1、第三篇 三角函数、解三角形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度记作 rad.(2)公式：角 的弧度数公式
2、|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180rad 1 rad180弧长公式弧长 l|r扇形面积公式S12lr12|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos yx叫做 的正切，记作 tan 各象限符号口诀全正，正弦，正切，余弦续表三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线辨 析 感 悟1对角的概念的认识(1)小于 90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是
3、30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角 的终边经过点 P(1,2)，则 sin 212222 55.()(6)(2013济南模拟改编)点 P(tan，cos)在第三象限，则角 的终边在第二象限()(7)(2011新课标全国卷改编)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos 55.()感悟提升1一个区别“小于 90的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于 90的角的范围：，2，锐角的范围：0，2，第一象限角的范围：2k，2k2(kZ)所以说小于 90的角不一定
4、是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角 的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例 1】(1)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4 的值()A小于 0 B大于0C等于 0 D不存在解析(1)由 sin tan 0 可知 sin，tan 异号，从而 为第二或第三象限的角，由cos tan 0，可知 cos，ta
5、n 异号从而 为第三或第四象限角综上，为第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)C(2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限【训练 1】设 是第三象限角，且cos 2 cos 2，则2是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 由 是第三象限角，知2为第二或第四象限角，cos 2 cos 2，cos 20，知2为第二象限角答案 B考点二 三角函数定义的应用【例 2】已知角 的终边经过点 P(3，m)(
6、m0)且 sin 24 m，试判断角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值解 由题意得，r 3m2，sin m3m2 24 m.m0，m 5.故角 是第二或第三象限角当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为(3，5)，角 是第二象限角，cos xr 32 2 64，tan yx5 3 153.当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为(3，5)，角 是第三象限角cos xr 32 2 64，tan yx 5 3 153.综上可知，cos 64，tan 153 或 cos 64，tan 153.规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横
7、坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练 2】已知角 的终边在直线 y3x 上，求 10sin 3cos 的值解 设角 终边上任一点为 P(k，3k)，则 r k23k2 10|k|.当 k0 时，r 10k，sin 3k10k 310，1cos 10kk 10，10sin 3cos 3 103 100；当 k0 时，r 10k，sin 3k 10k 310，1cos 10kk 10，10sin 3cos 3 103 100.综上，10sin 3cos 0.考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例 3】
8、已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为 R.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线(1)角度化为弧度求扇形的弧长S 弓S 扇S分别求 S 扇12lr，S12r2sin 计算得 S 弓(2)由周长 C 与半径 R 的关系确定 R 与 的关系式代入扇形面积公式确定 S扇与 的关系式求解最值解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则603，R10，l310103(cm)，S 弓S 扇S12103 1012102sin 3503 50 32503 32(cm2)(2)法一 扇形周长 C
9、2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22 144C216.当且仅当 24，即 2 rad 时，扇形面积有最大值C216.法二 由已知，得 l2RC，S 扇12lR12(C2R)R12(2R2RC)RC42C216.故当 RC4，l2R，2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C216.规律方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第 50 页【训练 3】(1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长
10、，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为 20 cm；当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是 2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积 S12r212(2)r2.(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l2r20，即 l202r(0r10)扇形的面积 S12lr12(202r)rr210r(r5)225.当 r5 cm 时，S 有最大值 25 cm2，此时 l10 cm，lr2 rad.因此，当 2 rad 时，扇形的面积取最大值1在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终
11、边与单位圆的交点|OP|r 一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 创新突破 4以任意角为背景的应用问题【典例】(2012山东卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为_突破 1：理解点 P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形突破 2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长突破 3：由几何图形建立 P 点坐标与边长的关系
12、解析 如图，作 CQx 轴，PQCQ,Q 为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ 中，PCQ22，|CQ|cos 22 sin 2，|PQ|sin22 cos 2，所以 P 点的横坐标为 2|CQ|2sin 2，P 点的纵坐标为 1|PQ|1cos 2，所以 P 点的坐标为(2sin 2,1cos 2)，故OP(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)反思感悟(1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等【自主体验】已知圆 O：x2y24 与 y 轴正半轴的
13、交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧长到达点 N，以 ON 为终边的角记为，则 tan()A1 B1 C2 D2解析 圆的半径为 2，2的弧长对应的圆心角为4，故以 ON 为终边的角为|2k4，kZ，故 tan 1.答案 B基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1若 sin 0 且 tan 0，则 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析 sin 0，则 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴；又 tan 0，在第一象限或第三象限，故 在第三象限答案 C2(2014汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.3B.23
14、C.3D.2解析 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3R，圆弧长为 3R.该圆弧所对圆心角的弧度数为 3RR 3.答案 C3点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 按逆时针方向运动23 弧长到达 Q 点，则 Q 的坐标为()A.12，32B.32，12C.12，32D.32，12解析 由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度 23，所以 Q 点的坐标为cos23，sin23，即12，32.答案 A4已知点 Psin 34，cos 34 落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为()A.4B.34C.54D.74解析 由 sin 34 0，cos 34 0 知角 是第四象
15、限的角，tan cos 34sin 341，0,2)，74.答案 D5有下列命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若 sin 0，则 是第一、二象限的角；若 是第二象限的角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos xx2y2.其中正确的命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析 正确，不正确，sin 3sin 23，而3与23 角的终边不相同不正确sin 0，的终边也可能在 y 轴的正半轴上不正确在三角函数的定义中，cos xrxx2y2，不论角 在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立答案 A二、填空题6已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负
16、半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_.解析 因为 sin y42y22 55，所以 y0，且 y264，所以 y8.答案 87.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为45，则 cos _.解析 因为 A 点纵坐标 yA45，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以A 点横坐标 xA35，由三角函数的定义可得 cos 35.答案 358函数 y 2cos x1的定义域为_解析 2cos x10，cos x12.由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x2k3，2k3(kZ)答案 2k3
17、，2k3(kZ)三、解答题9(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式360720的元素 写出来：60；21.(2)试写出终边在直线 y 3x 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式180180的元素 写出来解(1)S|60k360，kZ，其中适合不等式360720的元素 为300，60，420；S|21k360，kZ，其中适合不等式360720的元素 为21，339，699.(2)终边在 y 3x 上的角的集合是 S|k360120，kZ|k360300，k Z|k180 120，k Z，其中适合不等式180180的元素 为60，120.10(1)已知扇形周长为 1
18、0，面积是 4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解(1)设圆心角是，半径是 r，则2rr10，12r24，解得r4，12或r1，8(舍去)扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，则12lr1，l2r4，解得r1，l2.圆心角 lr2.如图，过 O 作 OHAB 于 H，则AOH1 弧度AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014杭州模拟)已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a
19、的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3)D2,3解析 由 cos 0，sin 0 可知，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有3a90，a20，解得2a3.答案 A2给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；若 sin sin，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析 由于第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；当三角形的内角为 90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于
20、sin 6sin 56，但6与56 的终边不相同，故错；当，cos 10 时，才能把 x 看作一个整体，代入 ysin t 的相应单调区间求解2三个防范 一是函数 ysin x 与 ycos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于 y 轴的直线，如 ycos x 的对称轴为 xk，而不是 x2k(kZ)二 是 对 于 y tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数，应 在 每 个 区 间k2，k2(kZ)内为增函数，如(6)三是函数 ysin x 与 ycos x 的最大值为 1，最小值为1，不存在一个值使 sin x32，如(7).学生用书第 54 页考
21、点一 三角函数的定义域、值域问题【例 1】(1)函数 ysin xcos x的定义域为_(2)当 x6，76 时，函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_，最大值是_解析(1)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k4x2k54，kZ.法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为x2k4x2k54，kZ.法三 sin xcos x 2sinx4
22、 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x的图象和性质可知 2kx42k，kZ，解得 2k4x2k54，kZ.所以定义域为x2k4x2k54，kZ.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令 sin xt12，1，y2t2t12t14278，t12，1，ymin78，ymax2.答案(1)x2k4x2k54，kZ(2)78 2规律方法(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用 sin x 和 cos x 的值域直接求把形如 yasin xbcos x
23、的三角函数化为 yAsin(x)的形式求值域利用 sin xcos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域【训练 1】(2014广州模拟)已知函数 f(x)6cos4 x5sin2x4cos 2x，求 f(x)的定义域和值域解 由 cos 2x0 得 2xk2，kZ，解得 xk2 4，kZ，所以 f(x)的定义域为x|xR，且xk2 4，kZ.f(x)6cos4 x5sin2 x4cos 2x6cos4 x55cos2x42cos2x12cos2x13cos2x12cos2x13cos2x1.所以 f(x)的值域为y|1y12，或12y2.考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对
24、称性【例 2】(1)已知函数 f(x)sin2x32(xR)，下面结论错误的是()A函数 f(x)的最小正周期为 B函数 f(x)是偶函数C函数 f(x)的图象关于直线 x4对称D函数 f(x)在区间0，2 上是增函数(2)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析(1)f(x)sin2x32 cos 2x，故其最小正周期为，A 正确；易知函数f(x)是偶函数，B 正确；由函数 f(x)cos 2x 的图象可知，函数 f(x)的图象不关于直线 x4对称，C 错误；由函数 f(x)的图象易知，函数 f(x)在0，2 上是增函数，D
25、 正确，故选 C.(2)由题意得 3cos243 3cos23 23cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.答案(1)C(2)A规律方法(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，则最小正周期为 T2|；奇偶性的判断关键是解析式是否为 yAsin x 或 yAcos xb 的形式(2)求 f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)即可【训练 2】(1)函数 y2cos2x4 1 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小
26、正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数(2)函数 y2sin(3x)|2 的一条对称轴为 x 12，则 _.解析(1)y2cos2x4 1cos2x2 sin 2x 为奇函数，T22.(2)由 ysin x 的对称轴为 xk2(kZ)，所以 3 12k2(kZ)，得 k4(kZ)，又|2，k0，故 4.答案(1)A(2)4考点三 三角函数的单调性【例 3】(2014临沂月考)设函数 f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线 x8.(1)求；(2)求函数 yf(x)的单调区间审题路线 令(2)82k，kZ解得？又 0得出 值把 f(x)sin(2x)，化为 f(x)si
27、n(2x)令 g(x)sin(2x)求出 g(x)的单调区间利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单调区间解(1)令(2)8k2，kZ，k34，kZ，又 0，34.(2)由(1)得 f(x)sin2x34 sin2x34，令 g(x)sin2x34，由22k2x34 22k，kZ，得8kx58 k，kZ，即 g(x)的单调增区间为8k，58 k，kZ；由22k2x34 32 2k，kZ，得58 kx98 k，kZ，即 g(x)的单调减区间为58 k，98 k(kZ)，故 f(x)的单调增区间为58 k，98 k(kZ)；单调减区间为8k，58 k(kZ).学生用书第 55 页规律方法
28、求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yAsin(x)形式，再求 yAsin(x)的单调区间，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数【训练 3】(2013安徽卷)已知函数 f(x)4cos xsinx4(0)的最小正周期为.(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间0，2上的单调性解(1)f(x)4cos xsin(x4)2 2sin xcos x2 2cos2x 2(sin 2xcos 2x)22sin(2x4)2.因为 f(x)的最小正周期为，且 0，从而有22，故 1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x4)2.若 0 x2，则4
29、2x454.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；当22x454，即8x2时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减1求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象2判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇3三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减4求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地
30、化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可 答题模板 5三角函数的最值(或值域)问题【典例】(12 分)(2013陕西卷)已知向量 acos x，12，b(3sin x，cos 2x)，xR，设函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值规范解答 f(x)cos x，12(3sin x，cos 2x)3cos xsin x12cos 2x(2分)32 sin 2x12cos 2xsin2x6.(4分)(1)f(x)的最小正周期为 T2
31、 22，即函数 f(x)的最小正周期为.(6分)(2)0 x2，62x656.(8分)由正弦函数的性质，得当 2x62，即 x3时，f(x)取得最大值 1.当 2x66，即 x0 时，f(0)12，当 2x656，即 x2时，f2 12，f(x)的最小值为12.(11分)因此，f(x)在0，2 上最大值是 1，最小值是12.(12 分)反思感悟 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚如本例中有学生直接把 x0 和x2代入求得最值，这显然是错误的答题模板 求函数
32、f(x)Asin(x)在区间a，b上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如 yAsin(x)k 的形式或 yAcos(x)k 的形式第二步：由 x 的取值范围确定 x 的取值范围，再确定 sin(x)(或 cos(x)的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)【自主体验】已知函数 f(x)cos2x3 2sinx4 sinx4.(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数 f(x)在区间 12，2 上的值域解(1)f(x)cos2x3 2sinx4 sinx412cos 2x 32 sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)12cos 2
33、x 32 sin 2xsin2xcos2x12cos 2x 32 sin 2xcos 2xsin2x6.最小正周期 T22，由 2x6k2(kZ)，得 xk2 3(kZ)函数图象的对称轴为 xk2 3(kZ)(2)x 12，2，2x63，56，32 sin2x6 1.即函数 f(x)在区间 12，2 上的值域为 32，1.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013青岛质检)下列函数中周期为 且为偶函数的是()Aysin2x2Bycos2x2Cysinx2Dycosx2解析 ysin2x2 cos 2x 为偶函数，且周期是.答案 A2(2014南昌联考)已知函数 f(x)sin
34、x6 1(0)的最小正周期为23，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()Ax9Bx6Cx3Dx2解析 依题意得，2|23，|3，又 0，因此 3，所以 3x6k2，解得 xk3 9，当 k0 时，x9.因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x9.答案 A3(2014广州测试)若函数 ycosx6(N*)的一个对称中心是6，0，则 的最小值为()A1 B2 C4 D8解析 依题意得 cos66 0，6(1)k2，6k2(其中 kZ)；又 是正整数，因此 的最小值是 2.答案 B4(2014济南调研)已知 f(x)sin2 xsin xcos x，则 f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别
35、为()A，0，B2，4，34 C，8，38D2，4，4解析 由 f(x)sin2xsin xcos x1cos 2x212sin 2x12 22 22 sin 2x 22 cos 2x 12 22 sin2x4.T22.又2k22x42k2，k8xk38(kZ)为函数的单调递增区间故选 C.答案 C5(2014三明模拟)已知函数 f(x)2sin(x)对任意 x 都有 f6x f6x，则 f6 等于()A2 或 0 B2 或 2 C0 D2 或 0解析 由 f6x f6x 知，函数图象关于 x6对称，f6 是函数 f(x)的最大值或最小值答案 B二、填空题6函数 ylg(sin x)cos x
36、12的定义域为_解析 要使函数有意义必须有sin x0，cos x120，即sin x0，cos x12，解得2kx2kkZ，32kx32kkZ，2kx32k(kZ)，函数的定义域为x|2kx32k，kZ.答案 2k，32k(kZ)7函数 ysin x1sin x(0 x)的最小值为_解析 令 sin xt(0,1，则函数 y11t，t(0,1又 y11t在 t(0,1上是减函数，所以当 t1 时，y 取得最小值 2.答案 28已知函数 f(x)3sin(x6)(0)和 g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0，2，则 f(x)的取值范围是_解析 由两三角函数图象的对称中心完
37、全相同，可知两函数的周期相同，故 2，所以 f(x)3sin2x6，那么当 x0，2 时，62x656，所以12sin(2x6)1，故 f(x)32，3.答案 32，3三、解答题9(2013潮州二模)已知函数 f(x)3(sin2 xcos2x)2sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设 x3，3，求 f(x)的单调递增区间解(1)f(x)3(cos2xsin2 x)2sin xcos x 3cos 2xsin 2x2sin2x3，f(x)的最小正周期为.(2)x3，3，32x3，当 ysin2x3 单调递减时，f(x)单调递增22x3，即 12x3.故 f(x)的单调递
38、增区间为12，3.10(1)求函数 y2sin 2x3 6x6 的值域；(2)求函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域解(1)6x6，02x323，0sin2x3 1，y2sin2x3 的值域为(0,2(2)ysin xcos xsin xcos xsin xcos x212 2sinx4sin2x4 2sinx4 12sinx4 2221，所以当 sinx4 1 时，y 取最大值 1 21212 2.当 sinx4 22 时，y 取最小值1，该函数的值域为1，12 2.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2013安徽师大附中模拟)设 0，m0，若函数 f(x)
39、msin x2 cosx2 在区间3，3 上单调递增，则 的取值范围是()A.0，23B.0，32C.32，D1，)解析 f(x)msin x2 cos x2 12msin x，若函数在区间3，3 上单调递增，则T23323，即 0，32.答案 B2已知函数 f(x)2sin x(0)在区间3，4 上的最小值是2，则 的最小值等于()A.23B.32C2 D3解析 f(x)2sin x(0)的最小值是2，此时 x2k2，kZ，x2k 2，kZ，32k 20，kZ，6k32且 k0，kZ，min32.答案 B二、填空题3已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：当 sin xcos x 时，f(x
40、)cos x，当 sin xcos x 时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当 x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.其中正确的结论序号是_解析 易知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示由图象可得，f(x)的最小值为 22，当且仅当 x2k54(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.所以正确的结论的序号是.答案 三、解答题
41、4(2013荆门调研)已知函数 f(x)a2cos2x2sin x b.(1)若 a1，求函数 f(x)的单调增区间；(2)若 x0，时，函数 f(x)的值域是5,8，求 a，b 的值解 f(x)a(1cos xsin x)b 2asinx4 ab.(1)当 a1 时，f(x)2sinx4 b1，由 2k2x42k32(kZ)，得 2k4x2k54(kZ)，f(x)的单调增区间为2k4，2k54(kZ)(2)0 x，4x454，22 sinx4 1，依题意知 a0.()当 a0 时，2aab8，b5，a3 23，b5.()当 a0 时，b8，2aab5，a33 2，b8.综上所述，a3 23，
42、b5 或 a33 2，b8.学生用书第 56 页第 4 讲 函数 yAsin(x)的图象及应用最新考纲1了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x232 2x02322yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 yA
43、sin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象2函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径3函数 yAsin(x)的物理意义当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动时，A 叫做振幅，T2叫做周期，f1T叫做频率，x 叫做相位，叫做初相辨 析 感 悟1对图象变换的认识(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样()(2)将 ysin 2x 的图象向右平移3个单位，得到 ysin2x3 的图象()(3)(2013湖北卷改编)将函数 y 3cos x
44、sin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是6.()2对函数 f(x)Asin(x)性质的认识(4)函数 f(x)Asin(x)(A0)的最大值为 A，最小值为A.()(5)函数 f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(6)(2014广州二模改编)若函数 ycos x(N*)的一个对称中心是6，0，则 的最小值为 3.()感悟提升1图象变换两种途径的区别由 ysin x 的图象，利用图象变换作函数 yAsin(x)(A0，0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 x
45、轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|个单位，如(1)、(2)2两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为 yAsin(x)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关，如(4)；而 yAsin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5).学生用书第 57 页考点一 函数 yAsin(x)的图象画法与变换【例 1】(1)(2013广东六校教研协作体二联)已知 f(x)sinx3(0)的图象与 y1 的图象的相邻两交点间的距离为，要得到
46、 yf(x)的图象，只需把 ycos 2x 的图象()A向左平移 12个单位B向右平移 12个单位C向左平移512个单位D向右平移512个单位(2)已知函数 y2sin2x3.求它的振幅、周期、初相；用“五点法”作出它在一个周期内的图象；说明 y2sin2x3 的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到(1)解析 依题意 T，T2，2，f(x)sin(2x3)，只需 ycos 2xsin(2x2)sin2(x4)f(x)sin(2x3)答案 B(2)解 y2sin2x3 的振幅 A2，周期 T22，初相 3.令 X2x3，则 y2sin2x3 2sin X.列表，并描点画出图象：x6
47、12371256X02322ysin X01010y2sin2x302020法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到 ysinx3 的图象；再把 ysinx3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图象；最后把 ysin2x3 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象法二 将 ysin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移6个单位，得到 ysin 2x6sin2x3 的图象；再将 ysi
48、n2x3 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，得到 y2sin2x3 的图象规律方法 函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法(1)五点法：用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同【训练 1】(1)(2013合肥第一次质检)将函数 f(x)Asin(x)(A0，0
49、)的图象向左平移2个单位，所得函数的图象与函数 yf(x)的图象关于 x 轴对称，则 的值不可能是()A2 B4 C6 D10(2)(2014合肥模拟)设函数 f(x)cos(x)0，20 的最小正周期为，且 f4 32.求 和 的值；在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象(1)解析 依题意，fx2 Asinx2 Asinx2 的图象与yf(x)的图象关于 x 轴对称，于是有 Asinx2 Asin(x)0；注意到 4时，Asin4x42 Asin(4x)2Asin(4x)不恒等于 0，故选 B.答案 B(2)解 T2，2，又 f4 cos24 32，sin 32，又20，3.由得 f
50、(x)cos2x3，列表：2x33023253x06512231112f(x)12101012图象如图考点二 由图象求函数 yAsin(x)的解析式【例 2】函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_解析 由图可知 A 2，法一 T471234，所以 T，故 2，因此 f(x)2sin(2x)，又3，0 对应五点法作图中的第三个点，因此 23，所以 3，故 f(x)2sin2x3.法二 以3，0 为第二个“零点”，712，2 为最小值点，列方程组3，71232，解得2，3，故 f(x)2sin2x3.答案 f(x)2sin2x3规律方法 已知
51、f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.学生用书第 58 页【训练 2】(2013四川卷)函数 f(x)2sin(x)(0，20，2.由于f(x)2sin(x)(0，22)的一个最高点为512，2，故有 25122
52、k2(kZ)，即 2k3，又20,00，故 2T 32，排除 C，D；又因为函数图象过点56，2，代入验证可知只有 B 项满足条件答案 B6(2014成都模拟)将函数 f(x)3sin4x6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移6个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，则 yg(x)图象的一条对称轴是()Ax 12Bx6Cx3Dx23解析 将函数 f(x)3sin4x6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 y3sin2x6，再向右平移6个单位长度，得到 y3sin2x6 6 3sin2x6，即 g(x)3sin2x6.当 2x6k2时，解得 xk3，又当 k0 时
53、，x3，所以 x3是一条对称轴，故选 C.答案 C7已知函数 f(x)3sin xcos x(0)，yf(x)的图象与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，则 f(x)的单调递增区间是()A.k 12，k512，kZB.k512，k1112，kZC.k3，k6，kZD.k6，k23，kZ解析 f(x)3sin xcos x2sinx6，由题设知 f(x)的最小正周期为 T，所以 2，即 f(x)2sin2x6.由 2k22x62k2(kZ)得，k3xk6(kZ)，故选 C.答案 C8设函数 f(x)|sin2x3|，则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)的最小
54、正周期为 Cf(x)的图象关于点6，0 对称Df(x)在区间3，712 上是增函数解析 对于选项 A，由于 f3|sin233|0，而 f3 sin23 3|sin3|32 f3，所以 f(x)不是偶函数；对于选项 B，由于 f(x)sin2x3 的周期为，而 f(x)sin2x3的图象是将 f(x)sin2x3 的 x 轴上方的图象保持不变，x 轴下方的图象关于 x 轴对称到上方去，因此 f(x)sin2x3的周期为 f(x)sin2x3 的周期的一半，故选项 B 不正确；对于选项 C，由于 f(x)sin2x3的图象不是中心对称图形，因此也不正确；对于选项 D，由三角函数的性质可知，f(x
55、)sin2x3的单调递增区间是 k2x3k2(kZ)，即k2 6xk2 12(kZ)，当 k1 时，x3，712，故选 D.答案 D9(2014石狮模拟)函数 ycos2x4 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a0)，所得图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值为()A B.34C.2D.4解析 ycos2x4 1cos2x221sin 2x21212sin 2x，函数图象向右平移a 个单位得到函数 y1212sin2(xa)1212sin(2x2a)，要使函数的图象关于 y轴对称，则有2a2k，kZ，即 a4k2，kZ，所以当 k1 时，a有最小值为4，选 D.答案 D10已知函数 f(x
56、)Asin(x)(A0，0，|2)的图象在 y 轴上的截距为 1，在相邻两最值点(x0,2)，x032，2(x00)上 f(x)分别取得最大值和最小值若函数 g(x)af(x)b 的最大值和最小值分别为 6 和 2，则|a|b 的值为()A5 B6 C7 D8解析 由题意知 A2，T2x032 x032，T3，即2|3，又 0，23.f(x)2sin23 x，又函数 f(x)过点(0,1)，代入得 2sin 1，而|2，6，f(x)2sin23 x6，g(x)af(x)b2asin23 x6 b.由2|a|b6，2|a|b2，得|a|1，b4，|a|b5.答案 A二、填空题11(2013宁波十
57、校测试)函数 ysin(x10)cos(x40)(xR)的最大值_.解析 ysin(x10)cos(x40)sin(x10)cos(x10)30sin(x10)32 cos(x10)12sin(x10)12sin(x10)32 cos(x10)sin(x1060)sin(x70)，故 ymax1.答案 112.如图所示的是函数 yAsin(x)A0，0，|2 图象的一部分，则其函数解析式是_解析 由图象知 A1，T463 2，得 T2，则 1，所以 ysin(x)由图象过点6，1，可得 2k3(kZ)，又|2，所以 3，所以所求函数解析式是 ysinx3.答案 ysin x313已知函数 f(
58、x)Asin(x)(A0，0，|)的图象与直线 yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 f(x)的单调递增区间是_解析 根据分析可得函数的周期为 6，即2 6，得 3，由三角函数的对称性可知，函数在 x3 处取得最大值，即 Asin33 A，即 sin 1，所以 2k2(kZ)又|，所以 2，故函数的解析式为 f(x)Asin3x2，令 2k23x22k2(kZ)，得 6kx6k3(kZ)故函数 f(x)的单调递增区间是6k,6k3(kZ)答案 6k,6k3(kZ)14(2014淄博二模)下面有五个命题：函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是.终边在 y 轴上的角的集
59、合是k2，kZ.在同一坐标系中，函数 ysin x 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点把函数 y3sin2x3 的图象向右平移6个单位得到 y3sin 2x 的图象函数 ysinx2 在(0，)上是减函数其中真命题的序号是_解析 化简得 ycos 2x，最小正周期为22.真命题终边在 y 轴上的角的集合是k2，kZ，假命题在同一坐标系中，函数 ysin x 的图象和函数 yx 的图象，只有一个公共点，假命题把函数 y3sin2x3 的图象向右平移6个单位得到 y3sin2x6 3 3sin 2x 的图象，真命题函数 ysinx2 在(0，)上是增函数，假命题答案 三、解答题15(2013辽
60、宁卷)设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值解(1)由|a|2(3sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得 4sin2x1.又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.(2)f(x)ab 3sin xcos xsin2x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，当 x30，2 时，sin2x6 取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32.16(2014衡水模拟)已知函数 f(x)1sin
61、 xcos x.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若 tan x2，求 f(x)的值解(1)已知函数可化为 f(x)112sin 2x，所以 T22，令22k2x32 2k(kZ)，则4kx34 k(kZ)，即函数 f(x)的单调递减区间是4k，34 k(kZ)(2)由已知 f(x)sin2 xsin xcos xcos2xsin2 xcos2xtan2 xtan x1tan2 x1，当 tan x2 时，f(x)2221221 75.17(2013合肥第二次质检)已知函数 f(x)msin x 2m1cos x.(1)若 m2，f()3，求 cos；(2)若 f(x)的
62、最小值为 2，求 f(x)在，6 上的值域解(1)由 m2，f()2sin 3cos 3，又 sin2cos21，cos 17或 cos 1.(2)f(x)msin x 2m1cos x m22m1sin(x)m22m1，m22m1 2，m1 或 m3(舍)，f(x)sin xcos x 2sinx4.由 x，6，x434，512，sinx4 1，2 64，所以 f(x)的值域为 2，1 32.18(2014江苏省七校联考)已知 m(asin x，cos x)，n(sin x，bsin x)，其中 a，b，xR.若 f(x)mn 满足 f6 2，且 f(x)的导函数 f(x)的图象关于直线 x
63、 12对称(1)求 a，b 的值；(2)若关于 x 的方程 f(x)log2k0 在区间0，2 上总有实数解，求实数 k 的取值范围解(1)f(x)mnasin2xbsin xcos x.由 f6 2，得 a 3b8.f(x)asin 2xbcos 2x，且 f(x)的图象关于直线 x 12对称，f(0)f6，b 32 a12b，即 b 3a.由得，a2，b2 3.(2)由(1)得 f(x)1cos 2x 3sin 2x2sin2x6 1.x0，2，62x656，12sin 2x6 1，02sin2x6 13，即 f(x)0,3又 f(x)log2k0 在0，2 上有解，即 f(x)log2k
64、 在0，2 上有解，3log2k0，解得18k1，即 k18，1.学生用书第 59 页第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切最新考纲1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin
65、22cos2112sin2.tan 2 2tan 1tan2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos21cos 22，sin21cos 22.(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4函数 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()，其中 tan ba.辨 析 感 悟1对两角和与差的三角函数公式的理解(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 cos()cos cos.()(3)(教材练习改编)cos 80cos
66、20sin 80sin 20cos(8020)cos 6012.()(4)(教材习题改编)1tan 1tan tan4.()(5)(2014湘潭月考改编)设 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()3.()2对二倍角公式的理解(6)cos 2cos22112sin22.()(7)若 sin 2 33，则 cos 13.()(8)ysin 2xcos 2x 的最大值为 1.()(9)(2013四川卷改编)设 sin 2sin，2，则 tan 2 3.()感悟提升一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.学生用书第 60
67、 页考点一 三角函数式的化简、求值问题【例 1】(1)(2013重庆卷)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D2 21(2)cos2sin22tan4 cos24_.解析(1)4cos 50tan 404sin 40sin 40cos 404sin 40cos 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin 12040sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3.(2)原式cos2sin22sin4cos4cos24cos2sin22sin4 cos4cos 2sin22cos 2cos 21.答案(1)C(2)
68、1规律方法(1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化【训练 1】(1)化简：2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280_.(2)化简：1sin cos sin 2cos 222cos(0)_；解析(1)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 102sin 802sin 502sin 1012cos 10 32 sin 10c
69、os 102cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 2 32 6.(2)原式2sin 2cos 22cos22 sin 2cos 24cos22cos 2sin22cos22cos 2cos 2cos cos 2.因为 0，所以 020，所以原式cos.答案(1)6(2)cos 考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题【例 2】(1)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，求 2 的值解(1)02，422，420，00，022，tan(2)tan 2t
70、an 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.规律方法(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好【训练 2】已知 cos 17，cos()1314，且 02，(1)求 tan 2 的值；(2)求.解(1)cos 17，02，s
71、in 4 37，tan 4 3，tan 2 2tan 1tan224 3148 8 347.(2)02，02，sin()3 314，cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12.3.考点三 三角变换的简单应用【例 3】已知 f(x)1 1tan x sin2x2sinx4 sinx4.(1)若 tan 2，求 f()的值；(2)若 x12，2，求 f(x)的取值范围解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sinx4 cosx41cos 2x212sin 2xsin2x21212(sin 2xcos 2x)cos 2x12(sin 2x
72、cos 2x)12.由 tan 2，得 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan2145.cos 2cos2sin2sin2cos21tan21tan235.所以 f()12(sin 2cos 2)1235.(2)由(1)得 f(x)12(sin 2xcos 2x)12 22 sin2x4 12.由 x12，2，得 2x4512，54.22 sin2x4 1，0f(x)212，所以 f(x)的取值范围是0，212.学生用书第 61 页规律方法(1)将 f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将 sin 2，cos 2 化为关于正切 tan 的关系式，为
73、第(1)问铺平道路(2)把形如yasin xbcos x化为y a2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性【训练 3】已知函数 f(x)4cos xsinx6 1.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间6，4 上的最大值和最小值解(1)因为 f(x)4cos xsinx6 14cos x32 sin x12cos x 1 3sin 2x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6，所以 f(x)的最小正周期为.(2)因为6x4，所以62x623.于是，当 2x62，即 x6时，f(x)取得最大值 2；当 2x66，即 x6时，f(x)取得最
74、小值1.1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形2已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化3熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌
75、握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 教你审题 3三角函数求值中的变角问题【典例】(2012江苏卷)设 为锐角，若 cos6 45，则 sin2 12 的值为_审题 一审条件：cos6 45，为锐角，二审问题：sin2 12？三找关系：2 1223426 4，解题变得明朗化！解析 为锐角且 cos6 45，66，23，sin6 35.sin2 12 sin26 4sin 26 cos 4cos 26 sin 4 2sin6 cos6 22 2cos26 1 23545 22 2452112 225 7
76、 250 17 250.答案 17 250反思感悟 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件常见的变角技巧有：2 2 2；()等；424；154530等【自主体验】已知 cos 13，cos()13，且，0，2，则 cos()的值为_解析 cos 13，0，2，sin 2 23，sin 24 29，cos 279.又 cos()13，(0，)，sin()2 23.cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()79 13 4 29 2 23 2327.答案 2327 基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014郑州模拟)计算
77、cos 42cos 18cos 48sin 18的结果等于()A.12B.33 C.22D.32解析 原式sin 48cos 18cos 48sin 18sin(4818)sin 3012.答案 A2(2013湖州模拟)已知 sin2 13，则 cos(2)的值为()A79B.79C.29D23解析 由题意，得 sin2 cos 13.所以 cos(2)cos 2(2cos21)12cos279.答案 B3(2013山东省实验中学诊断)已知 cos4x 35，则 sin 2x()A.1825B.725C 725D1625解析 因为 sin 2xcos22x cos 24x 2cos24x 1，
78、所以 sin 2x2352118251 725.答案 C4(2013成都模拟)已知，32，且 cos 45，则 tan4 等于()A7 B.17C17D7解析 因，32，且 cos 45，所以 sin 0，即 sin 35，所以 tan 34.所以 tan4 1tan 1tan 13413417.答案 B5(2013金华十校模拟)已知 tan4 12，且2，则sin 22cos2sin4等于()A.2 55B3 510C2 55D3 1010解析 sin 22cos2sin42sin cos 2cos222 sin cos 2 2cos，由 tan4 12，得tan 11tan 12，解得 t
79、an 3，因为2，所以解得 cos 1tan21 1010，所以原式2 2cos 2 2 1010 2 55.答案 C二、填空题6(2013湖南师大附中模拟)计算：tan 12 34cos2122sin 12_.解析 原式sin 12cos 12 322cos2121sin 12 sin 12 3cos 122sin 12cos 12cos 24212sin 12 32 cos 12sin 24cos 242sin126012sin 484.答案 47(2013南京模拟)设 f(x)1cos 2x2sin2xsin xa2sinx4 的最大值为 23，则常数 a_.解析 f(x)12cos2x
80、12cos xsin xa2sinx4cos xsin xa2sinx4 2sinx4 a2sinx4(2a2)sinx4.依题意有 2a2 23，a 3.答案 38(2014广州模拟)已知 cos4 sin4 23，且 0，2，则 cos23 _.解析 cos4 sin4(sin2 cos2)(cos2sin2)23，cos 223，又 0，2，2(0，)，sin 2 1cos22 53，cos23 12cos 2 32 sin 21223 32 53 2 156.答案 2 156三、解答题9(2014浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)cosx3 sin2x.(1)求函数 f(x)的最
81、小正周期；(2)若 0，2，且 f6 35，求 f(2)的值解(1)f(x)12cos x 32 sin xcos x 32 sin x12cos xsinx6.f(x)的最小正周期为 2.(2)由(1)知 f(x)sinx6.所以 f6 sin66 sin 35，0，2，cos 1sin2 135245.sin 22sin cos 235452425，cos 22cos2124521 725，f(2)sin26 32 sin 212cos 2 32 242512 72524 3750.10(2013东莞模拟)已知函数 f(x)3sin2 xsin xcos x.(1)求 f256的值(2)设
82、(0，)，f2 14 32，求 sin 的值解 f(x)3 sin2 x sin xcos x3 1cos 2x2 12sin 2x32 sin2x3，(1)f256 32 sin253 3 0.(2)f2 32 sin3 14 32，0sin3 1412，又()0，33，43.356，cos3 154，sin sin331412 154 32 13 58.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1已知 tan()25，tan4 14，那么 tan4 等于()A.1318B.1322C.322D.16解析 因为 44，所以 4()4，所以 tan4 tan4tantan41tantan4
83、251412514 322.答案 C2(2013潍坊模拟)已知，0，2，满足 tan()4tan，则 tan 的最大值是()A.14B.34C.34 2D.32解析 由 tan()4tan，得 tan tan 1tan tan 4tan，解得 tan 3tan 14tan2，因为 0，2，所以 tan 0.所以 tan 31tan 4tan 321tan 4tan 34，当且仅当 1tan 4tan，即 tan2 14，tan 12时取等号，所以 tan 的最大值是34.答案 B二、填空题3(2014永康模拟)若 sin6 3sin2，则 tan 2_.解析 由已知，得 sin6 32 sin
84、 12cos 3cos，即 32 sin 52cos，所以 tan 5 33，所以 tan 2 2tan 1tan2 25 3315 3325 311.答案 5 311三、解答题4(2012广东卷)已知函数 f(x)2cosx6(其中 0，xR)的最小正周期为10.(1)求 的值；(2)设，0，2，f553 65，f556 1617，求 cos()的值解(1)由题意知 f(x)2cosx6 的最小正周期 T102，则 15.(2)由(1)知 f(x)2cos15x6，又，0，2，f553 65，f556 1617，即 cos2 35，cos 817，sin 35，cos 1sin245，sin
85、 1cos21517，cos()cos cos sin sin 45 8173515171385.学生用书第 62 页第 6 讲 正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asin A bsin Bcsin C2R(R 为ABC 外接圆半径)a2b2c22bccos Ab2a2c22accos Bc2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A a2R，sin B b2R，si
86、n C c2R；(3)abcsin Asin Bsin Ccos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a 上的高)(2)S12bcsin A12absin C12acsin B
87、.(3)S12r(abc)(r 为ABC 内切圆半径)辨 析 感 悟1三角形中关系的判断(1)在 ABC中，sin A sin B的 充 分 不 必 要 条 件 是A B.()(2)(教材练习改编)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或 120.()2解三角形(3)在ABC 中，a3，b5，sin A13，则 sin B59.()(4)(教材习题改编)在ABC 中，a5，c4，cos A 916，则 b6.()3三角形形状的判断(5)在ABC 中，若 sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()(6)在ABC 中，若 b2c2a2，则此三角形是锐角三角形()
88、感悟提升1一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC 中，ABabsin Asin B，如(1)2判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.学生用书第 63 页考点一 利用正弦、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2013湖南卷)在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asin B 3b，则角 A 等于()A.3B.4C.6D.12(2)(2014杭州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1，c4 2，B45，则 sin C_.解析(1)
89、在ABC 中，由正弦定理及已知得 2sin Asin B 3sin B，B 为ABC 的内角，sin B0.sin A 32.又ABC 为锐角三角形，A0，2，A3.(2)由余弦定理，得 b2a2c22accos B1328 2 22 25，即 b5.所以 sin Ccsin Bb4 2 22545.答案(1)A(2)45规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【训练 1】(1)在ABC 中，a2 3，c2 2，A60，则 C()A30 B45 C45或 135 D60(2)在ABC
90、 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则 A()A30 B60 C 120 D150解析(1)由正弦定理，得 2 3sin 60 2 2sin C，解得：sin C 22，又 ca，所以 C60，所以 C45.(2)sin C2 3sin B，由正弦定理，得 c2 3b，cos Ab2c2a22bc 3bcc22bc 3bc2 3bc2bc 32，又 A 为三角形的内角，A30.答案(1)B(2)A考点二 判断三角形的形状【例 2】(2014临沂一模)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2b
91、c)sin B(2cb)sin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 sin Bsin C 3，试判断ABC 的形状解(1)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 bcb2c2a2，cos Ab2c2a22bc12，A60.(2)ABC180，BC18060120.由 sin Bsin C 3，得 sin Bsin(120B)3，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B 3.32sin B 32 cos B 3，即 sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC 为等边三角形
92、规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C 的范围对三角函数值的影响【训练 2】(1)(2013山东省实验中学诊断)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c22a22b2ab，则ABC 是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形解析(1)
93、由 2c22a22b2ab，得 a2b2c212ab，所以 cos Ca2b2c22ab12ab2ab 140，所以 90C180，即ABC 为钝角三角形(2)由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得 b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即 b2sin Acos Ba2cos Asin B，即 sin2 Bsin Acos Bsin2 Acos Asin B，所以 sin 2Bsin 2A，由于 A，B 是三角形的内角，故 02A2，02B2.故只可能 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2.故ABC 为等腰三角形或直角三角形答案(1)A(2)D考
94、点三 与三角形面积有关的问题【例 3】(2013新课标全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值审题路线(1)abcos Ccsin B 正弦定理边化角sin Asin(BC)求出角 B.(2)由S12acsin B，b2a2c22accos B得出 a2 与 c2 的关系式利用基本不等式求 ac 的最大值即可解(1)由已知及正弦定理，得 sin Asin Bcos Csin Csin B又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C(0，)
95、得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.(2)ABC 的面积 S12acsin B 24 ac.由已知及余弦定理，得4a2c22accos4.又 a2c22ac，故 ac42 2，当且仅当 ac 时，等号成立因此ABC 面积的最大值为 21.规律方法 在解决三角形问题中，面积公式 S12absin C12bcsin A12acsin B 最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.学生用书第 64 页【训练 3】(2013湖北卷)在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A3cos(BC)1.(1)求角 A 的大小；(2)若A
96、BC 的面积 S5 3，b5，求 sin Bsin C 的值解(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A12或 cos A2(舍去)因为 0A，所以 A3.(2)由 S12 bcsin A12bc32 34 bc5 3，得 bc20.又 b5，所以 c4.由余弦定理，得 a2b2c22bccos A25162021，故 a 21.又由正弦定理，得 sin Bsin Cbasin Acasin Abca2sin2A20213457.1在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定
97、理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化如a2b2c22bccos A 可以转化为 sin2 Asin2 Bsin2 C2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明 答题模板 6解三角形问题【典例】(12 分)(2013山东卷)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ac6，b2，cos B79.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值规范解答(1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b2(ac)22ac(1cos B)，又 b2，ac6，cos B
98、79，所以ac9，解得a3，c3，(6 分)(2)在ABC 中，sin B 1cos2B4 29，(7分)由正弦定理得 sin Aasin Bb2 23.(9 分)因为 ac，所以 A 为锐角，所以 cos A 1sin2A13.(10 分)因此 sin(AB)sin Acos Bcos Asin B10 227.(12 分)反思感悟(1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围(2)在本题第(2)问中，不会判断角 A 为锐
99、角，易造成求错 cos A，导致 sin(AB)的结果出错答题模板 第一步：定已知即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；第二步：选定理即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值【自主体验】已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c 3asin Cccos A.(1)求 A；(2)若 a2，ABC 的面积为 3，求 b，c.解(1)由 c 3asin Cccos A 及正弦定理，得3sin Asin Ccos Asin Csin C0，由于 sin C0，所以 sinA6 12，又 0A，所以6A656，故 A3.(2)ABC 的面积 S12bcsin
100、A 3，故 bc4.而 a2b2c22bccos A，故 b2c28，解得 bc2.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013绍兴模拟)在ABC 中，若 a2c2b2 3ab，则 C()A30 B45 C60 D120解析 由 a2c2b2 3ab，得 cos Ca2b2c22ab 3ab2ab 32，所以 C30.答案 A2(2014合肥模拟)在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 32，则 BC的长为()A.32B.3C2 3D2解析 S12ABACsin 60122 32 AC 32，所以 AC1，所以 BC2AB2AC22ABACcos 603，所以 BC 3
101、.答案 B3ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B6，C4，则ABC 的面积为()A2 32 B.31C2 32 D.31解析 由正弦定理 bsin Bcsin C及已知条件得 c2 2，又 sin Asin(BC)12 22 32 22 2 64.从而 SABC12bcsin A1222 2 2 64 31.答案 B4ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 B2A，a1，b 3，则 c()A2 3B2 C.2D1解析 由 asin A bsin B，得 asin Absin 2A，所以 1sin A32sin Acos A，故 cos A 3
102、2，又 A(0，)，所以 A6，B3，C2，c a2b212 322.答案 B5(2013陕西卷)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos Ccos Bsin Csin2 A，即 sin(BC)sin2 A，而 BCA，所以 sin(BC)sin A，所以 sin2 Asin A，又 0A，sin A0，sin A1，即 A2.答案 A二、填空题6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a 2，b2，
103、sin Bcos B 2，则角 A 的大小为_解析 由题意知，sin Bcos B 2，所以 2sinB4 2，所以 B4，根据正弦定理可知 asin A bsin B，可得2sin A 2sin4，所以 sin A12，又 ab，故 A6.答案 67(2014惠州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tan B 3ac，则角 B 的值为_解析 由余弦定理，得a2c2b22accos B，结合已知等式得 cos Btan B 32，sin B 32，B3或23.答案 3或238(2013烟台一模)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
104、且 a1，b2，cos C14，则 sin B 等于_解析 由余弦定理，得 c2a2b22abcos C4，即 c2.由 cos C14得 sin C154.由正弦定理 bsin Bcsin C，得 sin Bbsin Cc22 154 154(或者因为 c2，所以 bc2，即三角形为等腰三角形，所以 sin Bsin C 154)答案 154三、解答题9(2014宜山质检)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a12cbcos C.(1)求角 B 的大小；(2)若 SABC 3，b 13，求 ac 的值解(1)由正弦定理，得 sin A12sin Csin Bcos
105、C，又因为 A(BC)，所以 sin Asin(BC)，可得 sin Bcos Ccos Bsin C12sin Csin Bcos C，即 cos B12，又 B(0，)，所以 B3.(2)因为 SABC 3，所以12acsin3 3，所以 ac4，由余弦定理可知 b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即 ac5.10(2013北京卷)在ABC 中，a3，b2 6，B2A.(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值解(1)因为 a3，b2 6，B2A，所以在ABC 中，由正弦定理，得 3sin A 2 6sin 2A，所以2sin Acos Asin A2 63，故 c
106、os A 63.(2)由(1)知 cos A 63，所以 sin A1cos2A 33.又因为B2A，所以 cos B2cos2A113，所以 sin B 1cos2B2 23.在ABC 中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 39.所以 casin Csin A 5.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014温岭中学模拟)在锐角ABC 中，若 BC2，sin A2 23，则ABAC的最大值为()A.13B.45C1 D3解析 由余弦定理，得 a2b2c22bc134，由基本不等式可得 443bc，即bc3，所以ABACbccos A13bc1.
107、答案 C2(2013青岛一中调研)在ABC 中，三边长 a，b，c 满足 a3b3c3，那么ABC 的形状为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上均有可能解析 由题意可知 ca，cb，即角 C 最大，所以 a3b3aa2bb2ca2cb2，即c3ca2cb2，所以 c2a2b2.根据余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab0，所以 0C2，即三角形为锐角三角形答案 A二、填空题3(2013浙江卷)在ABC 中，C90，M 是 BC 的中点若 sinBAM13，则 sinBAC_.解析 如图，令BAM，BAC，故|CM|AM|sin()，M 为 BC 的中点，|BM|AM|sin()在
108、AMB 中，由正弦定理知，|AM|sin B|BM|sin，即|AM|sin2|AM|sinsin，sin 13，cos 2 23，13cos 2 23 sin 13cos 2 23 sin cos 13cos2，整理得 12 2sin cos cos2，所以2 2tan 1tan2 1 1，解得 tan 2，故 sin 63.答案 63三、解答题4(2013长沙模拟)在ABC 中，边 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且满足bcos C(3ac)cos B.(1)求 cos B；(2)若BCBA4，b4 2，求边 a，c 的值解(1)由正弦定理和 bcos C(3ac)cos B，得
109、 sin Bcos C(3sin Asin C)cos B，化简，得 sin Bcos Csin Ccos B3sin Acos B，即 sin(BC)3sin Acos B，故 sin A3sin Acos B，所以 cos B13.(2)因为BCBA4，所以BCBA|BC|BA|cos B4，所以|BC|BA|12，即 ac12.又因为 cos Ba2c2b22ac13，整理得，a2c240.联立a2c240，ac12，解得a2，c6或a6，c2.学生用书第 65 页第 7 讲 解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知 识 梳 理1距
110、离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，求 AB：AB a2b22abcos 只有一点可到达b，求 AB：(1)B；(2)ABsin bsin B两点都不可到达a，求 AB：(1)ACD 中，用正弦定理求 AC；(2)BCD 中，用正弦定理求 BC；(3)ABC 中，用余弦定理求 AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，求 AB：ABatan_底部不可到达a，求 AB：(1)在ACD 中用正弦定理求 AD；(2)ABADsin_3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方
111、时叫俯角(如图 1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为(如图 2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数辨 析 感 悟1测量距离问题(1)海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10n mile，BAC60，ABC75，则 B，C 间的距离是 5 6 n mile.()(2)如图 1，为了测量隧道口 AB 的长度，测量时应当测量数据 a，b，.()图 1 图 22测量高度问题(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，
112、则，的关系为 180.()(4)如图 2，B，C，D 三点在地面同一直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 和()，则可以求出 A 点距地面的高度 AB.()3测量角度问题(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()(6)若点 A 在点 C 的北偏东 30方向，点 B 在点 C 的南偏东 60方向，且 ACBC，则点 A 在点 B 北偏西 15方向()感悟提升1一个区别“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，2.2解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确
113、已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.学生用书第 66 页考点一 测量距离问题【例 1】要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求 A，B 之间的距离解 如图所示，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3 km.在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC 3sin 75sin 60 6 22.在ABC 中
114、，由余弦定理，得AB2(3)26 2222 3 6 22cos 7532 3 35，AB 5(km)，A，B 之间的距离为 5 km.规律方法(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决【训练 1】(2013茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定
115、出基线 BC，测得 BC50 m，ABC105，BCA45.就可以计算出 A，B 两点的距离为()A50 2 m B50 3 mC25 2 m D.25 22m解析 由正弦定理得ABsinBCABCsinCAB，ABBCsinBCAsinCAB50 221250 2(m)答案 A考点二 测量高度问题【例 2】如图，某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后，在点 D 处望见塔的底端 B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了几分钟；(2)求塔的高 AB.解
116、(1)依题意知，在DBC 中，BCD30，DBC180DBF18045135，CD6 000 160100(米)，D1801353015，由正弦定理得CDsinDBCBCsinD，BCCDsinDsinDBC 100sin 15sin 135100 6 242250 6 2250(31)(米)在 RtABE 中，tan ABBE.AB 为定长，当 BE 的长最小时，取最大值 60，这时 BECD.当 BECD 时，在 RtBEC 中，ECBCcosBCE50(31)3225(3 3)(米)设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了 t 分钟，则 t EC6 00060253 36 000
117、603 34(分钟)(2)由(1)知当 取得最大值 60时，BECD，在 RtBEC 中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(31)12 325(3 3)(米)即所求塔高 AB 为 25(3 3)米规律方法(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形【训练 2】(2014宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶 D 到其正上方 A 点的距离，他站在地面 C 处，利用皮尺量得 BC9 米，利用测角仪测得仰角ACB45，测得仰角B
118、CD 后通过计算得到 sinACD 2626，则 AD 的距离为()A2 米B2.5 米C3 米D4 米解析 设 ADx，则 BD9x，CD 929x2，在ACD 中应用正弦定理得CDsinDACADsinACD，即 929x222 x2626，所以 292(9x)226x2，即 818118xx213x2，所以 2x23x270，即(2x9)(x3)0，所以 x3(米)答案 C考点三 测量角度问题【例 3】如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为(31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截
119、走私船此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)学生用书第 67 页审题路线 分清已知条件和未知条件设行驶 t 小时，则 CD，BD 可求在ABC 中，用余弦定理求 BC，用正弦定理求 sinABC在BCD 中，用正弦定理求BCD可推出 BDBC再求 t回到实际问题中去解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在ABC 中，AB(31)海里，AC2 海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC 312222
120、2 31cos 120 6(海里)根据正弦定理，可得sinABCACsin 120BC2 326 22.ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD 中，根据正弦定理，可得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30，BDC30，BDBC 6海里，则有 10t 6，t 6100.245 小时14.7 分钟故缉私船沿北偏东 60方向，需14.7 分钟才能追上走私船规律方法(1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解
121、此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量【训练 3】如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B处救援，则 cos 等于()A.217B.2114 C.3 2114D.2128解析 如图所示，在ABC 中，AB40 海里，AC20 海里，BAC120，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故 BC20 7(海里)由正弦定理，得 sinACBABBCsinBAC 217.由BAC1
122、20，知ACB 为锐角，故 cosACB2 77.故 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30 2114.答案 B1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(准确地画出图形)求解检验作答2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(
123、组)得出所要求的解 教你审题 4破解实际应用中的方向角问题【典例】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上，此时到达 C 处(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值审题 一审条件：“南偏西 60”转化到ABC 中，即BAC120；二审条件：“北偏东”可得BCA；三审条件：“刚好用两小时追上”指|AC|20 海里解(1)依题意知，BAC120，AB12 海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC 中，由余弦定
124、理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得 BC28(海里)所以渔船甲的速度为BC2 14(海里/时)(2)由(1)知 BC28 海里，AB12 海里，在ABC 中，BCA，由正弦定理得 ABsin BCsin 120.即 sin ABsin 120BC12 32283 314.反思感悟 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解【自主体验】一艘海轮从
125、A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)答案 A基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观
126、察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10解析 灯塔 A，B 的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则 605010，即北偏西 10.答案 B2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得仰角为 2，继续在水平地面上前进 300 3 m 后，测得山峰的仰角为 4，则该山峰的高度为()A300 m B450 m C300 3 m D600 m解析 如图所示，易知，在ADE 中，DAE2，ADE1804，AD300 3 m，由正弦定理，得900sin 4300 3sin 2，解得 co
127、s 2 32，则 sin 212，sin 4 32，所以在 RtABC 中山峰的高度 h300 3sin 4300 3 32 450(m)答案 B3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是()A100 2 m B400 m C200 3 m D500 m解析 由题意画出示意图，设塔高 ABh m，在 RtABC 中，由已知得 BCh m，在RtABD 中，由已知得 BD 3h m，在BCD 中，由余弦定理
128、BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得 3h2h25002h500，解得 h500(m)答案 D4(2014广州调研)如图所示，长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan 等于()A.2315B.516C.23116D.115解析 由题意，可得在ABC 中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得 AB2AC2BC22ACBCcosACB，即 3.521.422.8221.42.8cos()，解得 cos 516，
129、所以 sin 23116，所以 tan sin cos 2315.答案 A5(2013哈尔滨模拟)如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为()A30 B45 C60 D75解析 依题意可得 AD20 10 m，AC30 5 m，又 CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD30 5220 102502230 520 106 0006 000 2 22，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物CD 的张角为 45.答案 B
130、二、填空题6在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为_千米解析 由已知条件CAB75，CBA60，得ACB45.结合正弦定理，得ABsinACBACsinCBA，即2sin 45 ACsin 60，解得 AC 6(千米)答案 67.(2013杭州一中测试)如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析 设航速为 v n mile/h
131、，在ABS 中，AB12v，BS8 2 n mile，BSA45，由正弦定理，得 8 2sin 3012vsin 45，v32 n mile/h.答案 328某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则山的高度 BC 为_m.解析 过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得 ABADsinADBsinABD1 000sin 150sin 15500(6 2)(m)所以在 RtABC 中，
132、BCABsin 45500(31)(m)答案 500(31)三、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为，求塔高 AB.解 在BCD 中，CBD，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，所以 BCCDsinBDCsinCBD ssin sin，在 RtABC 中，ABBCtanACBstan sin sin.10.(2014石家庄模拟)已知岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西
133、 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？参考数据：sin 385 314，sin 223 314解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5 x，AC5 海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcos 120，所以 BC249，BC0.5 x7，解得 x14.又由正弦定理得 sinABCACsinBACBC5 3275 314，所以ABC38，又BAD38，所以 BCAD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.
134、5 小时截住该走私船能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是
135、 50 m.答案 A2.如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中之影的俯角为 45，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)()A2.7 m B17.3 m C37.3 m D373 m解析 在ACE 中，tan 30CEAECM10AE.AECM10tan 30(m)在AED 中，tan 45DEAECM10AE，AECM10tan 45(m)，CM10tan 30 CM10tan 45，CM10 313110(2 3)37.3(m)答案 C二、填空题3如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC.小明在山脚 B 处看索道
136、AC，此时张角ABC120；从 B 处攀登 200米到达 D 处，回头看索道 AC，此时张角ADC150；从 D 处再攀登 300 米到达 C 处则石竹山这条索道 AC 长为_米解析 在ABD 中，BD200 米，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得BDsinDABADsinABD，所以 200sin 30ADsin 120.所以 AD200sin 120sin 30200 3(米)在ADC 中，DC300 米，ADC150，所以 AC2AD2DC22ADDCcosADC(2003)2300222003300cos 150390 000，所以 AC100 39(米)故石
137、竹山这条索道 AC 长为100 39米答案 100 39三、解答题4(2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问：
138、乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.由正弦定理 ABsin C ACsin B，得AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)
139、m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，因 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过
140、 3 分钟，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内步骤规范练三角恒等变换及解三角形(建议用时：90 分钟)一、选择题1(2013山东师大附中月考)化简sin2 3512cos 10cos 80()A2 B12C1 D1解析 sin2 3512cos 10cos 801cos 70212cos 10sin 1012cos 7012sin 201.答案 C2(2014潮州二模)在ABC 中，A3，AB2，且ABC 的面积为 32，则边AC 的长为()A1 B.3C2 D.2解析 由题意知 SABC12ABACsin A122AC 32 32，AC1.答案 A3(2
141、013成都五校联考)已知锐角 满足 cos 2cos4，则 sin 2 等于()A.12B12C.22D 22解析 0，2，2(0，)，44，4.又 cos 2cos4，24 或 240，12或 4(舍)sin 2sin 612，故选 A.答案 A4(2014中山模拟)已知角 A 为ABC 的内角，且 sin 2A34，则 sin Acos A()A.72B 72C12D.12解析 A 为ABC 的内角，且 sin 2A2sin Acos A340，sin A0，cos A0，sin Acos A0.又(sin Acos A)212sin Acos A74.sin Acos A 72.答案 A
142、5(2013临沂一模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin2 Asin2 Csin2 B 3sin Asin C，则角 B 为()A.6B.3C.23D.56解析 由正弦定理可得 a2c2b2 3ac，所以 cos Ba2c2b22ac 3ac2ac 32，所以 B6.答案 A6(2013湛江二模)若三条线段的长分别为 3,5,7，则用这三条线段()A能组成直角三角形B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形D不能组成三角形解析 设能构成三角形的最大边为 a7，所对角为 A，则 cos A325272235 120，故 A 为钝角，即构成的三角形为钝角三角形答案 C7
143、(2013安徽卷)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C()A.3B.23C.34D.56解析 由 3sin A5sin B，得 3a5b，a53b，代入 bc2a 中，得 c73b.由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab12，C23.答案 B8(2013东北三校联考)设，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或2 525解析，都是锐角，当 cos 55 时，sin 2 55.因为 cos 55 12，所以 60.又 sin()35 32
144、，所以 60或 120.显然 60不可能，所以 为钝角又 sin()35，因此 cos()45，所以 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 4 56 5252 525.答案 A9已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则 b()A10 B9 C8 D5解析 化简 23cos2Acos 2A0，得 23cos2A2cos2A10，解得 cos A15.由余弦定理，知 a2b2c22bccos A，代入数据，得 b5.答案 D10(2013天津卷)在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则
145、sinBAC()A.1010B.105C.3 1010D.55解析 由余弦定理，得 AC2BA2BC22BABCcos B(2)2322 23cos45.AC 5，由正弦定理BCsinBACACsinABC，得sinBACBCsinABCAC3sin 453 225 3 1010.答案 C二、填空题11(2013浙江五校联盟联考)已知 sin4x 34，且 x2，4，则 cos 2x的值为_解析 sin 2xcos22x 12sin24x1234218，x2，4，2x，2.cos 2x1sin2 2x3 78.答案 3 7812已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 AB1，BC4
146、，则边 BC上的中线 AD 的长为_解析 由ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，可得 B60.又在ABD 中，AB1，BD2，由余弦定理可得 AD AB2BD22ABBDcos B 3.答案 313(2013济宁期末考试)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b1，c 3，C23，则 SABC_.解析 因为 cb，所以 BC，所以由正弦定理得 bsin Bcsin C，即 1sin B3sin232，即 sin B12，所以 B6，所以 A623 6.所以 SABC12bc sin A12 312 34.答案 3414(2014天水模拟)f(x)2sin24x 3
147、cos 2x1，x4，2，则 f(x)的最小值为_.解析 f(x)2sin24x 3cos 2x11cos 24x 3cos 2x1cos22x 3cos 2xsin 2x 3cos 2x2sin2x3，因为4x2，所以62x323，所以12sin2x3 1，所以 12sin2x3 2，即 1f(x)2，所以 f(x)的最小值为 1.答案 1三、解答题15(2013新课标全国卷)如图，在ABC 中，ABC90，AB 3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90.(1)若 PB12，求 PA；(2)若APB150，求 tanPBA.解(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦
148、定理，得 PA23142 312cos 3074.故 PA 72.(2)设PBA，由已知得 PBsin.在PBA 中，由正弦定理，得3sin 150sin sin30，化简得 3cos 4sin.所以 tan 34，即 tanPBA 34.16(2013江西卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C(cos A 3sin A)cos B0.(1)求角 B 的大小；(2)若 ac1，求 b 的取值范围解(1)由已知得cos(AB)cos Acos B 3sin Acos B0，即有 sin Asin B 3sin Acos B0，因为 sin A0，所以 si
149、n B 3cos B0，又 cos B0，所以 tan B 3，又 0B，所以 B3.(2)由余弦定理，有 b2a2c22accos B.因为 ac1，cos B12，所以 b23a12214.又 0a1，于是有14b21，即有12b1.故 b 的取值范围是12，1.17(2013潍坊一模)已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos B 3bsin Ac.(1)求角 A 的大小；(2)若 a1，ABAC3，求 bc 的值解(1)由 acos B 3bsin Ac，得sin Acos B 3sin Bsin Asin(AB)，即3sin Bsin Acos Asin
150、B，所以 tan A 33，故 A6.(2)由ABAC3，得 bccos 63，即 bc2 3，又 a1，1b2c22bccos 6，由可得(bc)274 3，所以 bc2 3.18(2013重庆卷)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a2b2 2abc2.(1)求 C；(2)设 cos Acos B3 25，cosAcosBcos2 25，求 tan 的值解(1)因为 a2b2 2abc2，由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab 2ab2ab 22，故 C34.(4)由题意得sin sin Acos cos Asin sin Bcos cos Bcos2 25
151、，因此(tan sin Acos A)(tan sinBcos B)25，tan2sin Asin Btan(sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B 25，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B 25.因为 C34，所以 AB4，所以 sin(AB)22，因为 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即3 25 sin Asin B 22，解得 sin Asin B3 25 22 210.由得 tan25tan 40，解得 tan 1 或 tan 4.学生用书第 68 页创造并非逻辑推理之结果，逻辑推理只是用来验证已有的创造设想。艾伯特爱因斯坦(18791955，美国物理学家)学校要求老师在教育过程中要像艺术家那样，创造性地劳动。首先，老师应该自己就曾在这样的学校中成长。其次，老师应该有极大的自由去选择教授内容和教授方法。爱因斯坦
