1、第7讲 解三角形应用举例 第三章 三角函数、解三角形考纲解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(重点)2利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容预计 2021 年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主1 基础知识过关 PART ONE 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视
2、线在水平线 01 _的角叫仰角，在水平线 02 _的角叫俯角(如图)下方2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)3.方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4.坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比1.概念辨析(1)东北方向就是北偏东 45的方向()(2)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为
3、180.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，2.()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 3427，则 B 在 A 的()A.北偏西 3427B北偏东 5533C.北偏西 5533D南偏西 3427解析 由方向角的概念知，B 在 A 的北偏西 3427.答案解析(2)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为()A.10 km B10 3 kmC.10 5 km
4、 D10 7 km解析 由余弦定理可得，AC2AB2CB22ABCBcos1201022022102012 700.AC10 7(km).答案解析(3)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为_ m50 2解析 在ABC 中，ACB45，CAB105，所以ABC1804510530，又因为 AC50 m，所以由正弦定理得 ABACsinACBsinABC50 221250 2(m).解析(4)如图，从无人机 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别
5、为67，30，此时无人机的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73)60解析 由图可知，AB 46sin67，在ABC 中，由正弦定理可知 ABsin30BCsin37，所以 BCABsin37sin30 46sin37sin67sin30460.600.920.560(m).解析2 经典题型冲关 PART TWO 1.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔
6、在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为()A.15 2 km B30 2 km C45 2 km D60 2 km题型一 测量距离问题答案解析 作出示意图如图所示，依题意有 AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB 中，由正弦定理，得 60sin45 BMsin30，解得 BM30 2.解析2.(2019宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 C，D，测得 CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB12
7、0，则 A，B 两点的距离为_80 5解析 由已知，在ACD 中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理，得AC80sin150sin15 406 2440(6 2)，在BCD 中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理CDsinCBDBCsinBDC，得BCCDsinBDCsinCBD80sin1512160sin1540(6 2)；解析在ABC 中，由余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84 3)1600(84 3)21600(6 2)(6 2)121600161600432000，解得 AB80 5，则 A，B 两点的距离为 80 5.
8、解析(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键(2)求距离问题的两个策略选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理如图，在海岸线上相距 2 6千米的 A，C 两地分别测得小岛 B 在 A 的北偏西 方向，在 C 的北偏西2 方向，且 cos 6
9、3，则 B，C 之间的距离是()A.30 3千米B30 千米C.12 3千米D12 千米答案解析 由题意，得 AC2 6，sinAsin2 cos 63，sinBsin22 cos22cos2113，在ABC 中，由正弦定理得BCACsinAsinB 2 6 631312，则 B 与 C 的距离是 12 千米.解析题型二 测量高度问题1(2019长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为 OD，灯柱 OB高为 10 m，灯杆 AB 长为 1 m，且灯杆与灯柱成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为 2，灯罩轴线 AC 与灯杆 AB 垂直若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点
10、O，另一条与地面的交点为 E.则该路灯照在路面上的宽度 OE 的长是_ m40 33解析 在AOB 中，由余弦定理可得 OA 111 m，由正弦定理得 sinBAO5 3737，因为BAO2，所以 cossinBAO5 3737，sin2 337，则 sin22sincos20 337.易知ACO60，则 sinAEOsin(60)3 32 37，在AOE 中，由正弦定理可得 OE OAsin2sinAEO40 33 m.解析2如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，且BAC135.若山高 AD
11、100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到 0.1)参考数据：21.414，52.236.22.6解析 因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14v.在 RtADB 中，ABADcosBAD 100cos60200.在 RtADC 中，ACADcosCAD 100cos45100 2.在ABC 中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100 2)220022100 2200cos135，所以 v50 10722.
12、6，所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s.解析求解高度问题的注意事项(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错如举例说明 2.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题1如图，在离地面高 400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的仰角为15，山脚 A 处的俯角为 45，已知BAC60，则山的高度 BC 为()A.700 m B640 m C600 m D560 m答案解析 在 R
13、tAMD 中，AM MDsin4540022400 2(m)，在MAC 中，AMC451560，MAC180456075，MCA180AMCMAC45，由正弦定理得 ACAMsinAMCsinMCA 400 2 3222400 3(m)在 RtABC 中，BCACsinBAC400 3 32 600(m).解析2如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_ m150解析 在ABC 中，AC100 2，在MAC 中，MAsin
14、60 ACsin45，解得MA100 3，在MNA 中，MN100 3sin60 32，故 MN150，即山高 MN为 150 m.解析题型三 测量角度问题1.在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30 m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，则 的大小为_15解析 在ACD 中，ACBC30，ADCD10 3，ADC1804，由正弦定理得10 3sin230sin1804，所以10 3sin2302sin2cos2，cos2 32，所以 230，15.解析2在一次海上联合作战演习中，红方
15、一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处拦截住蓝方的小艇，则AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsinACsin120，解得 sin20sin120285 314.所以红方侦
16、察艇所需的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.解析解决测量角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在 A 处的正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在 A处的南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 等于()A
17、.217B.2114C.3 2114D.2128答案解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202800，所以 BC20 7.由正弦定理得 sinACBABBCsinBAC 217.由BAC120知ACB 为锐角，故 cosACB2 77，故 coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin302114.解析3 课时作业 PART THREE 1如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量
18、方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为()ABCDA组基础关解析 知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案可以确定 A，B 间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案可以确定 A，B 间的距离答案解析2如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD.在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为()A30 m B60 mC30 3 m D40 3 m答
19、案解析 在 RtABM 中，AMABsinAMB3010 3sin153010 36 2420 6(m)过点 A 作 ANCD 于点 N，如图所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC 中，由正弦定理得 MCsin45 20 6sin30，解得 MC40 3(m)在RtCMD 中，CD40 3sin6060(m)，故通信塔 CD 的高为 60 m.解析3如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m,50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 等于()A30 B45
20、C60 D75答案解析 依题意可得 AD20 10 m，AC30 5 m，又 CD50 m，所以在 ACD中，由 余 弦 定 理 得cos CAD AC2AD2CD22ACAD30 5220 102502230 520 10 60006000 2 22，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.解析4如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 min后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向上，则海轮的速度为()A.63 n mile/m
21、in B.62 n mile/minC3 6 n mile/min D10 6 n mile/min答案解析 由已知得ACB45，B60，由正弦定理得 ACsinBABsinACB，所以 AC ABsinBsinACB20sin60sin4510 6，所以海轮航行的速度为10 630 63(n mile/min)解析5如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于()A5 6B15 3C5 2D15 6答案解析 在BCD 中，CBD1801530135.
22、由正弦定理得BCsin3030sin135，所以 BC15 2.在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6.解析6线段 AB 外有一点 C，ABC60，AB200 km，汽车以 80 km/h的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始_ h 后，两车的距离最小7043解析 如图所示，设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B 行驶到 E，则 AD80t，BE50t.因为 AB200，所以 BD20080t，问题就是求 DE 最小时 t 的值由余弦定理得 DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)225
23、00t2(20080t)50t12900t242000t40000.当 t7043时 DE 最小解析1如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C，D，E.从 D 点测得ADC67.5，从 C 点测得ACD45，BCE75，从 E 点测得BEC60.若测得 DC2 3，CE 2(单位：百米)，则 A，B 两点的距离为()A.6B2 2C3 D2 3B组能力关答案解析 根据题意，在ADC 中，ACD45，ADC67.5，DC2 3，则DAC1804567.567.5，则 ACDC2 3，在BCE 中，BCE75，BEC60，CE 2，则EBC180756045，则
24、有CEsinEBCBCsinBEC，变形可得 BCCEsinBECsinEBC 2 3222 3，在ABC 中，AC2 3，BC 3，ACB180ACDBCE60，则 AB2AC2BC22ACBCcosACB9，则 AB3.解析2(2019惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得DBC45，根据以上数据可得 cos_.31解析 由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD 中，根据正弦定理可得ABsinADBBDs
25、inBAD，即 50sin30 BDsin15，所以 BD100sin15100sin(4530)25(6 2)在BCD 中，由正弦定理得CDsinDBCBDsinBCD，即 25sin4525 6 2sinBCD，解得 sinBCD 31.所以 coscos(BCD90)sinBCD 31.解析3(2019福州综合质量检测)在距离塔底分别为 80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的 A，B，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为，.若 90，则塔高为_ m.解析 设塔高为 h m，依题意得，tan h80，tan h160，tan h240.因为 90，所以 tan()tantan(90
26、)tan sin90sincos90coscossinsincos1，所以 tantan1tantantan1，所以h80 h1601 h80 h160 h2401，解得 h80，所以塔高为 80 m.解析804已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一座发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM100 m 和 BN200 m，一测量车在小山M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西60方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为，且BQA，经测量 tan2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离解 在 RtAMP 中，APM30，AM100，PM100 3.连接 QM，在PQM 中，QPM60，PQ100 3，PQM 为等边三角形，QM100 3.在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200.在 RtBNQ 中，tan2，BN200，NQ100，BQ100 5，cos 55.在BQA 中，BA2BQ2AQ22BQAQcos(100 5)2，BA100 5.即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5 m.解析本课结束
