1、第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示对应学生用书P12基础盘查一 函数的有关概念(一)循纲忆知1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(二)小题查验1判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射()(2)函数 yf(x)的图象与直线 xa 最多有 2 个交点()(3)函数 f(x)x22x 与 g(t)t22t 是同一函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(5)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射()答案：(1)
2、(2)(3)(4)(5)2(人教 A 版教材复习题改编)函数 f(x)x4|x|5 的定义域是_答案：4,5)(5，)3已知函数 yf(n)，满足 f(1)2，且 f(n1)3f(n)，nN*，则 f(4)_.答案：54基础盘查二 分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(二)小题查验1判断正误(1)函数 f(x)1，x0，1，x1或x1或x1，若 f(x)2，则 x_.答案：12对应学生用书P12 考点一 函数的概念(基础送分型考点自主练透)必备知识1函数的定义设 A、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x
3、，在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)2函数的三要素题组练透1下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1 与 y x12 By x1与 y x1x1Cy4lg x 与 y2lg x2Dylg x2 与 ylg x100答案：D2下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3D4解析：选 B 中当 x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，中当 xx0 时，y 的值有两个，因此不是函数图象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选 B.类题通法两个函数是否是同一个函数
4、，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1 均表示同一函数考点二 函数的定义域问题(常考常新型考点多角探明)多角探明函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求
5、给定函数解析式的定义域1函数 f(x)1|x1|ax1(a0 且 a1)的定义域为_解析：由1|x1|0，ax100 x2，x00 x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,22(2013安徽高考)函数 yln11x 1x2的定义域为_解析：要使函数有意义，需11x0，1x20，即x1x 0，x21，即x0，1x1，解得 0 x1，所以定义域为(0,1答案：(0,1角度二：求抽象函数的定义域3若函数 yf(x)的定义域是1,2 014，则函数 g(x)fx1x1 的定义域是()A0,2 013 B0,1)(1,2 013C(1,2 014 D1,1)(1,2 013解析：选 B 令 tx1
6、，则由已知函数的定义域为1，2 014，可知 1t2 014.要使函数 f(x1)有意义，则有 1x12 014，解得 0 x2 013，故函数 f(x1)的定义域为0,2 013所以使函数 g(x)有意义的条件是0 x2 013，x10，解得 0 x0，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x)lg 2x1，x1.(3)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx，又由 f(x1)f(x)x1，得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以2abb1，ab1，解得 ab12.所以 f(x)12x212x，xR.
7、(4)在 f(x)2f 1xx1 中，用1x代替 x，得 f 1x 2f(x)1x1，将 f 1x 2fxx 1 代入 f(x)2f 1xx1 中，可求得 f(x)23 x13.类题通法求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代g(x)，便得 f(x)的表达式；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于 f(x)与 f 1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造
8、出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)演练冲关1已知 f(x1)x2 x，求 f(x)的解析式解：法一：设 t x1，则 x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故 f(x)x21，x1.法二：x2 x(x)22 x11(x1)21，f(x1)(x1)21，x11，即 f(x)x21，x1.2设 yf(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f(x)2x2，求 f(x)的解析式解：设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程 f(x)0 有两个相等实根，44c0，解得 c
9、1.故 f(x)x22x1.考点四 分段函数(重点保分型考点师生共研)必备知识若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数提醒 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数典题例析1已知 f(x)log3x，x0，axb，x0，且 f(0)2，f(1)3，则 f(f(3)()A2 B2C3D3解析：选 B 由题意得 f(0)a0b1b2，解得 b1.f(1)a1ba113，解得 a12.故 f(3)12319，从而 f(f(3)f(9)log392.2已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x0 时，1a1.这时 f(1a)2(1a)a2a，f
10、(1a)(1a)2a13a.由 f(1a)f(1a)得 2a13a，解得 a32.不合题意，舍去当 a1,1a0，即(x1)(x1)0，解得1x1，即 M(1,1)，全集为 R，RM(，11，)2已知函数 f(x)x21，x1，2xax，x1，若 f(f(1)4a，则实数 a 等于()A.12B.43C2D4解析：选 C f(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得 a2.故选 C.3若二次函数 g(x)满足 g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为()Ag(x)2x23xBg(x)3x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x解析：选 B(待定系数法)设 g(x)
11、ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，abc1，abc5，c0，解得a3，b2，c0，g(x)3x22x，选 B.4函数 f(x)109xx2lgx1的定义域为()A1,10B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10解析：选 D 要使函数 f(x)有意义，则 x 需满足109xx20，x10，lgx10，即1x10，x1，x2，所以不等式组的解集为(1,2)(2,10故选 D.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)cx，xA，cA，xA，(A，c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15
12、 分钟，那么 c和 A 的值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16解析：选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟，所以 cA15，所以必有 4A，且 c4c230.联立解得 c60，A16.6.创新题具有性质：f 1x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx1x；yx1x；yx，0 x1.其中满足“倒负”变换的函数是()A BCD解析：选 B 对于，f(x)x1x，f 1x 1xxf(x)，满足；对于，f 1x 1xxf(x)，不满足；对于，f 1x 1x，01x1，即 f 1x 1x，x1，0，x1，x，0 x1，故 f 1x f(x)，满足
13、综上可知，满足“倒负”变换的函数是.二、填空题7(2015太原月考)已知 yf(2x)的定义域为1,1，则 yf(log2x)的定义域是_解析：函数 f(2x)的定义域为1,1，1x1，122x2.在函数 yf(log2x)中，12log2x2，2x4.答案：2，48设函数 f(x)满足 f(x)1f 12 log2x，则 f(2)_.解析：由已知得 f 12 1f 12 log22，则 f 12 12，则 f(x)112log2x，故 f(2)112log2232.答案：329已知函数 yf(x21)的定义域为 3，3，则函数 yf(x)的定义域为_解析：yf(x21)的定义域为 3，3，x
14、 3，3，x211,2，yf(x)的定义域为1,2答案：1,210(2015岳阳模拟)已知奇函数 f(x)3xa，x0，gx，xf(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教 A 版教材习题改编)函数 yx22x(x2,4)的增区间为_答案：2,43若函数 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则 k 的取值范围是_答案：，12基础盘查二 函数的最值(一)循纲忆知1理解函数最大
15、值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的最值(二)小题查验1判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数 y1x在1,3上的最小值为13()答案：(1)(2)2(人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)2x1(x2,6)，则函数的最大值为_答案：2对应学生用书P15考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义法设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI，如果对于任意 x1，x2D，且 x1x2，则有：(1)f(x)在区间 D 上是增函数f(x1)f(x2)2导数法在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间上单调递增；如果
16、 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间上单调递减题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x)1x1Df(x)|x|解析：选 C 当 x0 时，f(x)3x 为减函数；当 x0，32 时，f(x)x23x 为减函数，当 x32，时，f(x)x23x 为增函数；当 x(0，)时，f(x)1x1为增函数；当 x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选 C.2判断函数 g(x)2xx1在(1，)上的单调性解：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 g(x1)g(x2)2x1x112x2x212x1x2x11x21，因为 1x1x2，所以 x
17、1x20，因此 g(x1)g(x2)0，即 g(x1)12，得1x1.由 f(x)12，得 x1 或 x1.所以 f 12(x)2x，x1，12，1x1，2x，x1.故 f 12(x)的单调递增区间为(，1)考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点多角探明)必备知识函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数 yf(x)，xa，c在 xb 处有最大值 f(b)；如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，
18、c上单调递增，则函数 yf(x)，xa，c在 xb 处有最小值 f(b)多角探明高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1函数 f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_解析：当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当x1 时，易知函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f
19、(x)的最大值为 2.答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选 B 函数 f(x)log2x 11x在(1，)上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当 f(x)f(x8)2 时，x 的取值范围是()A(8，)B(8,9C8,9D(0,8)解析：选 B 211
20、f(3)f(3)f(9)，由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8)f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，xx89，解得 8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数 f(x)a2x，x2，12x1，x2满足对任意的实数 x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为()A(，2)B.，138C(，2 D.138，2解析：选 B 由题意可知，函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，a22 1221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是，138.类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函
21、数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.对应A本课时跟踪检测五一、选择题1(2014北京高考)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln xDy|x|
22、解析：选 B 因为对数函数 yln x 的定义域不是 R，故首先排除选项 C；因为指数函数 yex，即 y 1ex，在定义域内单调递减，故排除选项 A；对于函数 y|x|，当 x(，0)时，函数变为 yx，在其定义域内单调递减，因此排除选项 D；而函数 yx3 在定义域 R 上为增函数故选 B.2函数 f(x)|x2|x 的单调减区间是()A1,2B1,0C0,2D2，)解析：选 A 由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x2.结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x1 对称，且当 x1 时，f(x)3x
23、1，则()Af 13 f 32 f 23Bf 23 f 32 f 13Cf 23 f 13 f 32Df 32 f 23 f 13解析：选 B 由题设知，当 x1 时，f(x)单调递减，当 x1 时，f(x)单调递增，而 x1 为对称轴，f 32 f112 f112 f 12，又131223f 23，即 f 13 f 32 f 23.4.创新题定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1C6D12解析：选 C 由已知得当2x1 时，f(x)x2，当 1x2 时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32 在定义
24、域内都为增函数f(x)的最大值为 f(2)2326.5已知函数 f(x)log2x，x1，xc，x1，则“c1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 若函数 f(x)在 R 上递增，则需 log21c1，即 c1.由于 c1c1，但 c1/c1，所以“c1”是“f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件故选 A.6(2015长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果 x1x20 且 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值()A可能为 0B恒大于 0C恒小于 0
25、D可正可负解析：选 C 由 x1x20 不妨设 x10.x1x20，x1x20.由 f(x)f(x)0 知 f(x)为奇函数又由 f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0.故选 C.二、填空题7已知函数 f(x)为 R 上的减函数，若 f 1xf(1)，则实数 x 的取值范围是_解析：由题意知 f(x)为 R 上的减函数且 f 1x1，即|x|1，且 x0.故1x0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x1.函数图象如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)10使函数 y2xkx2 与 ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数
26、 k 的取值范围是_解析：由 ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数 y2xkx2 2x24kx224kx2，使其在(3，)上是增函数，故 4k0，得 k0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围解：(1)证明：任设 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)任设 1x10，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 在(1，)上恒成立，a1.综上所述知 a 的取值范围是(0,112已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f x1x2 f(x1)f(x2)，且当 x1 时
27、，f(x)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 f x1x2 0，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 f x1x2 f(x1)f(x2)得，f 93 f(9)f(3)，而 f(3)1，所以 f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.第三节函数的奇偶性及周期性对应学生用书P17 基础盘查一 函数的奇偶性(一)循纲忆知1结合具
28、体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性(二)小题查验1判断正误(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0)的周期函数()答案：(1)(2)2若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足
29、 f(1)1，f(2)2，则 f(8)f(14)_.答案：1对应学生用书P18考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点自主练透)必备知识函数的奇偶性的定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)或 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数(奇函数)提醒 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件题组练透判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2 x21；(2)f(x)32x 2x3；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)4x2|x3|3；(5)f(x)x2x，x0，x2x，x0 时，f(x)x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，x
30、0)提醒 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内考点三 函数性质的综合应用(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1(2015洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递增的是()Ayx2 By2|x|Cylog21|x|Dysin x解：选 C 函数 yx2 在(，0)上是减函数；函数 y2|x|在(，0)上是减函数；函数ylog21|x|log2|x|
31、是偶函数，且在(，0)上是增函数；函数 ysin x 不是偶函数综上所述，选 C.2已知奇函数 f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足 f(1m)f(1m2)0 的实数 m 的取值范围解：f(x)的定义域为2,2，21m2，21m22，解得1m 3.又 f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，解得2m1.综合可知，1m1.即实数 m 的取值范围是1,1)角度二：周期性与奇偶性结合3(2015石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为()A(1,4)B(2,
32、0)C(1,0)D(1,2)解：选 A f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a1 1，即a4a10，解得1a4，故选 A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)10 设 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数，在 区 间 1,1 上，
33、f(x)ax1，1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f 12 f 32，则 a3b 的值为_解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f 32 f12，且 f(1)f(1)，故f 12 f12，从而12b212112a1，即 3a2b2.由 f(1)f(1)，得a1b22，即 b2a.由得 a2，b4，从而 a3b10.答案：10三、解答题11已知函数 f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x
34、.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，于是 x1，a21，所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1,312设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数 f(x)的单调区间解：(1)由 f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)从而
35、可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示设当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB41221 4.(3)函数 f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ)第四节函数的图象对应学生用书P20基础盘查一 利用描点法作函数图象(一)循纲忆知会利用描点法作一些函数图象(如 ysin x)(二)小题查验1判断正误(1)函数 f(x)x1x1与 g(x)x1的图象相同()(2)点(0,0)，12，18，(1,1)，(2,8)为 y
36、x3 的关键点()答案：(1)(2)2函数 yxax|x|(a1)的图象的大致形状是()答案：A基础盘查二 利用图象变换法作函数图象(一)循纲忆知能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质(二)小题查验1判断正误(1)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同()(2)函数 yaf(x)与 yf(ax)(a0 且 a1)的图象相同()(3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x
37、1)的图象()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知图中的图象对应的函数为 yf(x)，则图中的图象对应的函数为()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)答案：C对应学生用书P20考点一 作函数的图象(基础送分型考点自主练透)必备知识描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线题组练透分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)ylg x，x1，
38、lg x，0 x1.图象如图 1.(2)将 y2x 的图象向左平移 2 个单位图象如图 2.(3)yx22x1，x0，x22x1，x0，右移a个单位a0，上移b个单位b0，下移|b|个单位yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x)01，缩短为原来的1yf(x)；yf(x)A1，伸为原来的A倍0A1，缩为原来的AyAf(x)(3)对称变换：yf(x)关于x轴对称 yf(x)；yf(x)关于y轴对称 yf(x)；yf(x)关于原点对称 yf(x)(4)翻折变换：yf(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去yf(|x|)；yf(x)留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去 y|f(x
39、)|.考点二 识图与辨图(重点保分型考点师生共研)典题例析1(2015海淀区期中测试)函数 f(x)2xsin x 的部分图象可能是()解析：选 A 因为 xR，f(x)2xsin xf(x)，所以函数图象关于原点对称，又 f(x)2cos x0，所以函数单调递增，因此选 A.2.已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为()解：选 B 法一：由 yf(x)的图象知f(x)x，0 x1，1，1x2.当 x0,2时，2x0,2，所以 f(2x)1，0 x1，2x，1x2，故 yf(2x)1，0 x1，x2，1x2.法二：当 x0 时，f(2x)f(2)1；当
40、 x1 时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选 B.类题通法识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题演练冲关1已知 f(x)2x，1x0，x，0 x1，则下列函数的图象错误的是()解析：选 D 先在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，如图所示，再将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 yf(x1)的图象，因此 A 正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称
41、图形，即可得到yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)的值域是0,2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当 0 x1 时，yf(|x|)x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项 D 不正确综上所述，选 D.2.如图，不规则四边形 ABCD 中：AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 lAB 交 AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设 AEx，左侧部分的面积为 y，则 y 关于 x 的图象大致是()解析：选 C 当 l 从左至右移动时，一开始面积
42、的增加速度越来越快，过了 D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选 C.3.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f1f3 的值等于_解析：由图象知 f(3)1，1f31.f1f3 f(1)2.答案：2考点三 函数图象的应用(常考常新型考点多角探明)多角探明函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图象的应用常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；(2)确定方程根的个数；(3)求参数的取值范围；(4)求不等式的
43、解集.角度一：研究函数的性质1已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解 析：选 C 将 函 数 f(x)x|x|2x 去 掉 绝 对 值 得f(x)x22x，x0，x22x，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_解析：方程 2f2(x)3f(x)10 的解为 f(x)12或 1.作出 yf(x)的图象，由图象知零点的个数为 5.答案：5角度三：求参数的取值范围3(2014山东高考)已知函数 f
44、(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12 B.12，1C(1,2)D(2，)解析：选 B 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 ykx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 yx1 的斜率时符合题意，故12k1.角度四：求不等式的解集4.函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式 fxcos x0，在2，4 上 ycos x0.由 f(x)的图象
45、知在1，2 上 fxcos x0，因为 f(x)为偶函数，ycos x 也是偶函数，所以 y fxcos x为偶函数，所以 fxcos x0 的解集为2，1 1，2.答案：2，1 1，2类题通法1利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性2有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值3有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解对应A本课时跟踪检测七一、选择题1函数 ye1x2 的图象大致是()解析：选 C 易知函数 f(x)为偶函数，因此排
46、除 A，B；又因为 f(x)e1x20，故排除 D，因此选 C.2为了得到函数 y2x31 的图象，只需把函数 y2x 的图象上所有的点()A向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度C向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度解析：选 A y2x向右平移3个单位长度y2x3向下平移1个单位长度y2x31.故选 A.3(2015海淀区期中测试)下列函数 f(x)图象中，满足 f 14 f(3)f(2)的只可能是()解析：选 D 因为 f 14 f(3)f(2)，所以函
47、数 f(x)有增有减，排除 A，B.在 C 中，f 14 f(0)1，f(3)f(0)，即 f 14 f(3)，排除 C，选 D.4设函数 F(x)f(x)f(x)，xR，且，2 是函数 F(x)的一个单调递增区间将函数 F(x)的图象向右平移 个单位，得到一个新的函数 G(x)的图象，则 G(x)的一个单调递减区间是()A.，2B.2，0C.2，D.32，2解析：选 D F(x)f(x)f(x)，xR，F(x)f(x)f(x)F(x)，F(x)为偶函数，2，为函数 F(x)的一个单调递减区间将 F(x)的图象向右平移 个单位，得到一个新的函数 G(x)的图象，则 G(x)的一个单调递减区间是
48、32，2.5(2015成都模拟)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式fxfxx0 的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：选 D f(x)为奇函数，所以不等式fxfxx0 化为fxx 0，即 xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以 xf(x)1.设函数fx(x22)(x1)，xR.若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1解析：选 B aba，ab1，b，ab1，函数 f(x)(x22)(x1)x22
49、，1x2，x1，x2.结合图象可知，当 c(2，1(1,2时，函数 f(x)与 yc 的图象有两个公共点，c 的取值范围是(2，1(1,2二、填空题7.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log2f(x)的定义域是_解析：当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 的 x(2,8答案：(2,88函数 f(x)x1x 的图象的对称中心为_解析：因为 f(x)x1x 11x，故 f(x)的对称中心为(0,1)答案：(0,1)9如图，定义在1，)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当
50、1x0 时，设解析式为 ykxb，则kb0，b1，得k1，b1.yx1.当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21，图象过点(4,0)，0a(42)21，得 a14.答案：f(x)x1，1x0，14x221，x010设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：如图作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，)答案：1，)三、解答题11已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x2，5.(1)在如图所示给定的直角
51、坐标系内画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值解：(1)函数 f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为1,0，2,5(3)由图象知当 x2 时，f(x)minf(2)1，当 x0 时，f(x)maxf(0)3.12已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2 的图象关于点 A(0,1)对称(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)ax，且 g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数 a 的取值范围解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点
52、P(x,2y)在 h(x)的图象上，即 2yx1x2，yf(x)x1x(x0)(2)g(x)f(x)axxa1x，g(x)1a1x2.g(x)在(0,2上为减函数，1a1x2 0 在(0,2上恒成立，即 a1x2 在(0,2上恒成立，a14，即 a3，故 a 的取值范围是3，)见课时跟踪检测A本命题点一 函数的概念及其表示难度：中、低命题指数：题型：选择题、填空题1(2014山东高考)函数 f(x)1log2x1 的定义域为()A(0,2)B(0,2C(2，)D2，)解析：选 C 由题意可知 x 满足 log2x10，即 log2xlog22，根据对数函数的性质得 x2，即函数 f(x)的定义
53、域是(2，)2(2014江西高考)已知函数 f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)，若 fg(1)1，则 a()A1B2C3D1解析：选 A 因为 fg(1)1，且 f(x)5|x|，所以 g(1)0，即 a1210，解得 a1.3(2012安徽高考)下列函数中，不满足 f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x|Bf(x)x|x|Cf(x)x1Df(x)x解析：选 C 对于选项 A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于选项 B，f(x)x|x|0 x02xx0，当 x0 时，f(2x)02f(x)，当 x0 时，f(2x)4x22x2f(x)，恒有 f(2x)2f(x)；对于选项D
54、，f(2x)2x2(x)2f(x)；对于选项 C，f(2x)2x12f(x)1.4(2014浙江高考)设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a_.解析：当 a0 时，f(a)a22a20，f(f(a)0 时，f(a)a2，f(f(a)a42a222，则 a 2或 a0，故 a 2.答案：2命题点二 函数的基本性质难度：中命题指数：题型：选择题、填空题1(2014湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1x2Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x解析：选 A 因为 yx2 在(，0)上是单调递减的，故 y1x2在(，0)上
55、是单调递增的，又 y1x2为偶函数，故 A 对；yx21 在(，0)上是单调递减的，故 B 错；yx3 为奇函数，故 C 错；y2x 为非奇非偶函数，故 D 错选 A.2(2014湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x21，则 f(1)g(1)()A3B1C1D3解析：选 C 用“x”代替“x”，得 f(x)g(x)(x)3(x)21，化简得 f(x)g(x)x3x21，令 x1，得 f(1)g(1)1，故选 C.3(2014陕西高考)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x12Bf(x)x3Cf
56、(x)12xDf(x)3x解析：选 D 根据各选项知，选项 C、D 中的指数函数满足 f(xy)f(x)f(y)又 f(x)3x是增函数，所以 D 正确4(2014新课标全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选 C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故 f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选 C.5(2014四川高
57、考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x0，则x 的取值范围是_解析：由题可知，当2x0，f(x1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，若 f(x1)0，则1x0，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)解析：选 D 函数 f(x)x21，x0，cos x，x0的图象如图所示，由图象知只有 D 正确2(2013北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex 关于 y轴对称，则 f(x)()Aex
58、1 Bex1Cex1D.ex1解析：选 D 与曲线 yex 关于 y 轴对称的曲线为 yex，函数 yex 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x)e(x1)ex1.3(2013湖南高考)函数 f(x)2ln x 的图象与函数 g(x)x24x5 的图象的交点个数为()A3B2C1D0解析：选 B 在同一直角坐标系下画出函数 f(x)2ln x 与函数 g(x)x24x5(x2)21 的图象，如图所示f(2)2ln 2g(2)1，f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2，故选 B.4(2013四川高考)函数 y x33x1的图象大致是()解析：选 C 因为函数的定
59、义域是非零实数集，所以 A 错；当 x0，所以 B 错；当 x时，y0，所以 D 错，故选 C.5(2012天津高考)已知函数 y|x21|x1 的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是_解析：因为函数 y|x21|x1 x1，x1或x1，x1，1x1，又函数 ykx2 的图象恒过点(0，2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0k1 或 1k4.答案：(0,1)(1,4)第五节二次函数与幂函数对应学生用书P22基础盘查一 幂函数(一)循纲忆知1了解幂函数的概念(f(x)x)2结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12 的图象，了解它们的变化情况(二)小
60、题查验1判断正误(1)函数 f(x)x2 与函数 f(x)2x2 都是幂函数()(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(3)幂函数的图象不经过第四象限()(4)当 0 时，幂函数 yx 是定义域上的减函数()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材习题改编)已知幂函数 yf(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为_答案：f(x)x12(x0)基础盘查二 二次函数(一)循纲忆知1理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；会求二次函数在闭区间上的最值2能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(二)小题查验1判断正误(1)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是
61、4acb24a()(2)二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(3)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)2(北师大版教材习题改编)二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，对称轴为 x3，与 y轴交于点(0,3)则它的解析式为_答案：y13x22x33已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围为_答案：(，2对应学生用书P23考点一 幂函数的图象与性质(基础送分型考点自主练透)必备知识1幂函数的概念形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，为常数提醒 幂函数
62、中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变量2幂函数的性质(1)幂函数在(0，)上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)；(3)当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；(4)当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减题组练透1幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()解析：选 C 令 f(x)x，则 42，12，f(x)x12.2已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A3 B1C2D1 或 2解析：选
63、 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 适合题意，故选 B.3 (2015 安 徽 安 庆 三 模)若(a 1)13(3 2a)13，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_解析：不等式(a1)1332a0 或 32aa10 或 a1032a.解得 a1 或23a32.答案：(，1)23，32类题通法幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 分区域根据 0，01，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借
64、助其单调性进行比较考点二 求二次函数的解析式(重点保分型考点师生共研)必备知识二次函数解析式的三种表示方法(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标；(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标典题例析已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解：法一(利用一般式)：设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.法
65、二(利用顶点式)：设 f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x21212.m12.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)ax1228.f(2)1，a212281，解得 a4，f(x)4x12284x24x7.法三(利用零点式)：由已知 f(x)10 两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a24a8.解得 a4 或 a0(舍)所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.类题通法二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐
66、标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用零点式演练冲关已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对 xR 恒成立，f(x)的对称轴为 x2.又f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2，f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，即 f(x)x24x
67、3.考点三 二次函数的图象与性质(常考常新型考点多角探明)多角探明二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题 归纳起来常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题.角度一：二次函数的最值问题1已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值解：函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1 或 a2.2设函数 y
68、x22x，x2，a，若函数的最小值为 g(x)，求 g(x)解：函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，x1 不一定在区间2，a内，应进行讨论当21 时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，g(x)a22a，21.角度二：二次函数中恒成立问题3已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，求实数 a 的取值范围解：2ax22x30 在1,1上恒成立当 x0 时，适合；当 x0 时，a321x13216，因为1x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值12，所以 a12.综上，实数 a 的取值范围是
69、，12.角度三：二次函数的零点问题4已知关于 x 的二次函数 f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意 tR，方程 f(x)1 必有实数根；(2)若12t34，求证：函数 f(x)在区间(1,0)及0，12 上各有一个零点证明：(1)f(x)x2(2t1)x12t，f(x)1(x2t)(x1)0，(*)x1 是方程(*)的根，即 f(1)1.因此 x1 是 f(x)1 的实根，即 f(x)1 必有实根(2)当12t34时，f(1)34t0，f(0)12t212t 0，f 12 1412(2t1)12t34t0.又函数 f(x)的图象连续不间断因此 f(x)在区间(1,0)及0，12
70、 上各有一个零点类题通法二次函数图象与性质问题解题策略1对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与 0 的关系2当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况3求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求对应B本课时跟踪检测八一、选择题1(2015湖北孝感调研)函数 f(x)(m2m1)xm 是幂函数，且在 x(0，)上为增函数，则实数 m 的值是()A1 B2C3D1 或 2解析：选 B f(x)(m2m1)xm 是幂函数m2m11m1 或 m2.又 x(0，)
71、上是增函数，所以 m2.2(2015阿克苏 3 月模拟)已知幂函数 f(x)x 的部分对应值如下表，则不等式 f(|x|)2的解集是()x112f(x)122Ax|4x4Bx|0 x4Cx|2x 2Dx|0 x 2解析：选 A 由题意知 22 12，12，f(x)x12，由|x|12 2，得|x|4，故4x4.3(2015洛阳统考)设函数 f(x)x223x60，g(x)f(x)|f(x)|，则 g(1)g(2)g(20)()A56B112C0D38解析：选 B 由二次函数图象的性质得，当 3x20 时，f(x)|f(x)|0，g(1)g(2)g(20)g(1)g(2)112.4(2015北京
72、西城期末)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0,1时，f(x)x2x，则当 x2，1时，f(x)的最小值为()A 116B18C14D0解析：选 A 设 x2，1，则 x20,1，则 f(x2)(x2)2(x2)，又 f(x2)f(x1)12f(x1)4f(x)，f(x)14(x23x2)，当 x32时，取最小值为 116.5(2015吉林松原月考)设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0，则()Af(m1)0Bf(m1)0Cf(m1)0Df(m1)0解析：选 C f(x)的对称轴为 x12，f(0)a0，f(x)的大致图象如图所示由 f(m)0，得
73、1m0，m10，f(m1)f(0)0.6已知函数 f(x)x2ax1，x1，ax2x1，x1，则“2a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 当 a1 时，f(x)x2x1，x1，x2x1，x1，作出图象可知，函数 f(x)在 R 上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数 f(x)在 R 上是单调递增函数，则当 a0 时满足，当 a0 时，a21，a0 且 12a1，解得12a0，即12a0.所以能够推出2a0，故“2a0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要不充分条件二、填空题7二次函数的图
74、象过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_解析：依题意可设 f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a12.f(x)12(x2)21.答案：f(x)12(x2)218对于任意实数 x，函数 f(x)(5a)x26xa5 恒为正值，则 a 的取值范围是_解析：由题意可得5a0，3645aa50，解得4a4.答案：(4,4)9已知幂函数 f(x)x12，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_解析：f(x)x12 1x(x0)，易知 x(0，)时为减函数，又 f(a1)f(102a)，a10，102a0，a1102a，解得a1，a5，a3，3a5.
75、答案：(3,5)10已知函数 f(x)2x2(4m)x4m，g(x)mx，若存在实数 x，使 f(x)与 g(x)均不是正数，则实数 m 的取值范围是_解析：当 m0 时，函数 f(x)2x2(4m)x4m 的对称轴为 x4m41m41，且 f(0)4，直线 g(x)mx 过原点且过二、四象限，不符合题意；当 m0 时，函数 f(x)2x2(4m)x4m 的对称轴 x4m41m41，直线 g(x)mx 过原点且过一、三象限，由题意得0，14m40，f00或 f(0)0，解得 m4.综上所述，m4.答案：4，)三、解答题11已知幂函数 f(x)x(m2m)1(mN*)(1)试确定该函数的定义域，
76、并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2，2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2a)f(a1)的实数 a 的取值范围解：(1)m2mm(m1)(mN*)，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，m2m 为偶数，函数 f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)函数 f(x)的图象经过点(2，2)，22(m2m)1，即 212 2(m2m)1，m2m2，解得 m1 或 m2.又mN*，m1，f(x)x12.又f(2a)f(a1)，2a0，a10，2aa1，解得 1a32，故函数 f(x)的图象经过点(2，2)时，m1.满
77、足条件 f(2a)f(a1)的实数 a 的取值范围为1，32.12已知函数 f(x)ax22ax2b(a0)，若 f(x)在区间2,3上有最大值 5，最小值 2.(1)求 a，b 的值；(2)若 b0 时，f(x)在2,3上为增函数，故f35，f229a6a2b5，4a4a2b2a1，b0.当 a0 时，f(x)在2,3上为减函数，故f32，f259a6a2b2，4a4a2b5a1，b3.(2)b0，b0)的结果为_答案：ab1基础盘查二 有理数指数幂(一)循纲忆知理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(二)小题查验1判断正误(1)分数指数幂 amn 可以理解为mn个 a
78、相乘()(2)(1)24(1)12 1()答案：(1)(2)2(人教 A 版教材习题改编)(1)2 33 1.56 12_.(2)(2a23 b12)(6a12 b13)(3a16 b56)_.答案：(1)6(2)4a基础盘查三 指数函数的图象与性质(一)循纲忆知1理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点2知道指数函数是一类重要的函数模型(二)小题查验1判断正误(1)函数 y32x 与 y2x1 都不是指数函数()(2)若 am0 且 a1)，则 m1)的值域是(0，)()(5)函数 yax1(a0 且 a1)恒过点(1,1)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教
79、A 版教材习题改编)已知 0.2m”或“3指数函数 y(2a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是_答案：(1,2)对应学生用书P25考点一 指数幂的化简与求值(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)幂的有关概念：正分数指数幂：amn n am(a0，m，nN*，且 n1)负分数指数幂：amn 1amn 1n am(a0，m，nN*，且 n1)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sar s(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)提醒 有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0
80、，否则不能用性质来运算题组练透求值与化简：(1)23502221412(0.01)0.5；(2)56a13 b2(3a12b1)(4a23 b3)12；(3)a23 b112a12b136 ab5解：(1)原式114 4912 110012 11423 110116 1101615.(2)原式52a16b3(4a23 b3)1254a16b3(a13 b32)54a12b32.541ab35 ab4ab2.(3)原式a13b12 a12b13a16 b56a1 1 13 2 6 b1 1 52 3 6 1a.类题通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘
81、除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二 指数函数的图象及应用(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)当 a1 时，指数函数的图象“上升”；当 0a1 时，指数函数的图象“下降”(2)指数函数 yax(a0，且 a1)的图象过定点(0,1)，且函数图象经过第一、二象限典题例析1函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是()解析：选 D 法一：当 0a0，且 a
82、1)的图象必过点(1,0)，所以选 D.2(2015衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_解析：曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1答案：1,1类题通法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数 yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解演练冲关1(2
83、015北京模拟)在同一坐标系中，函数 y2x 与 y 12x 的图象之间的关系是()A关于 y 轴对称 B关于 x 轴对称C关于原点对称D关于直线 yx 对称解析：选 A y 12x2x，它与函数 y2x 的图象关于 y 轴对称2若将典例 2 中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线 yb 有两个公共点，求 b的取值范围解：曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)考点三 指数函数的性质及应用(常考常新型考点多角探明)必备知识指数函数的性质(1)定义域是 R；(2)值域是(0，)；(3)过
84、定点(0,1)，即 x0 时，y1；(4)当 a1 时，在 R 上是增函数；当 0a1 时，在 R 上是减函数多角探明高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单的指数方程或不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质.角度一：比较指数式的大小1设 a 3525，b 2535，c 2525，则 a，b，c 的大小关系是_解析：yx25(x0)为增函数，ac.y 25x(xR)为减函数，cb，acb.答案：acb角度二：简单的指数方程或不等式的应用2设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则
85、实数 a 的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)解析：选 C 当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 12a71，即 12a8，即 12a 123，因为 0121，所以 a3，此时3a0；当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1，所以 0a1.故 a 的取值范围是(3,1)，故选 C.角度三：探究指数型函数的性质3已知函数 f(x)13ax24x3.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解：(1)当 a1 时，f(x)13x24x3，令 g(x)x24x3，由于
86、g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y 13t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x)ax24x3，f(x)13g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有a0，3a4a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 y 13g(x)的值域为(0，)应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的
87、值为 0.类题通法指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论对应A本课时跟踪检测九一、选择题1函数 f(x)2|x1|的图象是()解析：选 B f(x)2x1，x1，12x1，xbcBacbCcabDbca解析：选 A 由 0.20.6,0.40.40.6，即 bc；因为
88、a20.21，b0.40.2b.综上，abc.4(2015太原一模)函数 y2x2x 是()A奇函数，在区间(0，)上单调递增B奇函数，在区间(0，)上单调递减C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减解析：选 A 令 f(x)2x2x，则 f(x)2x2xf(x)，所以函数 f(x)是奇函数，排除C，D.又函数 y2x，y2x 均是 R 上的增函数，故 y2x2x 在 R 上为增函数5(2015丽水模拟)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(2,1)B(4,3)C(1,2)D(3,4)解析：选 C 原不等式变形为 m2m
89、 12x，函数 y 12x 在(，1上是减函数，12x 1212，当 x(，1时，m2m 12x 恒成立等价于 m2m2，解得1m2.6(2015济宁三模)已知函数 f(x)|2x1|，abc 且 f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2cD2a2c2解析：选 D 作出函数 f(x)|2x1|的图象，如图，abc，且 f(a)f(c)f(b)，结合图象知00 的解集是(1，)，由 1a2x0，可得 2xa，故 xlog2a，由 log2a1 得 a2.答案：28(2015南昌一模)函数 y823x(x0)的值域是_解析：x0，x0，3
90、x3，023x238，0823x0，则 loga(MN)logaMlogaN()(3)logaxlogayloga(xy)()答案：(1)(2)(3)2(人教 A 版教材习题改编)计算：(1)log35log315_.(2)log23log34log45log52_.答案：(1)1(2)1基础盘查二 对数函数的图象与性质(一)循纲忆知1理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点2知道对数函数是一类重要的函数模型3了解指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0 且 a1)(二)小题查验1判断正误(1)函数 ylog2x 及 ylog 133x 都是对数函数()(
91、2)对数函数 ylogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数()(3)函数 yln 1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材习题改编)函数 y log0.54x3的定义域为_答案：34，13函数 yloga(3x2)(a0，a1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是_答案：(1,0)4已知 a0，且 a1，函数 yax 与 yloga(x)的图象可能是_(填序号)答案：对应学生用书P28考点一 对数式的
92、化简与求值(基础送分型考点自主练透)必备知识对数的运算(1)loga(MN)logaMlogaN(a0，且 a1，M0，N0)；(2)logaMNlogaMlogaN(a0，且 a1，M0，N0)；(3)logaMnnlogaM(a0，且 a1，M0，nR)；(4)对数换底公式：logbNlogaNlogab(a0，a1，b0，b1，N0)；(5)对数恒等式：alogaNN(a0，a1，N0)提醒 在应用 logaMnnlogaM 时，易忽视 M 0.题组练透1(2013陕西高考)设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是()Alogablogcblogca Blogab
93、logcalogcbCloga(bc)logablogacDloga(bc)logablogac解析：选 B 利用对数的换底公式进行验证，logablogcalogcblogcalogcalogcb，则 B 对2计算下列各题：(1)lg37lg 70lg 3 lg 32lg 91；(2)log34 273 log5421log 102(3 3)23 7log72解：(1)原式lg 37703 lg 322lg 31lg 10 lg 3121|lg 31|lg 3.(2)原式log33343log52log210(332)23 7log7234log33log33 log5(1032)341 l
94、og5514.类题通法对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点二 对数函数的图象及应用(题点多变型考点全面发掘)必备知识对数函数图象的特点(1)当 a1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 0a0，且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限一题多变典型母题 当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f
95、12 g 12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1.法二：0 x12，14x1，0a1，排除选项 C，D；取 a12，x12，则有 412 2，log 12121，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.答案 B题点发散 1 若本例变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12 恒成立，求实数 a 的取值范围解：由 x2logax0 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12 时，不等式 x21 时，显然不成立；当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12 上恒成立，需 f1 12 f2 12，所以有 122loga12，解
96、得 a 116，116a1.即实数 a 的取值范围是116，1.题点发散 2 若本例变为：当 0 x14时，xlogax，求实数 a 的取值范围解：若 xlogax 在 x0，14 成立，则 0a1，且 y x的图象在 ylogax 图象的下方，如图所示，由图象知14loga14，0a14，解得 116a1.即数 a 的取值范围是116，1.题点发散 3 若本例变为：已知不等式 loga(2a21)loga(3a)0 成立，求实数 a 的取值范围解：原不等式0a3a1 或a1，2a213a1，解不等式组得13a1 时，在(0，)上是增函数；当 0a0 得1x0，3a1a1，解得 a12.故存在
97、实数 a12，使 f(x)的最小值为 0.类题通法解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质：(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误演练冲关1已知 a312，blog 1312，clog213，则()Aabc BbcaCcbaDbac解析：选 A a312 1,0blog 1312log321，clog213bc，故选 A.2已知函数 f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为
98、 loga26，则a 的值为()A.12B.14C2D4解析：选 C 显然函数 yax 与 ylogax 在1,2上的单调性相同，因此函数 f(x)axlogax在1,2上的最大值与最小值之和为 f(1)f(2)(aloga1)(a2loga2)aa2loga2loga26，故 aa26，解得 a2 或 a3(舍去)故选 C.3若 f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则 a 的取值范围为()A1,2)B1,2B1，)D2，)解析：选 A 令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有g10，a1，即2a0，a1，解得 1a1，1x，
99、x1.当 x1 时，函数无意义，故排除 B、D.又当 x2 或 0 时，y0，所以 A 项符合题意5(2015长春质检)已知函数 f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Bf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数 f(x)loga|x|为偶函数，所以 f(2)f(2)，所以 f(1)f(2)f(3)6下列区间中，函数 f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是()A(，1 B.1，43C.0，32D1,2)解析：选 D 当 2x1，即 x1 时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数 f(
100、x)在(，1上单调递减当 02x1，即 1x0，2x，x0，则 f(f(4)flog216_.解析：f(f(4)f(24)log4162，log2160 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集解：(1)要使函数 f(x)有意义则x10，1x0，解得1x1 时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以 f(x)0 x11x1，解得 0 x0 的 x 的解集是(0,1)12设 x2,8时，函数 f(x)12loga(ax)loga(a2x)(a0，且 a1)的最大值是 1，最小值是18，求 a 的值解：由
101、题意知 f(x)12(logax1)(logax2)12(log2ax3logax2)12logax32218.当 f(x)取最小值18时，logax32.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得若12loga2322181，则 a213，此时 f(x)取得最小值时，x(213)32 22,8，舍去若12loga8322181，则 a12，此时 f(x)取得最小值时，x 12322 22,8，符合题意，a12.第八节函数与方程对应学生用书P30基础盘查一 函数的零点(一)循纲忆知1了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的
102、联系2掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数(二)小题查验1判断正误(1)函数的零点是函数 yf(x)与 x 轴的交点()(2)若 f(x)在(a，b)上有零点，一定有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系(一)循纲忆知结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(二)小题查验1判断正误(1)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点()(2)已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是(2,0)()答案：(1)(2)2函数 f(x)(x22)(x23x2)的零点为_答案：2，2，1,2对应学生用书P30 考点一 函数零
103、点所在区间的判定(基础送分型考点自主练透)必备知识零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的根提醒 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数题组练透1已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)解析：选 C 因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)32log24120，所以函数 f(x)的零点所在区间为(
104、2,4)2函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解析：选 C 由条件可知 f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即 a(a3)0，解得 0a3.3函数 f(x)x23x18 在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0的零点个数是_解析：当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点当 x0 时，f(x)21x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数又因为 f(2)2ln 20，f(3)ln 30
105、，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为2.答案：2类题通法判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程 f(x)0 可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数演练冲关1(2015莱芜一模)已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(
106、x)的零点为()A.12，0 B2,0C.12D0解析：选 D 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0.2(2015北京丰台二模)函数 f(x)x12 12x 的零点个数为()A0B1C2D3解析：选 B 令 f(x)0，得 x12 12x，在平面直角坐标系中分别画出函数 yx12 与 y 12x 的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选 B.考点三 函数零点的应用(题点多变型考点全面发掘)一题多变典型母题 若函数 f(x)xln xa 有两个零点，则实数
107、a 的取值范围为_解析 令 g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1，令 g(x)0，即ln x1，可解得 0 x0，即 ln x1，可解得 x1e，所以，当 0 x1e时，函数 g(x)单调递增，由此可知当 x1e时，g(x)min1e.在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得1ea0.答案 1e，0 题 点 发 散 1 若 本 例 中 f(x)有 且 只 有 一 个 零 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_解析：由本例解析知 a1e或 a0.答案：0，)1e题点发散 2 若函数变为 f(x
108、)ln xxa，其他条件不变，则 a 的取值范围是_解析：函数 f(x)ln xxa 的零点，即为关于 x 的方程 ln xxa0 的实根，将方程 ln xxa0，化为方程 ln xxa，令 y1ln x，y2xa，由导数知识可知，直线 y2xa 与曲线 y1ln x 相切时有 a1，所以关于 x 的方程 ln xxa0 有两个不同的实根，实数 a 的取值范围是(，1)答案：(，1)题点发散 3 若函数变为 f(x)xln xa，x0，x22xa，x0，若函数 yf(x)有三个零点，则实数 a 的取值范围是_解析：令 g(x)xln x，x0，x22x，x0，h(x)a，则问题转化为 g(x)
109、与 h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图由图象知1ea1.答案：1e，1类题通法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解对应A本课时跟踪检测十一一、选择题1(2015温州十校联考)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选 B 法一：f(1)ln 11212，f(1)f(2)0
110、，函数 f(x)ln xx2 的图象是连续的，函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)2设 f(x)x3bxc 是1,1上的增函数，且 f12 f 12 0，则方程 f(x)0 在1,1内()A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根D没有实数根解析：选 C 由 f(x)在1,1上是增函数，且 f12 f 12 0，知 f(x)在12，12 上有唯一零点，所以方程 f(x)0 在1,1上有唯一实数根3(2015河北质
111、检)若 f(x)是奇函数，且 x0 是 yf(x)ex 的一个零点，则x0 一定是下列哪个函数的零点()Ayf(x)ex1Byf(x)ex1Cyexf(x)1Dyexf(x)1解析：选 C 由已知可得 f(x0)ex0，则 ex0f(x0)1，ex0f(x0)1，故x0 一定是 yexf(x)1 的零点4(2015大连一模)f(x)是 R 上的偶函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5x|的零点个数为()A4B5C8D10解析：选 B 由零点的定义可得 f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有 5 个交点，所以共有 5 个零点5已知函数 f(
112、x)x2bxa 的图象如图所示，则函数 g(x)lnxf(x)的零点所在的区间是()A.14，12 B.12，1C(1,2)D(2,3)解析：选 B 由题图可知 f(x)的对称轴 xb212，1，则 1b2，易知 g(x)ln x2xb，则 g 14 2ln 212b0，g 12 ln 21b0，g(1)2b0，故 g(x)的零点所在的区间是12，1.6(2015湖北八校联考)已知 xR，符号x表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)xx a(x0)有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是()A.34，45 43，32B.34，45 43，32C.12，23 54，32D.12，23 5
113、4，32解析：选 A 当 0 x1 时，f(x)xx aa，1x2 时，f(x)xx a1xa，2x0，a302a30，或a0，a30，即a3或a32.2a30，答案：a3 或 a328已知关于 x 的方程 x2mx60 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数 m 的取值范围是_解析：设函数 f(x)x2mx6，则根据条件有 f(2)0，即 42m60，解得 m1.答案：(，1)9若 f(x)x2x1，x2或x1，1，1x2，则函数 g(x)f(x)x 的零点为_解析：求函数 g(x)f(x)x 的零点，即求 f(x)x 的根，x2或x1，x2x1x，或1x2，1x.解得 x1 2或
114、x1.g(x)的零点为 1 2，1.答案：1 2，110已知 0a1，k0，函数 f(x)ax，x0，kx1，x0 和 k0 作出函数 f(x)的图象当0k1 或 k0 时，没有交点，故当 0k1 时满足题意答案：(0,1)三、解答题11已知函数 f(x)x3x2x214.证明：存在 x00，12，使 f(x0)x0.证明：令 g(x)f(x)x.g(0)14，g 12 f 12 1218，g(0)g 12 1)的增长速度会超过并远远大于 yx(0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(4)幂函数增长比直线增长更快()(5)
115、指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 yekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个答案：2ln 2 1 024基础盘查二 常见的几种函数模型(一)循纲忆知了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(二)小题查验1判断正误(1)不存在 x0，使 ax0 xa0logax0()(2)美缘公司 2013 年新上市的一种化妆品，由于脱销，
116、在 2014 年曾提价 25%,2015 年想要恢复成原价，则应降价 25%()(3)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)1，12t30.25，解得 116t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5 1167916(小时)类题通法求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题提醒 解决实际问题时要注意自变量的取值范围演练
117、冲关里氏震级 M 的计算公式为 Mlg Alg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的_倍解析：根据题意，由 lg 1 000lg 0.0016 得此次地震的震级为 6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震的最大振幅为 A9，则 lg A9lg 0.0019，解得 A9106，同理 5 级地震的最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍
118、答案：6 10 000考点三 构建函数模型解决实际问题(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题 归纳起来常见的命题角度有：(1)构建二次函数模型；(2)构建分段函数模型；(3)构建“对勾”函数 f(x)xax(a0)模型；(4)构建高次函数或复杂的分式结构函数模型.角度一：构建二次函数模型1经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数，且日销售量近似地满足 g(t)13t1123(1t
119、100，tN)前 40 天价格为 f(t)14t22(1t40，tN)，后 60 天价格为 f(t)12t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值解：当 1t40，tN 时，S(t)g(t)f(t)13t1123 14t22 112t22t112223 112(t12)22 5003，所以 768S(40)S(t)S(12)2 5003.当 41t100，tN 时，S(t)g(t)f(t)13t1123 12t5216t236t11252316(t108)283，所以 8S(100)S(t)S(41)1 4912.所以，S(t)的最大值为2 5003，最小值为
120、 8.角度二：构建分段函数模型2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/
121、小时)解：(1)由题意：当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb.由已知得200ab0，20ab60，解得a13，b2003，故函数 v(x)的表达式为v(x)60，0 x20，200 x3，20 x200.(2)依题意并由(1)可得f(x)60 x，0 x20，x200 x3，20 x200.当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x200 x2210 0003.当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立所以当 x100 时，f(x)在区间(20
122、,200上取得最大值综上，当 x100 时，f(x)在区间0,200上取得最大值 f(x)max10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/小时角度三：构建“对勾”函数 f(x)xax(a0)模型3某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价为 85%
123、)问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该场 x(x N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为 y1.饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 2000.036(元)，x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)从而有 y11x(3x23x300)2001.8300 x 3x357417，当且仅当300 x 3x，即 x10 时，y1 有最小值故该场 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少(2)设该场利用此优惠条件，每隔 x 天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 y2，则 y21x(3x23x300
124、)2001.80.85300 x 3x303(x25)令 f(x)300 x 3x(x25)，f(x)300 x2 3，当 x25 时，f(x)0，即函数 f(x)与 y2 在 x25 时是增函数当 x25 时，y2 取得最小值，最小值为 390.3900)当 x 4x0，即 x4 时，L取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大答案：49某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达 7 0
125、00 万元，则 x 的最小值是_解析：七月份的销售额为 500(1x%)，八月份的销售额为 500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是 3 8605002 500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即 25(1x%)25(1x%)266，令 t1x%，则 25t225t660，解得 t65或者 t115(舍去)，故 1x%65，解得 x20.答案：2010一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 yaeb t(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙
126、子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：当 t0 时，ya；当 t8 时，yae8b12a，故 e8b12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yaebt18a，ebt18(e8b)3e24b，则 t24，所以再经过 16 min 容器内沙子只有开始时的八分之一答案：16三、解答题11(2015湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE4 米，CD6 米为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上(1)设 MPx 米，PNy 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域；
127、(2)求矩形 BNPM 面积的最大值解：(1)作 PQAF 于 Q，所以 PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以EQPQEFFD，即x48y42.所以 y12x10，定义域为x|4x8(2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，则 S(x)xyx10 x2 12(x10)250，S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x10，所以当 x4,8时，S(x)单调递增所以当 x8 米时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米12一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环
128、境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1)则a(1x)1012a，即(1x)1012，解得 x1 12110.即每年砍伐面积的百分比为 1 12110.(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 22，则a(1x)m 22 a，即 1210m 1212，m1012，解得 m5.故到今年为止，已砍伐了 5 年(3)设从今年开始，最多还能砍伐 n 年，则 n 年后剩余面积为 22 a(1x)n.令 22 a(1x)n1
129、4a，即(1x)n 24，1210n 1232，n1032，解得 n15.故今后最多还能砍伐 15 年见课时跟踪检测B本命题点一 基本初等函数难度：中、低命题指数：题型：选择题、填空题1(2014山东高考)已知实数 x，y 满足 axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x211y21Bln(x21)ln(y21)Csin xsin yDx3y3解析：选 D 因为 0a1，axay，所以 xy，采用赋值法判断，A 中，当 x1，y0时，121，A 不成立B 中，当 x0，y1 时，ln 1 ln 2，B 不成立C 中，当 x0，y 时，sin xsin y0，C 不成立D 中，因为函
130、数 yx3 在 R 上是增函数，故选 D.2(2014安微高考)设 alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac BcabC.cbaDacalog371，b21.12，c0.83.11，所以 ca1 时，函数 f(x)xa(x0)单调递增，函数 g(x)logax 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知 C 错；当 0a0)单调递增，函数 g(x)logax 单调递减，且过点(1,0)，排除 A，又由幂函数的图象性质可知 B 错，因此选 D.4(2013浙江高考)已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,
131、2ab0Daf(1)且 f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数 f(x)在(，2上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知 a0，故选 A.5.(2014安微高考)168134log354log345_.解析：原式 23434log35445 233278.答案：2786(2014重庆高考)函数 f(x)log2 xlog2(2x)的最小值为_解析：依题意得 f(x)12log2x(22log2x)(log2x)2log2xlog2x1221414，当且仅当 log2x12，即 x 12时等号成立，因此函数 f(x)的最小值为14.答案：147(2014湖南高考)若 f(x)ln(e3x1)ax 是
132、偶函数，则 a_.解析：函数 f(x)ln(e3x1)ax 为偶函数，故 f(x)f(x)，即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得 ln 1e3xe3xe6x2axln e2ax，即 1e3xe3xe6xe2ax，整理得 e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，解得 a32.答案：328(2014天津高考)已知函数 f(x)|x23x|，xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为_解析：画出函数 f(x)|x23x|的大致图象，如图，令 g(x)a|x1|，则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象有且仅有 4 个不同的交
133、点，显然 a0.联立yx23x，ya1x消去 y，得 x2(3a)xa0，由 0，解得 a9；联立yx23x，ya1x消去 y，得 x2(3a)xa0，由 0，解得 a1 或 a9.综上，实数 a 的取值范围为(0,1)(9，)答案：(0,1)(9，)命题点二 函数与方程难度：高、中命题指数：题型：选择题、填空题1(2014湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3B3，1,1,3C2 7，1,3D2 7，1,3解析：选 D 当 x0 时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)x3 的根，由 x23xx
134、3，解得 x1 或 3；当 x0，f(2)3log2220，f(4)32log24120，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)3(2014江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0,3)时，f(x)x22x12.若函数 yf(x)a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_解析：函数 yf(x)a 在区间3,4上有互不相同的 10 个零点，即函数 yf(x)，x3,4与 ya 的图象有 10 个不同交点作出函数 yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)12，观察图象可得 0a1
135、2.答案：0，12命题点三 函数模型及其应用难度：高、中命题指数：题型：选择题、填空题1(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.pq2B.p1q112C.pqD.p1q11解析：选 D 设年平均增长率为 x，原生产总值为 a，则(1p)(1q)aa(1x)2，解得 x 1p1q1.2(2014陕西高考)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A.y12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xD.y1
136、4x312x22x解析：选 A 法一：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为 yx，在(2,0)处的切线方程为 y3x6，以此对选项进行检验A 选项，y12x312x2x，显然过两个定点，又 y32x2x1，则 y|x01，y|x23，故条件都满足，又 B，C，D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线 yx，y3x6 相切，故选A.法二：设该三次函数为 f(x)ax3bx2cxd，则 f(x)3ax22bxc，由题设有f00d0，f208a4b2cd0，f01c1，f2312a4bc3，解得 a12，b12，c1，d0.故该函数的
137、解析式为 y12x312x2x.第十节变化率与导数、导数的计算对应学生用书P35基础盘查一 导数的概念(一)循纲忆知1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数(二)小题查验1判断正误(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)f(x0)是导函数 f(x)在 xx0 处的函数值()(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()答案：(1)(2)(3)(4)2曲线 ysin xex 在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y
138、20C2xy10D3xy10解析：选 C ysin xex，ycos xex，y|x0cos 0e02，曲线 ysin xex 在点(0,1)处的切线方程为 y12(x0)，即 2xy10.故选 C.基础盘查二 基本初等函数的导数公式(一)循纲忆知 能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数(二)小题查验判断正误(1)sin 3 cos 3()(2)若(ln x)1x，则 1x ln x()(3)(3x)3xln 3()答案：(1)(2)(3)基础盘查三 导数四则运算法则(一)循纲忆知能利用导数的四则运算法则求解导函数(二)小题查验1判断正误(1)excos 4 ex()(2)函数 f(x)
139、sin(x)的导数为 f(x)cos x()答案：(1)(2)2(人教 A 版教材习题改编)求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)yx31sin x.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y3x2sin xx31cos xsin2x对应学生用书P35 考点一 导数的运算(基础送分型考点自主练透)必备知识1基本初等函数的导数公式(x)x1，(sin x)cos x，(cos x)sin x，(ax)axln a，(ex)ex，(logax)1xln a，(ln x)1x.2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f
140、xgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex；(4)y11 x11 x.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yln x1x(ln x)1x 1x1x2.(3)ycos xexcos xexcos xexex2sin xcos xex.(4)y11 x11 x 21x，y21x 21x1x221x2.类题通法函数求导的遵循原则(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(2)有的函数虽然表面
141、形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量考点二 导数的几何意义(常考常新型考点多角探明)必备知识函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)提醒 求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的不同多角探明导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题.归纳起来常见的
142、命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值.角度一：求切线方程1(2015云南一检)函数 f(x)ln x2xx的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30Dxy10解析：选 C f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故该切线方程为 y(2)x1，即 xy30.角度二：求切点坐标2(2014江西高考)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_解析：设 P(x0，y0)，yxln x，yln xx1x1ln xk1ln x0.又 k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点 P 的坐标是(e，e)
143、答案：(e，e)角度三：求参数的值3已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 的值为()A1B3C4D2解析：选 D f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()答案：(1)(2)2(人教 A 版教材习题改编
144、)函数 f(x)exx 的减区间为_答案：(，0)3已知 f(x)x3ax 在1，)上是增函数，则 a 的最大值是_答案：3基础盘查二 函数的极值与导数(一)循纲忆知了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)(二)小题查验1判断正误(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()答案：(1)(2)(3)2(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)13x34x4 的极大值为_答案：283基础盘查三 函数的最值与导数(一)循
145、纲忆知会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)(二)小题查验1判断正误(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数 f(x)1x在区间1,1上有最值()答案：(1)(2)(3)2(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)13x34x4 在0,3的最小值为_答案：43 第一课时 导数与函数的单调性对应学生用书P37考点一 判断或证明函数的单调性(重点保分型考点师生共研)必备知识函数的单调性在区间(a，b)内可导函数 f(x)，f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)
146、在(a，b)上为减函数典题例析(2014大纲全国卷节选)函数 f(x)ln(x1)axxa(a1)讨论 f(x)的单调性解：f(x)的定义域为(1，)，f(x)xxa22ax1xa2.当 1a0，f(x)在(1，a22a)内是增函数；若 x(a22a,0)，则 f(x)0，f(x)在(0，)内是增函数当 a2 时，f(x)0，f(x)0 成立当且仅当 x0，f(x)在(1，)内是增函数当 a2 时，若 x(1,0)，则 f(x)0，f(x)在(1,0)内是增函数；若 x(0，a22a)，则 f(x)0，f(x)在(a22a，)内是增函数类题通法导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步
147、骤(1)求 f(x)；(2)确认 f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0 时为增函数；f(x)0，当 x(ln 2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递减考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点师生共研)典题例析(2014重庆高考节选)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线
148、垂直于直线 y12x知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2，令 f(x)0，解得 x1 或 x5，因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数类题通法求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数 yf(x)的定义域；(2)求导数 yf(x)；(3)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间方法二(1)确定函数 yf(x)的定义域；(2)求导数 yf(x)，令 f(x
149、)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定 f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性演练冲关已知函数 f(x)ln xax(aR)求函数 f(x)的单调区间解：函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)1xa，当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，)当 a0 时，令 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x1a时，f(x)1axx0；当 x1a时，f(x)1axx0
150、，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，.考点三 已知函数的单调性求参数的范围(题点多变型考点全面发掘)一题多变典型母题已知函数 f(x)x3ax1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围解(1)f(x)3x2a.当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，)上为增函数当 a0 时，令 3x2a0 得 x 3a3；当 x 3a3 或 x 3a3 时，f(x)0；当 3a3 x 3a3 时，f(x)0.因此 f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3上为减函数.综上可知，当 a0 时，f(x)在 R 上
151、为增函数；当 a0 时，f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3上为减函数(2)因为 f(x)在(，)上是增函数，所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立，即 a3x2 对 xR 恒成立因为 3x20，所以只需 a0.又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0，即 a 的取值范围为(，0.题点发散 1 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围解：因为 f(x)3x3a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立，所以 a3x2 在(
152、1，)上恒成立，所以 a3，即 a 的取值范围为(，3.题点发散 2 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围解：由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在(1,1)上恒成立因为1x1，所以 3x23，所以 a3.即当 a 的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数题点发散 3 函数 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的值解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为 3a3，3a3，3a3 1，即 a3.题点发散 4 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围解：f(
153、x)x3ax1，f(x)3x2a.由 f(x)0，得 x 3a3(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调，0 3a3 1，得 0a3，即 a 的取值范围为(0,3)类题通法已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解提醒 f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解对应B本课时跟踪检测十四A
154、 卷夯基保分一、选择题1(2015苏中八校学情调查)函数 f(x)xln x 的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)解析：选 A 函数的定义域是(0，)，且 f(x)11xx1x，令 f(x)0，解得 0 x1，所以单调递减区间是(0,1)2函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)解析：选 D f(x)(x3)ex，则 f(x)ex(x2)，令 f(x)0，得 x2.f(x)的单调递增区间为(2，)3(2015长春调研)已知函数 f(x)12x3ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的()A充分不必
155、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A f(x)32x2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件4已知 a0，函数 f(x)(x22ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是()A.0，34B.12，34C.34，D.0，12解析：选 C f(x)(2x2a)ex(x22ax)e2x2(22a)x2aex，由题意当 x1,1时，f(x)0 恒成立，即 x2(22a)x2a0 恒成立令 g(x)x2(22a)x2a，则有g10，g10，即1222a12a0，1222a2a0，解得 a34
156、.5(2015洛阳统考)已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且当 x2，2 时，f(x)exsin x，则()Af(1)f(2)f(3)Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1)Df(3)f(1)f(2)解析：选 D 由 f(x)f(x)，得 f(2)f(2)，f(3)f(3)，由 f(x)exsin x 得函数在2，2 上单调递增，又23120，所以 f(x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增9函数 f(x)sin x2cos x的单调递增区间是_解析：由导函数 f(x)2cos xcos xsin xsin x2cos x2 2cos x12cos x20，得 cos x
157、12，所以 2k23 x2k23(kZ)，即函数 f(x)的单调递增区间是2k23，2k23(kZ)答案：2k23，2k23(kZ)10(2015成都一诊)已知函数 f(x)3xa 2x2ln x(a0)若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a 的取值范围是_解析：f(x)3a4x1x，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，即 f(x)3a4x1x0 或 f(x)3a4x1x0 在1,2上恒成立，即3a4x1x或3a4x1x在1,2上恒成立令 h(x)4x1x，则 h(x)在1,2上单调递增，所以3ah(2)或3ah(1)，即3a152 或3a3，又 a0，所以 0a25或a1.答案：0，
158、25 1，)三、解答题11(2015武汉武昌区联考)已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间解：(1)由题意得 f(x)1xln xkex，又 f(1)1ke 0，故 k1.(2)由(1)知，f(x)1xln x1ex.设 h(x)1xln x1(x0)，则 h(x)1x21x0，即 h(x)在(0，)上是减函数由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0；当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1
159、)，单调递减区间是(1，)12(2015沈阳质检)已知函数 f(x)ln x，g(x)12axb.(1)若 f(x)与 g(x)在 x1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若(x)mx1x1 f(x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围解：(1)由已知得 f(x)1x，f(1)112a，a2.又g(1)012ab，b1，g(x)x1.(2)(x)mx1x1 f(x)mx1x1 ln x 在1，)上是减函数(x)x22m2x1xx120 在1，)上恒成立即 x2(2m2)x10 在1，)上恒成立，则 2m2x1x，x1，)，x1x2，)，2m22，m2.故数 m 的取值范围是(，2B 卷
160、增分提能1设函数 f(x)12x2exxex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若当 x2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)若 x0，则 1ex0，所以 f(x)0；若 x0，则 1ex0，所以 f(x)0；若 x0，则 f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知 f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)2e2.当 m0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，
161、求实数 a 的取值范围解：(1)函数的定义域为(，)，f(x)x2axb，由题意得f01，f00，即c1，b0.(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，a)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立，即 x(2，1)时，a0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值提醒 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点
162、，即f(x0)0 是可导函数 f(x)在 xx0 处取得极值的必要不充分条件例如函数 yx3 在 x0 处有 y0，但 x0 不是极值点多角探明函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数.角度一：知图判断函数极值1.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)
163、有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：选 D 由题图可知，当 x0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值角度二：已知函数求极值2设 f(x)x3ax2bx1 的导数 f(x)满足 f(1)2a，f(2)b，其中常数 a，bR.(1)求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的极值解：(1)由于 f(x)3x22axb，则 f(1)32ab2a，解得 b3；f(2)124abb，解
164、得 a32.所以 f(x)x332x23x1，f(x)3x23x3，于是有 f(1)52，f(1)3，故曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y52 3(x1)，即 6x2y10.(2)由(1)知 g(x)(3x23x3)ex，则 g(x)(3x29x)ex，令 g(x)0 得 x0 或 x3，于是函数 g(x)在(，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，)上单调递减所以函数 g(x)在 x0 处取得极小值 g(0)3，在 x3 处取得极大值 g(3)15e3.角度三：已知极值求参数3设 f(x)ln(1x)xax2，若 f(x)在 x1 处取得极值，则 a 的值为_解析
165、：由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且 f(x)11x2ax12ax22a1x1x，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得 a14，又当 a14时，f(x)12x212x1x 12xx11x，当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0，所以 f(1)是函数 f(x)的极小值，所以 a14.答案：14类题通法利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题(重点保分型考点师生共研)必备知识函数的最值(1)在闭区间a，b 上连续的函数 f(x)在a，b 上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b 上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数
166、f(x)在a，b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值提醒函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念典题例析(2015洛阳统考)已知函数 f(x)1xx kln x，k1e，求函数 f(x)在1e，e 上的最大值和最小值解：因 f(x)1xx kln x，f(x)x1xx2kxkx1x2.若 k0，则 f(x)1x2在1e，e 上恒有 f(x)0，f(x)在1e，e 上单调递减f(x)minf(e)1ee，f(x)maxf 1e e1.若 k0，f(x)kx1x2kx1kx2.若 k0，则在1e，e 上恒有kx1kx20，由 ke，则 x1k0，kx1kx20，
167、f(x)在1e，e 上单调递减f(x)minf(e)1ee kln e1ek1，f(x)maxf 1e ek1.综上，当 k0 时，f(x)min1ee，f(x)maxe1；当 k0 且 k0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解：(1)f(x)ax2bx，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f1a2b0，f1b12，解得a1，b12.(2)由(1)得 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 10)的导函数 yf(x)的
168、两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解：(1)f(x)2axbexax2bxcexex2ax22abxbcex，令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点，且 f(x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以3x0，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.类题通法求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)
169、上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值演练冲关已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x23时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f 23 0，可得 4a3b40，由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4
170、，得 c5.(2)由(1)可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解得 x12，x223.当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)22，232323，11f(x)00f(x)8 13 9527 4所以 yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527.对应A本课时跟踪检测十五A 卷夯基保分一、选择题1当函数 yx2x 取极小值时，x()A.1ln 2 B 1ln 2Cln 2Dln 2解析：选 B 令 y2xx2xln 20，x 1ln 2.2(2015济宁一模)函数 f(x)12x2ln x 的最小值为()A.12B1C
171、0D不存在解析：选 A f(x)x1xx21x，且 x0.令 f(x)0，得 x1;令 f(x)0，得 0 x0，f(1)0，不满足 f(1)f(1)0.5已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f(x)ln xaxa12，当 x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于()A.14B.13C.12D1解析：选 D f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当 x(0,2)时，f(x)1xa，令 f(x)0 得 x1a，又 a12，01a2.当 0 x0，f(x)在0，1a 上单调递增；当x1a时，f(x)0，f(x)在1a，2 上单调递减，f(x)maxf 1a
172、 ln1aa1a1，解得 a1.6(2015山东日照月考)如果函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数 yf(x)在区间3，12 内单调递增；函数 yf(x)在区间12，3 内单调递减；函数 yf(x)在区间()4，5 内单调递增；当 x2 时，函数 yf(x)有极小值；当 x12时，函数 yf(x)有极大值则上述判断中正确的是()ABCD解析：选 D 当 x(3，2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(2,3)时，f(x)0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减区间是_解析：令 f(x)3x23a0，得 x a，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况
173、如下表：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值 极小值 从而 a33a ab6，a33a ab2，解得a1，b4.所以 f(x)的单调递减区间是(1,1)答案：(1,1)10已知 f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由 f(x)0，得 1x0，得 x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又 ab0，y 极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c 均大于零，或者 a0，b0.又 x1，x3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况
174、不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0.正确结论的序号是.答案：三、解答题11已知函数 f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)由 f(x)x1aex，得 f(x)1aex.又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，得 f(1)0，即 1ae0，解得 ae.(2)f(x)1aex，当 a0 时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln a.x(，ln a)时，f(x)0
175、，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值12(2015衡水中学二调)已知函数 f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a 为实数)(1)当 a5 时，求函数 yg(x)在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值解：(1)当 a5 时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又 g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为 g(1)
176、4e.所以切线方程为：ye4e(x1)，即 y4ex3e.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，1e1e1e，f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当 t1e时，在区间t，t2 上 f(x)为增函数，所以 f(x)minf(t)tln t.当 0tf(x)；(2)若 f(x)有两个极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)2axex，令 f(x)f(x)ax(x2)0.当 a0 时，无解；当 a0 时，解集为x|x2；当 a0 时，解集为x|0 x2(2)设 g(x)f(x)2axex，则 x1
177、，x2 是方程 g(x)0 的两个根g(x)2aex，当 a0 时，g(x)0 时，由 g(x)0，得 xln 2a，当 x(，ln 2a)时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x(ln 2a，)时，g(x)0 时，方程 g(x)0 才有两个根，g(x)maxg(ln 2a)2aln 2a2a0，得 ae2.故实数 a 的取值范围是e2，.2(2014江西高考)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.则 f(x)25x2x2x.由 f(x)0 得 0 x2.故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)f(x)10 xa2xa2 x，a0，由 f(x)0 得 x a1
178、0或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(2xa)2 x0，且 fa2 0.当a21 时，即2a0 时，f(x)在1,4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当 1a24 时，即8a4 时，即 a8 时，f(x)在1,4上的最小值可能在 x1 或 x4 处取得，而 f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当 a10 时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为 f(4)8，符合题意综上有，a10.
179、3(2015云南第一次检测)已知 f(x)ex(x3mx22x2)(1)假设 m2，求 f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数 m，使 f(x)在2，1 上单调递增？如果存在，求 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)当 m2 时，f(x)ex(x32x22x2)，其定义域为(，)则 f(x)ex(x32x22x2)ex(3x24x2)xex(x2x6)(x3)x(x2)ex，当 x(，3)或 x(0,2)时，f(x)0;f(3)f(0)f(2)0，f(x)在(，3)上单调递减，在(3,0)上单调递增；在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，当 x3 或 x2 时，f(x
180、)取得极小值；当 x0 时，f(x)取得极大值，f(x)极小值f(3)37e3，f(x)极小值f(2)2e2，f(x)极大值f(0)2.(2)f(x)ex(x3mx22x2)ex(3x22mx2)xexx2m3x2m2.f(x)在2，1 上单调递增，当 x2，1 时，f(x)0.又当 x2，1 时，xex0，当 x2，1 时，x2(m3)x2m20，f2222m32m20，f112m32m20，解得 m4，当 m(，4 时，f(x)在2，1 上单调递增第三课时 导数与函数的综合问题对应学生用书P41 考点一 利用导数研究生活中的优化问题(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013重庆高考)某村
181、庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意 200rh160r212 000，所以
182、h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因为 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各
183、量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答演练冲关某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(
184、1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
185、考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根(重点保分型考点师生共研)典题例析(2014新课标全国卷)已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)没有实根综上，g(x)0 在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx
186、2 只有一个交点类题通法利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现演练冲关已知函数 f(x)(2a)x2(1ln x)a.(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间0，12 上无零点，求 a 的最小值解：(1)当 a1 时，f(x)x12ln x，则 f(x)12x，定义域 x(0，)由 f(x)0，得 x2，由 f(x)0，得 0 x2，故 f(x)的单调递减区间为(0,
187、2)，单调递增区间为(2，)，(2)f(x)(2a)(x1)2ln x，令 m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2ln x，x0，则 f(x)m(x)h(x)，当 a2 时，m(x)在0，12 上为增函数，h(x)在0，12 上为增函数，若 f(x)在0，12 上无零点，则 m 12 h 12，即(2a)121 2ln 12，a24ln 2，24ln 2a2，当 a2 时，在0，12 上 m(x)0，h(x)0，f(x)0，f(x)在0，12 上无零点由得 a24ln 2，amin24ln 2.考点三 利用导数研究与不等式有关的问题(常考常新型考点多角探明)多角探明 导数在不等式中的应用问
188、题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题.角度一：证明不等式1(2015唐山一模)已知 f(x)(1x)ex1.(1)求函数 f(x)的最大值；(2)设 g(x)fxx，x1，且 x0，证明：g(x)1.解：(1)f(x)xex.当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)的最大值为 f(0)0.(2)证明：由(1)知，当 x0 时，f(x)0，g(x)01.当1x0 时，g(x)1 等价于 f(x)x.设 h(
189、x)f(x)x，则 h(x)xex1.当 x(1,0)时，0 x1,0ex1，则 0 xex1，从而当 x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减当1x0 时，h(x)h(0)0，即 g(x)1.综上，总有 g(x)1.角度二：不等式恒成立问题2已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x(0，)，ln x1ex 2ex恒成立解：(1)由题意知 2xln xx2ax3 对一切 x(0，)恒成立，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)x3x1x2，
190、当 x(0,1)时，h(x)xex2e(x(0，)又 f(x)xln x，f(x)ln x1，当 x0，1e 时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf 1e 1e.设 m(x)xex2e(x(0，)，则 m(x)1xex，易知 m(x)maxm(1)1e，从而对一切 x(0，)，ln x1ex 2ex恒成立角度三：存在型不等式成立问题3(2015新乡调研)已知函数 f(x)x(a1)ln xax(aR)，g(x)12x2exxex.(1)当 x1，e时，求 f(x)的最小值；(2)当 a1 时，若存在 x1e，e2，使得对任意的 x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求 a的
191、取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x1xax2.当 a1 时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当 1ae 时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以 f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当 ae 时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e(a1)ae.综上，当 a1 时，f(x)min1a；当 1ae 时，f(x)mina(a1)ln a1；当 ae 时，f(x)mine(a1)ae.(2)由题意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于 g(x)(x
192、2,0)的最小值由(1)知 f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1)ae.g(x)(1ex)x.当 x2,0时 g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以 e(a1)aee22ee1，所以 a 的取值范围为e22ee1，1.类题通法导数在不等式问题中的应用问题解题策略(1)利用导数证明不等式若证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题
193、利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题对应B本课时跟踪检测十六A 卷夯基保分1一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 400 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km.由题意，令 40k203，k 1200，则总费用 f(x)(kx3400)ax
194、akx2400 xa1200 x2400 x(0 x100)由 f(x)ax340 000100 x20，得 x203 5.当 0 x203 5时，f(x)0，f(x)单调递减；当 203 5x100 时，f(x)0，f(x)单调递增当 x203 5时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为 203 5 km/h 时，总费用最少2(2015山西四校联考)已知 f(x)ln xxa1.(1)若存在 x(0，)使得 f(x)0 成立，求 a 的取值范围；(2)求证：当 x1 时，在(1)的条件下，12x2axaxln x12成立解：(1)原题即为存在 x0 使得 ln xxa10，aln xx1，令
195、 g(x)ln xx1，则 g(x)1x1x1x.令 g(x)0，解得 x1.当 0 x1 时，g(x)0，g(x)为减函数，当 x1 时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故 a 的取值范围是0，)(2)证明：原不等式可化为12x2axxln xa120(x1，a0)令 G(x)12x2axxln xa12，则 G(1)0.由(1)可知 xln x10，则 G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0 成立，12x2axxln xa120 成立，即12x2axax1nx12成立3(2014四川高考)已知函数 f(x
196、)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0,1)内有零点证明：e2a0，x1)，所以 g(x)x1ln xx12.设 h(x)x1ln x，h(x)11x.当 x1 时，h(x)11x0，h(x)是增函数，h(x)h(1)0，所以 g(x)x1ln xx12 0，故 g(x)在(1，)上为增函数；当 0 x1 时，h(x)11xh(1)0，所以 g(x)x1ln xx12 0，故 g(x)在(0,1)上为增函数；所以 g(x)在区间(0,
197、1)和(1，)上都是单调递增的见课时跟踪检测B本命题点一 导数的运算及几何意义命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1(2014大纲卷)曲线 yxex1 在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2D1解析：选 C 由题意可得 yex1xex1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于 2，故选C.2(2014新课标全国卷)设曲线 yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2x，则 a()A0B1C2D3解析：选 D ya 1x1，由题意得 y|x02，即 a12，所以 a3.3(2013江西高考)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.
198、解析：因为 f(ex)xex，所以 f(x)xln x(x0)，所以 f(x)11x，所以 f(1)2.答案：24(2014江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_解析：yax2bx的导数为 y2axbx2，直线 7x2y30 的斜率为72.由题意得4ab25，4ab472，解得a1，b2，则 ab3.答案：3命题点二 导数的应用难度：高、中命题指数：题型：选择题、解答题1(2012辽宁高考)函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，
199、)D(0，)解析：选 B 函数 y12x2ln x 的定义域为(0，)，yx1xx1x1x，令 y0，则可得 01 时，f(x)k1x0 恒成立，即 k1x在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 01x1，所以 k1.故选 D.3(2013浙江高考)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值解析：选 C 法一：当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，0,1 是函数 f(
200、x)的零点当 0 x1 时，f(x)(ex1)(x1)1 时，f(x)(ex1)(x1)0,1 不会是极值点当 k2 时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是 0,1，但是当 0 x1 时，f(x)0，由极值的概念，知选 C.法二：当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)0，故 A、B 错；当 k2时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x21)ex2x2(x1)(x1)ex2，故 f(x)0 有一根为 x11，另一根 x2(0,1)当 x(x2,1)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)在 x1 处取得极小值故选 C.4(2014江西高考)在同一直角坐标系中
201、，函数 yax2xa2与 ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是()解析：选 B 分两种情况讨论：当 a0 时，函数为 yx 与 yx，图象为 D，故 D 有可能；当 a0 时，函数 yax2xa2的对称轴为 x 12a，对函数 ya2x32ax2xa 求导得 y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令 y0，则 x1 13a，x21a，所以对称轴 x 12a介于两个极值点 x1 13a，x21a之间，A，C 满足，B 不满足，所以 B 不可能故选 B.5(2014陕西高考)设函数 f(x)ln xmx，m R.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)
202、讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数；(3)若对任意 ba0，fbfaba1 恒成立，求 m 的取值范围解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)设(x)13x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当 x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；
203、当 x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1 是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x1 也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)23.又(0)0，结合 y(x)的图象(如图)，可知当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点；当 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点综上所述，当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点(3)对任意的 ba0，fbfaba1 恒成立等价于 f(b)bf(a)a 恒成立(*
204、)设 h(x)f(x)xln xmxx(x0)，(*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减，由 h(x)1xmx210 在(0，)上恒成立，得 mx2xx12214(x0)恒成立，m14对m14，hx0仅在x12时成立，m 的取值范围是14，.6(2014北京高考)已知函数 f(x)xcos xsin x，x0，2.(1)求证：f(x)0；(2)若 asin xx 0)，若 f(x)在1,1上的最小值记为 g(a)(1)求 g(a)；(2)证明：当 x1,1时，恒有 f(x)g(a)4.解：(1)因为 a0，1x1，所以()当 0a1 时，若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x2
205、30，故 f(x)在(a,1)上是增函数；所以 g(a)f(a)a3.()当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1,1)上是减函数，所以 g(a)f(1)23a.综上，g(a)a3，0a1，23a，a1.(2)证明：令 h(x)f(x)g(a)，()当 0a1 时，g(a)a3.若 xa,1，h(x)x33x3aa3，得 h(x)3x23，则 h(x)在(a,1)上是增函数，所以 h(x)在a,1上的最大值是 h(1)43aa3，且 0a0，知 t(a)在(0,1)上是增函数所以 t(a)t(1)4，即 h(1)0，设所求切线的斜率为k，gx1x
206、，kg11，于是在点1，0处切线方程为yx1.2分2证明：曲线yex与y12x2x1公共点的个数等于函数xex12x2x1零点的个数4分 0110，x存在零点x0.5分第一步利用斜率求切线方程第二步构造新函数，将公共点转化为零点第三步求零点不说明两曲线公共点的个数等于函数零点个数，步骤不规范.又xexx1，令hxxexx1，则hxex1，当x0时，hx0，x在，0上单调递减；当x0时，hx0，x在0，上单调递增.8分x在x0有唯一的极小值00，即x在R上的最小值为00.x0仅当x0时等号成立，x在R上是单调递增的，x在R上有唯一的零点，故曲线yfx与y12x2x1有唯一的公共点.12分s 1已
207、知函数 f(x)ax2xxln x.(1)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(1)2，且在定义域内 f(x)bx22x 恒成立，求实数 b 的取值范围解：(1)当 a0 时，f(x)xxln x，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得 x1.当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当 x(1，)时，f(x)0，b11xln xx 恒成立令 g(x)11xln xx，可得 g(x)ln xx2，g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，实数 b 的取值范围是(，02已知定义在正实数集上的函数 f(x)12x
208、22ax，g(x)3a2ln xb，其中 a0，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用 a 表示 b；(2)求证：f(x)g(x)(x0)解：(1)设曲线 yf(x)与 yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)3a2x，依题意得fx0gx0，fx0gx0，即12x202ax03a2ln x0b，x02a3a2x0，由 x02a3a2x0，得 x0a 或 x03a(舍去)，则 b12a22a23a2ln a52a23a2ln a.(2)证明：设 F(x)f(x)g(x)12x22ax3a2ln xb(x0)，则 F(x)x2a3
209、a2x xax3ax(x0)，由 F(x)0 得 xa 或 x3a(舍去)当 x 变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)极小值 结合(1)可知函数 F(x)在(0，)上的最小值是 F(a)f(a)g(a)0.故当 x0 时，有 f(x)g(x)0，即当 x0 时，f(x)g(x)3(2014辽宁高考)已知函数 f(x)(xcos x)2sin x2，g(x)(x)1sin x1sin x2x 1.证明：(1)存在唯一 x00，2，使 f(x0)0；(2)存在唯一 x12，使 g(x1)0，且对(1)中的 x0，有 x0 x1.证明：(1)当 x 0
210、，2 时，f(x)sin x2cos x0，所以 f(x)在0，2 上为增函数，又 f(0)20，所以存在唯一 x00，2，使 f(x0)0.(2)当 x2，时，化简得 g(x)(x)cos x1sin x2x 1.令 tx，记 u(t)g(t)tcos t1sin t2t1，t0，2，则 u(t)ft1sin t.由(1)得，当 t(0，x0)时，u(t)0.在x0，2 上 u(t)为增函数，由 u 2 0 知，当 tx0，2 时，u(t)0，所以 u(t)在x0，2 上无零点在(0，x0)上 u(t)为减函数，由 u(0)1 及 u(x0)0 知存在唯一 t0(0，x0)，使 u(t0)0.于是存在唯一 t00，2，使 u(t0)0.设 x1t02，则 g(x1)g(t0)u(t0)0，因此存在唯一的 x12，使 g(x1)0.由于 x1t0，t0.
