从 1 开始依次增加 1，因此89应位于第十六组中第八位由 12158128，得89是该数列的第 128 项.解析2.已知数列an的通项公式
15、为 ann22n(nN*)，则“0，即 2n12 对任意的 nN*都成立，于是有 32，32.由 1 可推得 32，但反过来，由 32不能得到 1，因此“1 时，有 anSnSn1n23 ann13 an1，整理得 ann1n1an1.又 a11，所以 a231a1，a342a2，解an1 nn2an2，ann1n1an1，将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 annn12.当 n1 时，满足上式综上，an的通项公式 annn12.解5.(2019银川模拟)已知函数 f(x)2x2x，数列an满足 f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列解(1)因为 f(x)2x12x，f(log2an)2n，所以 an 1an2n，所以 a2n2nan10，解得 ann n21，因为 an0，所以 an n21n，nN*.(2)证明：an1an n121n1n21nn21nn121n10，所以 an1an，所以数列an是递减数列.解本课结束
