1、第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意
2、角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)若，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)
3、Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确答案C3(2014新课标全国卷)若tan 0，则()Asin 20 Bcos 0 Csin 0 Dcos 20 解析由tan 0可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，故sin 22sin cos 0，故选A.答案A4(2014大纲全国卷)已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A. B. C D 解析由三角函数的定义知cos .故选D.答案D5(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案考点一象限角与三角
4、函数值的符号判断【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角的判断结论为：当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)C(2)C规律方法(1)已知所在的象限，求或
5、n(nN*)所在的象限的方法是：将的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解【训练1】 (1)设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C
6、等于0 D不存在解析(1)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)B(2)A考点二三角函数的定义【例2】 已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，sin m.m0，m.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)cos ，tan .综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需
7、确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓
8、，则60，R10，l10(cm)，S弓S扇S10102sin 50(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R2.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2lR.【训练3】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_ cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2.解析设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2.答案121 微型
9、专题三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质【例4】 函数ylg(2sin x1)的定义域为_点拨依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可解析要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ)答案(kZ)点评利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0到2范围内的特殊角
10、的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在思想方法1任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一
11、个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若sin 0且tan 0，则是() A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析sin 0，则的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限 答案C2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为() A. B. C. D2 解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，. 答案C3若是第三象限角，则下列各式中不成立的是() Asin cos 0 Bt
12、an sin 0 Ccos tan 0 Dtan sin 0 解析是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A，C，D，故选B. 答案B4(2014南阳一模)已知锐角的终边上一点P(sin 40，1cos 40)，则锐角()A80 B70 C20 D10解析根据三角函数定义知，tan tan 70，故锐角70.答案B5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析
13、由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案A二、填空题6已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，则180(180k360)180180(90k360)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角答案一7已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_解析因为sin ，
14、所以y0，且y264，所以y8.答案88函数y的定义域为_解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)三、解答题9已知角的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a0，求sin ，cos ，tan .解r5|a|.当a0时，r5a，sin ，cos ，tan ；当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .10(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解(1)
15、设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去)扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1 (cm)，AB2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2，3 B(2，3)C2，3) D2，3解析由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.答案A12已知圆O：x2y24与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为，则tan
16、 ()A1 B1C2 D2解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan 1.答案B13如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为_解析如图，作CQx轴，PQCQ，Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，故(2sin 2，1cos 2)答案(2sin
17、 2，1cos 2)14已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos的符号解(1)由sin 0，知的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由(2k1)2k，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 取正号；当在第四象限时，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 也取正号 因此，tan sin cos 取正号.第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函
18、数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_Cos_余弦cos cos_ cos_ cos_ sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角(
19、)(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若k(kZ)，则cos2.()2tan 300sin 450的值为()A1 B1 C1 D1解析tan 300sin 450tan(36060)sin(36090)tan(60)sin 90tan 6011.答案B3(2015广州调研)已知sin，那么cos ()A B C. D.解析sinsincos ，cos .故选C.答案C4已知sin()log8 ，且，则tan(2)的值为()A B. C D.解析sin()sin log8 ，又因为，则cos ，所以tan(2)
20、tan()tan .答案B5(人教A必修4P22B3改编)已知tan 2，则sin cos _解析sin cos .答案考点一同角三角函数基本关系式及应用【例1】 (1)已知tan 2，则_.(2)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2 ()A B. C D.解析(1)1.(2)由于tan 2，则sin2sin cos 2cos2.答案(1)1(2)D规律方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型【训练1】 若3sin cos
21、 0，则的值为()A. B. C. D2解析3sin cos 0cos 0tan ，.答案A【例2】 (1)(2014山东省实验中学诊断)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_(2)已知0，sin cos ，则的值为()A. B. C. D.解析(1)当时，sin cos ，cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 1，cos sin .深度思考第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sin 与cos ；其二求cos sin ；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sin 与cos .(2)法一联立由得，sin cos ，将其代入
22、，整理得25cos25cos 120.因为0，所以于是.法二因为sin cos ，所以(sin cos )2，可得2sin cos .而(cos sin )2sin22sin cos cos21，又0，所以sin 0，cos 0，所以cos sin .于是.答案(1)(2)C规律方法求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin cos ，sin cos ，sin cos 之间可建立联系，若令sin cos t，则sin cos ，sin cos (注意根据的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用【训练2】 已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B
23、 C. D1解析法一由得：2cos22cos 10，即0，cos .又(0，)，tan tan 1.法二因为sin cos ，所以sin，所以sin1.因为(0，)，所以，所以tan 1.法三因为sin cos ，所以(sin cos )22，所以sin 21.因为(0，)，2(0，2)，所以2，所以，所以tan 1.答案A考点二利用诱导公式化简三角函数式【例3】 (1)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_(2)设f()(12sin 0)，则f _解析(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(33601
24、20)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f()，f.答案(1)1(2)规律方法利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【训练3】 (1)sin(1 071)sin 99sin
25、(171)sin(261)tan(1 089)tan(540)_(2)化简：_解析(1)原式(sin 1 071)sin 99sin 171sin 261tan 1 089tan 540sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)tan(33609)tan(360180)sin 9cos 9sin 9cos 9tan 9tan 180000.(2)原式1.答案(1)0(2)1 考点三利用诱导公式求值【例4】 (1)已知sin，则cos_(2)已知tan，则tan_解析(1)，coscossin.(2)，tantantan.答案(1)(2)规律方法巧用相关角的关系会简
26、化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等【训练4】 (1)已知sin，则cos_(2)若tan()，则tan(3)_解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)因为tan()tan ，所以tan(3)tan()tan .答案(1)(2)思想方法1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦
27、或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan .易错防范1诱导公式的应用及注意事项(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的
28、正负2化简三角函数应注意的几点(1)化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的(2)化简形如(A可化为形如a2的三角函数式)，这种问题是利用|a|(a是实数)化去根号(3)化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2C(sin 2cos 2) Dcos 2sin 2 解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案A2已知sin ，则sin4cos4的值为()A B C. D.解析sin4cos
29、4sin2cos22sin211.答案B3已知和的终边关于直线yx对称，且，则sin 等于()A B. C D.解析因为和的终边关于直线yx对称，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .答案D4(2014肇庆模拟)已知sin，则sin() ()A. B C. D 解析由已知sin，得cos ，sin ，sin()sin .答案D5已知sin，则cos()A. B C. D解析cossinsinsin.答案D 二、填空题6如果sin(A)，那么cos的值是_解析sin(A)，sin A.cossin A.答案7sin cos tan的值是_解析原式sincostan().答案8已知c
30、osa(|a|1)，则cossin的值是_解析由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案0三、解答题9已知sin ，.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值解(1)sin Acos A，两边平方得12sin Acos A，sin Acos A，(2)由sin Acos A0，且0A，可知cos A0，A为钝角，ABC是钝角三角形(3)(sin A
31、cos A)212sin Acos A1，又sin A0，cos A0，sin Acos A0，sin Acos A，由，可得sin A，cos A，tan A.能力提升题组(建议用时：25分钟)11若sin，则cos等于()A B C. D.解析.sinsincos.则cos2cos21.答案A12(2014武汉模拟)已知，sin cos ，则tan等于()A7 B7 C. D解析由sin cos 两边平方得12sin cos ，2sin cos ，又，此时sin 0，cos 0，sin cos ，联立得解得sin ，cos ，tan ，tan，故选C.答案C13sin21sin22sin2
32、90_解析sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin290441.答案14是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解假设存在角，满足条件，则由已知条件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin .，.当时，由式知cos ，又(0，)，此时式成立；当时，由式知cos ，又(0，)，此时式不成立，故舍去存在，满足条件.第3讲 两角和与差的正弦
33、、余弦、正切最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_cos()cos_cos_sin_sin_tan()2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22cos2112sin2tan 23有关
34、公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos2，sin2(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使tan 22tan
35、 .()2(2015长沙模拟)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()A B C. D.解析由(sin cos )2得2sin cos ，在第二象限，cos sin ，故cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin )，选A.答案A3(人教A必修4P137A13(5)改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)
36、sin 135.答案4设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0，2cos 10，即cos ，sin ，tan ，tan 2.答案5(2015青岛质量检测)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案考点一三角函数式的化简与给角求值【例1】 (1)已知(0，)，化简：_(2)2sin 50sin 10(1tan 10)_解析(1)原式.因为0，所以0，所以cos 0，所以原式cos .(2)原式sin 80(2sin 502sin 10)cos
37、 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.答案(1)cos (2)规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值【训练1】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D21(2)(201
38、4临沂模拟)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.法二(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2cos 2(sin2cos 2)cos 2
39、.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.答案(1)C(2)考点二三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值深
40、度思考运用两角和(差)的三角函数公式，其关键在于构造角的和(差)，在构造的过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样的变角过程你掌握了吗？解(1)0，0，又(0，)00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.规律方法(1)解题中注意变角，如本题中；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练2】 已知cos ，cos()，且0，(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)cos ，0，sin ，tan 4，
41、tan 2.(2)0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin().考点三三角变换的简单应用【例3】 (2014广东卷)已知函数f(x)Asin，xR，且f .(1)求A的值；(2)若f()f()，求f .解(1)由f ，得Asin，又sin，A.(2)由(1)得f(x)sin，由f()f()，得sinsin，化简得cos ，sin ，故f sinsin .规律方法解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角
42、的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等【训练3】 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f coscos 2，求cos sin 的值解(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有sincos(cos2sin2)，所以sin cos cos sin(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )
43、2.由是第二象限角，知cos sin 0， 此时cos sin .综上所述，cos sin 或.思想方法1三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围2巧用公式变形和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公
44、式cos2，sin2，配方变形：1sin ，1cos 2cos2，1cos 2sin2.易错防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014皖南八校联考)若tan ，则()A. BC. D解析tan .答案A2(2015东北三省三校联考)已知sin cos ，则sin2 ()A. B.C. D.解析由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B.答
45、案B3(2014杭州调研)已知，且cos ，则tan等于 ()A7 B.C D7解析因，且cos ，所以sin 0，即sin ，所以tan .所以tan.答案B4已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于 ()A. B. C. D.解析，均为锐角，0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A. B. C2 D3(2)函数f(x)sin的单调减区间为_解析(1)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.(2)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin
46、的单调增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ)答案(1)B(2)(kZ)思想方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式2函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质易错防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.基础巩固题组(建议
47、用时：40分钟)一、选择题1(2015石家庄模拟)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析当k2xk(kZ)时，函数ytan单调递增，解得x(kZ)，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)，故选B.答案B2(2014新课标全国卷)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A BC D解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，因此选A.答案A3(2014云南统一检测)已知函数f(x)cos23x，则f(
48、x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于()A. B. C. D.解析因为f(x)cos 6x，所以最小正周期T，相邻两条对称轴之间的距离为，故选C.答案C4已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，则的值为()A0 B. C. D.解析据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kZ)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意答案B5(2015金华十校模拟)关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为解析函数ytan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误当x时，tan0，为其图象的一
49、个对称中心，故选C.答案C二、填空题6函数ycos的单调减区间为_解析由ycoscos得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案(kZ)7函数ylg(sin x)的定义域为_解析要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.答案(kZ)8函数ysin2xsin x1的值域为_解析ysin2xsin x1，令tsin x，t1，1，则有yt2t1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1，可得y.答案三、解答题9已知函数f(x)，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域解由cos 2x0得2xk，kZ，解
50、得x，kZ，所以f(x)的定义域为.因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)f(x)所以f(x)是偶函数，当x，kZ时，f(x)3cos2x1.所以f(x)的值域为.10(2014天津卷)已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数F ，f ，f .所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为
51、.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C2 D3解析f(x)2sin x(0)的最小值是2，此时x2k，kZ，x，kZ，0，kZ，6k且k0，kZ，min.答案B12(2014成都诊断)若f(x)3sin x4cos x的一条对称轴方程是xa，则a的取值范围可以是()A. B. C. D. 解析因为f(x)3sin x4cos x5sin(x)，则sin(a)1，所以ak，kZ，即ak，kZ，而tan 且0，所以，所以kak，kZ，取k0，此时a，故选D.答案D13已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin
52、 xcos x时，f(x)cos x，当sin xcos x时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kx(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2.其中正确的结论序号是_解析易知函数f(x)是周期为2的周期函数函数f(x)在一个周期内的图象如图所示由图象可得，f(x)的最小值为，当且仅当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kx(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2.所以正确的结论的序号是.答案14(2015武汉调研)已知
53、函数f(x)ab.(1)若a1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x0，时，函数f(x)的值域是5，8，求a，b的值解f(x)a(1cos xsin x)basinab.(1)当a1时，f(x)sinb1，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)的单调增区间为(kZ)(2)0x，x，sin1，依题意知a0.()当a0时，a33，b5.()当a0时，a33，b8. 综上所述，a33，b5或a33，b8.第5讲 函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化
54、现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题知 识 梳 理1“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.Xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径3函数yAsin(x)的物理意义当函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时，A
55、叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样()(2)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(3)函数f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()2(2014四川卷)为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向
56、左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度解析因为ysin(2x1)sin ，所以只需将ysin 2x的图象向左平行移动个单位即可，故选A.答案A3已知简谐运动f(x)2sin(|)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为_解析由题意知12sin ，得sin ，又|，得；而此函数的最小正周期为T26.答案6，4.(人教A必修4P60例1改编)如图，某地一天，从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_解析从图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又
57、102，解得，y10sin20，x6，14答案y10sin20，x6，145(2014安徽卷)若将函数f(x)sin的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_解析由f(x)sincos的图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称可知2k，kZ，故，又0，故min.答案考点一函数yAsin(x)的图象及变换【例1】 设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到解(1)f(x)sin xcos x22sin，又T，即2.f(x)2s
58、in.函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象
59、上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin的图象规律方法作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【训练1】 设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f .(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象解(1)T，2，又fcos，sin ，又0，.(2)由
60、(1)得f(x)cos，列表：2x0x0f(x)1010图象如图考点二利用三角函数图象求其解析式【例2】 (1)(2014沈阳模拟)已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示，f，则f(0)()A B C. D.(2)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_深度思考此类题目一般是的值是唯一确定的，但的值是不确定的，它可能有无数个，但一般都限制了的取值范围，还要注意用哪一个点求易出错解析(1)由三角函数图象得，即T，所以3.又x是函数单调增区间中的一个零点，所以32k，解得2k，kZ，所以f(x)Acos.由f，得A，所以f(x)cos，所以f(
61、0)cos.(2)由题图可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2，所以，故f(x)sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)sin.答案(1)C(2)f(x)sin规律方法已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)五点法，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号
62、或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求【训练2】 (1)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A B C. D(2)(2014南京、盐城模拟)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f 的值为_解析(1)由题意得f(0)0，即Acos 0，因为0，A0，所以，由FG2，得2，即，E的纵坐标为yE2sin 60，所以A，故f(x)cossinx，所以f(1).故选D.(2)由三角函数图象可得A2，T，所以周期T，解得2.又函数图象过点所以f 2sin2，0，解得
63、，所以f(x)2sin，f2sin1.答案(1)D(2)1考点三函数yAsin(x)的性质应用【例3】 (2014山东卷)已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图象过点和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由题意知g(x)f(x)2sin.
64、设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得sin1，因为00，0，2.由于f(x)2sin(x)(0，)的一个最高点为，故有22k(kZ)，即2k，又0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且f f f ，则f(x)的最小正周期为_解析f(x)在区间上具有单调性，所以，即T，又f f ，所以x和x均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x，又因为f f ，且f(x)在区间上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为，故函数f(x)的最小正周期T4.答案三、解答题9(2015景德镇测试)已知函
65、数f(x)4cos xsina的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)在坐标系上作出f(x)在0，上的图象解(1)f(x)4cos xsina4cos xasin 2x2cos2xasin 2xcos 2x1a2sin1a的最大值为2，a1，最小正周期T.(2)列表：x02x2f(x)2sin120201画图如下：10(2014湖北卷)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102102s
66、in，又0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t0)，f f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_解析依题意，x时，y有最小值，sin1，2k(kZ)8k(kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以，即12，令k0，得.答案14已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上
67、的值域解(1)因为f(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x2sin，函数f(x)的最小正周期为T，由2k2x2k，kZ，kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)函数yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y2sin；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到g(x)2sin2sin2cos 4x，当x时，4x，所以当x0时，g(x)max2，当x时，g(x)min1.yg(x)在区间上的值域为1，2.第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定
68、理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)
69、r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)在ABC中，a，b，B45，则A60或120.()(3)从A处望
70、B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()2(2014江西卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A. B. C1 D.解析由正弦定理知，21，又知3a2b，所以，21，故选D.答案D3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所
71、示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4(2014福建卷)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_解析由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A，所以12AB2162AB4cos 60，解得AB2，所以SABCABACsin A24sin 602.答案25(人教A必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形
72、答案等腰三角形或直角三角形考点一正、余弦定理的简单运用【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a2，b，A45，则c_(2)若(abc)(abc)ac，则B_深度思考已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一在ABC中，由正弦定理得sin B，因为ba，所以BA，所以B30，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.故c3.法二在ABC中，根据余弦定理可得a2b2c22bccos A，即c22c60，所以c3.因为c0，所以c3.
73、(2)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理的推论得cos B，所以B.答案(1)3(2)规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制【训练1】 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三
74、角形 D等边三角形(2)(2014绍兴模拟)在ABC中，A60，b1，SABC，则_解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形(2)SABCbcsin A，c4，a2b2c22bccos A124224113，a，2R(R是ABC的外接圆的半径)2R.答案(1)A(2)考点二正、余弦定理的综合运用【例2】 (2014山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解(1)在ABC中，由题意知，sin A，因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦
75、定理，得b3.(2)由BA，得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等【训练2】 (2014重庆卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的
76、值解(1)由题意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得：sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西
77、75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里)在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC(海里)根据正弦定理，可得sinABC.ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，BCD30，BDC30，BDBC(海里)，则有10t，t0
78、.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【训练3】 (2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA6
79、0.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100(m)在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得，因此AM100(m)在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60，得MN100150(m)答案150微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等【例4】 已知ABC顶点
80、的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则sin A的值为_点拨先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析因为(3，4)，(2，4)，所以61610，|5，|2.所以cos，.即cos A，因为0A，所以sin A.答案点评本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果.思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式a2Rsin A，b2Rs
81、in B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理ABC.利用公式cos A，cos B，cos C，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边易错防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角
82、之间的关系弄错基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014北京西城区模拟)在ABC中，若a4，b3，cos A，则B()A. B. C. D. 解析因为cos A，所以sin A，由正弦定理，得，所以sin B，又因为ba，所以B，B，故选A.答案A2(2015合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2 解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1 C22 D.1
83、解析由正弦定理及已知条件，得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案B4(2014长沙模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意，由a2bcos C及正弦定理，得sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos Csin(CB)0，CB，ABC是等腰三角形；反过来，由ABC是等腰三角形不能得知CB，a2bcos C因此，“a2bcos C”
84、是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案A5(2014四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于 ()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案C二、填空题6(2014惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式
85、得cos Btan B，sin B，B或.答案或7(2014广东卷)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_解析由已知及余弦定理得bc2b，化简得a2b，则2.答案28设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C4，即c2.由cos C得sin C.由正弦定理，得sin B(或者因为c2，所以bc2，即三角形为等腰三角形，所以sin Bsin C)答案三、解答题9(2014湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1)求cosCAD的值
86、；(2)若cosBAD，sin CBA，求BC的长解(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sin CAD，sin BAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsin CAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.10(2014安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，
87、a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2014东北三省四市联考)在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1，则角A的范围是()A. B. C. D.解析由1，得b(ab)c(ac)(ac)(ab)，化简得b2c2a2bc，即，即cos A(0A)，所以0A，故选A.答案A12(2015石家庄模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是 ()A1 B.C. D3解析由csin Aacos C，得sin
88、 Csin Asin Acos C，又在ABC中sin A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，所以C.所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，A，所以当A时，sin Asin B取得最大值，故选C.答案C13在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0C1
89、20，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.答案214ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理，得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.阶段回扣练4三角函数、解三角形(建议
90、用时：90分钟)一、选择题1下列函数中周期为且为偶函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析ysincos 2x为偶函数，且周期是，故选A.答案A2(2014包头市测试)已知sin 2，则sin2()A. B. C. D. 解析依题意得sin2(sin cos )2(1sin 2)，故选D.答案D3(2015合肥检测)函数f(x)sin 2xcos 2x图象的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx解析依题意得f(x)2sin，且f2sin2，因此其图象关于直线x对称，故选D.答案D4(2015天津南开模拟)当0x时，函数f(x)的最小值是()A. B. C2 D4解析当0x
91、时，0tan x1，f(x).设ttan x，则0t1，y4，当且仅当t1t，即t时，等号成立答案D5(2014南昌模拟)已知函数f(x)cos x(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)sin的图象，只要将yf(x)的图象 ()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度解析依题意得，2，f(x)cos 2x，g(x)sincoscoscos，因此只需将yf(x)cos 2x的图象向右平移个单位长度答案B6某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为()A5
92、00(1)m B500 mC500(1)m D1 000 m解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理，得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m)答案A7(2015湖北七市(州)联考)将函数g(x)3sin图象上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数f(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增解析依题意，将函数g(x)的图象向左平移个单位长度得到的曲线方程是y3sin3cos
93、2x，再将各点横坐标缩短为原来的，得到的曲线方程是y3cos 4x，即f(x)3cos 4x，易知函数f(x)3cos 4x在上单调递减，故选A.答案A8(2014乌鲁木齐诊断)在ABC中，ACcos A3BCcos B，且cos C，则A()A30 B45 C60 D120 解析由题意及正弦定理得sin Bcos A3sin Acos B，tan B3tan A，0A，B，又cos C，故sin C，tan C2，而ABC180，tan(AB)tan C2，即2，将tan B3tan A代入，得2，tan A1或tan A，而0A90，则A45，故选B.答案B9已知函数f(x)sin 2xc
94、os 2xm在上有两个零点，则m的取值范围是()A(1，2) B1，2) C(1，2 D1，2解析利用三角函数公式转化一下，得f(x)2sinm，它的零点是函数y12sin和y2m的交点所对应的x的值，要在上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，结合函数y12sin在上的图象，知当y2m在1，2)上移动时，两个函数有两个交点答案B10(2014天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B. C D2 解析f(x)sin xcos x2sin，由2sin1，得sin，设x1，x2分别为
95、距离最小的相邻交点的横坐标，则x12k，x22k(kZ)，两式相减，得x2x1，所以2，故f(x)2sin的最小正周期为，故选C.答案C二、填空题11已知sin，则cos _解析，cos，cos coscoscos sinsin .答案12(2014天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_解析由已知及正弦定理得2b3c，因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cos A.答案13如图所示的是函数yAsin(x)图象的一部分，则其函数解析式是_解析由图象知A1，得T2，则1，所以ysin(x)由图象过点，可得2k(
96、kZ)，又|，所以，所以所求函数解析式是ysin.答案ysin14(2014江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_解析由已知sin Asin B2sin C及正弦定理可得ab2c.又由余弦定理得cos C，当且仅当3a22b2，即时等号成立，所以cos C的最小值为.答案15(2014新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，又A(0
97、，)，所以A，又b2c2a2bc2bc4，当且仅当bc2时，等号成立，即bc4，故SABCbcsin A4，则ABC面积的最大值为.答案三、解答题16(2014福建卷)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解法一(1)因为0，sin ，所以cos .所以f().(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2x
98、cos 2xsin.(1)因为0，sin ，所以，从而f()sinsin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.17(2014北京卷)如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sin BAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcosBcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.18(2014浙江卷)在ABC中，
99、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B.19已知函数f(x)sin 2xcos 2x的图象关于直线x对称，其中.(1)求函数f(x)的解析式；(2)在ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，锐角B满足f ，b，求ABC面积的最大值解(1)因为f(x)sin 2xcos 2x2sin的图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，所以1.因为，所以1，所以1k1(kZ)，所以k0，1，所以f(x)2sin.(2)f2sin B，所以sin B，因为B为锐角，所以0B，所以cos B，因为cos B，所以，所以aca2c222ac2，所以ac3，当且仅当ac时，ac取到最大值3，所以ABC面积的最大值为acsin B3.
