1、第3讲 函数的奇偶性与周期性 第二章 函数、导数及其应用考纲解读 1.了解函数奇偶性的含义2会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性(重点)3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点预测 2021 年高考会侧重考查以下三点：函数奇偶性的判断及应用；函数周期性的判断及应用；综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式1 基础知识过关 PART ONE 1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有01_，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于
2、 02 _对称f(x)f(x)y 轴奇偶性定义图象特点奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有03_，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于 04 _对称f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 01 _，那么就称函数yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 02 _的正数，那么这个 03 _就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小最小正数1.概念辨析(1)“ab0”是“函数 f(x)在区间a，b(ab)上具
3、有奇偶性”的必要条件()(2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)0.()(3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称()(4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()(5)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(6)若 T 为 yf(x)的一个周期，那么 nT(nZ)也是函数 f(x)的周期()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案2.小题热身(1)下列函数中为奇函数的是()A.yx2sinxByx2cosxC.y|ln x|Dy2x解析 A 是
4、奇函数，B 是偶函数，C，D 是非奇非偶函数答案解析(2)若 f(x)是 R 上周期为 2 的函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)_.解析 因为 f(x)是 R 上周期为 2 的函数，所以 f(3)f(1)1，f(4)f(2)2，所以 f(3)f(4)121.解析1(3)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x21，则 f(2)f(0)_.解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(2)f(2)(221)5，f(0)0，所以 f(2)f(0)5.5解析(4)偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)3，则 f(1)_.解析 因
5、为函数 yf(x)是偶函数，所以 f(1)f(1)，因为函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，所以 f(1)f(3)3.综上可知，f(1)3.3解析(5)设奇函数 f(x)的定义域为5，5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集为_解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如下，观察图象可知，不等式 f(x)0 的解集为(2,0)(2,5.(2,0)(2,5解析2 经典题型冲关 PART TWO 角度 1 判断函数的奇偶性1.(2020成都市高三阶段考试)已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf
6、(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A.BCD解析 因为 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)，由 f(|x|)f(|x|)，知是偶函数；由 f(x)f(x)f(x)，知是奇函数；由 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yx 是定义在 R 上的奇函数，奇奇偶，知是偶函数；由 f(x)(x)f(x)x，知是奇函数.答案解析题型 一 函数的奇偶性 2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2 x23；(2)f(x)(1x)1x1x；(3)f(x)lg 1x2|x2|2；(4)f(x)x2x，x0.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即
7、函数 f(x)的定义域为 3，3，解析f(x)3x2 x230.f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由1x1x0 得1x0，|x2|2，得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，解析f(x)lg 1x2x.又 f(x)lg 1x2xlg 1x2xf(x)，函数 f(x)为奇函数(4)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)，函数 f(x)为奇函数.解析角
8、度 2 奇函数、偶函数性质的应用3.(2019衡水模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 x0 时，f(x)xln x，则 x0 时，f(x)()A.xln xBxln(x)C.xln xDxln(x)解析 设 x0，则x0，所以 f(x)xln(x)又 f(x)是定义在 R上的奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)xln(x).答案解析4.函数 f(x)2 sinx3|x|的最大值是 M，最小值是 m，则 f(Mm)的值等于()A.0 B2 C D.2解析 设 h(x)sinx3|x|，则 h(x)h(x)，所以 h(x)是一个奇函数，所以函数 h(x)的最大值和最小值的和
9、是 0，所以 Mm，所以 f(Mm)2.答案解析5.若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_.解析 解法一：因为 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)ln(e3x1)axln 1e3x1 axln 1e3xe3xaxln(1e3x)3xaxln(e3x1)ax，所以3aa，解得 a32.32解析解法二：函数 f(x)ln(e3x1)ax 为偶函数，故 f(x)f(x)，即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得 ln 1e3x2axln e2ax，即 1e3xe2ax，整理得 e2ax3x1.所以 2ax3x0，解得 a32.解析
10、1.判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法(如举例说明 2)(2)图象法(3)性质法(如举例说明 1()设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇.2.函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出如举例说明 3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)f(x)0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值如举例说明 5.(4)画函数图象：利用函
11、数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值如举例说明 4.注意：对于定义域为 I 的奇函数 f(x)，若 0I，则 f(0)0.1.已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2xm，则 f(2)等于()A.3 B54C.54D3解析 由已知得，f(0)20m0.解得 m1.当 x0 时，f(x)2x1，所以 f(2)f(2)(221)3.答案解析2.(2019辽宁名校联考)函数 yx2lg x2x2的图象()A.关于 x 轴对称B.关于原点对称C.关于直线 yx 对称D.关于 y 轴对称解析 记 f(
12、x)x2lg x2x2，定义域为(，2)(2，)f(x)(x)2lg x2x2x2lg x2x2x2lg x2x2f(x)，f(x)为奇函数，即函数 yx2lg x2x2的图象关于原点对称.答案解析3.(2019武汉十校联考)若定义在R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足f(x)g(x)ex，则 g(x)()A.exexB.12(exex)C.12(exex)D.12(exex)解析 f(x)g(x)ex，f(x)g(x)ex，又 f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)ex，由解得 g(x)exex2.故选 D.答案解析1.(2019温州模拟)已知定义在 R 上的函数 f
13、(x)的最小正周期等于 T，则下列函数的最小正周期一定等于T2的是()A.f(2x)Bfx2C2f(x)Df(x2)题型 二 函数的周期性答案解析 由已知得 f(xT)f(x)，所以 f(2xT)f(2x)，即 f2xT2 f(2x)，所以函数 f(2x)的周期是T2；fx2T fx2，即 f12x2T fx2，所以函数 fx2 的周期是 2T；2f(xT)2f(x)，所以函数 2f(x)的周期是 T.函数 f(x2)不一定是周期函数.解析2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)1fx，当 x0，2)时，f(x)xex，则 f(2020)_.解析 因为定义在 R 上的函数 f(x
14、)满足 f(x2)1fx，所以 f(x4)1fx2f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4.当 x0,2)时，f(x)xex，所以 f(2020)f(50540)f(0)0e01.1解析1.求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数 yf(x)，如果能够找到一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么 T 就是函数 yf(x)的周期非零常数 T 容易确定的函数，如举例说明 1方法解读适合题型递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若 f(xa)f(x)，则 f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以 2a 为 f(x)的一个周
15、期含有 f(xa)与 f(x)的关系式，如举例说明 2方法解读适合题型换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若 f(xa)f(xa)，令 xat，则xta，则 f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a 为 f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)型关系式2.函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期如举例说明 2.1.(2019绵阳模拟)函数 f(x)2x1，1x3，fx4，x3，则
16、f(9)_.解析 f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2111.1解析2.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_解析 因为当 0 x2 时，f(x)x3x，又 f(x)是 R 上最小正周期为 2的周期函数，且 f(0)0，则 f(6)f(4)f(2)f(0)0.又 f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点有 7 个.7解析角度 1 单调性与奇偶性结合1.(2019成都模拟)已知函数 f(x)为 R 上的偶函数，当 x0
17、时，f(x)单调递减，若 f(2a)f(1a)，则 a 的取值范围是()A.，13B.13，1C.1，13D.13，答案题型 三 函数性质的综合应用 解析 因为函数 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(2a)f(1a)f(|2a|)f(|1a|)，又当 x0 时，f(x)单调递减，所以|2a|1a|，所以(2a)2(1a)2，即 3a22a10，解得1a13.解析角度 2 周期性与奇偶性结合2.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B0 C2 D50解析 因为 f(x)是定义域为
18、(，)的奇函数，且满足 f(1x)f(1x)，所以 f(1x)f(x1)，f(x4)f1(x3)f(x2)f(x2)f1(x1)f(x)f(x)所以 f(x)是周期为 4 的函数答案解析因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为 f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为 f(2)f(24)f(2)f(2)，所以 f(2)0，从而 f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选 C.解析角度 3 单调性、奇偶性和周期性结合3.(2019青岛二中模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x2
19、)f(x)；f(x2)为奇函数；当 x0，1)时，fx1fx2x1x20(x1x2)恒成立，则 f152，f(4)，f112 的大小关系正确的是()A.f112 f(4)f152B.f(4)f112 f152C.f152 f(4)f112D.f152 f112 f(4)答案解析 由 f(x2)f(x)可知函数 f(x)的周期为 2，所以 f(x)f(x2)，又 f(x2)为奇函数，所以 f(x)为奇函数，所以 f152 f152 24 f12，f(4)f(422)f(0)0.f112 f112 23 f12，又 x0,1)时，f(x)单调递增故奇函数 f(x)在(1,1)上单调递增所以 f12
20、 f(0)f12，即 f152 f(4)f112.解析函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性如举例说明 1.(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解如举例说明 2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解如举例说明 3.1.已知函数 f(
21、x)(mxn)(x1)为偶函数，且在(，0)上单调递增，则 f(2x)0 的解集为()A.(1,3)B(，1)(3，)C.(1,1)D(，1)(1，)解析 f(x)(x1)(mxn)mx2(nm)xn.函数 f(x)(mxn)(x1)为偶函数，f(x)f(x)即 mx2(nm)xnmx2(nm)xn，得(nm)(nm)，即 nm0，则 mn，则 f(x)mx2m，答案解析f(x)在(，0)上单调递增，m0，由 f(2x)0，得 m(2x)2m0，即(2x)210，得 x24x30，得 1x3，即不等式的解集为(1,3).解析2.(2019广东珠海模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x
22、)f(2x)，f(x)f(x)，且在0,1上有 f(x)x2，则 f201912()A.94B.14C94D14解析 因为 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数，因为 f(x)f(2x)，所以 f(x)f(2x)f(x)，所以 f(4x)f(2x)f(2x)f(x)，所以函数 f(x)是以 4 为周期的函数，答案解析所以 f201912 f202012 f12f12，因为在0,1上有 f(x)x2，所以 f12 12214，所以 f201912 f12 14.解析3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x1)f(x)，若 f(x)在1,0上单调递减，则 f(x)在1,3上是()
23、A.增函数B减函数C.先增后减的函数D先减后增的函数解析 根据题意，f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，函数 f(x)的周期是 2.又 f(x)在定义域 R 上是偶函数，在1,0上是减函数，函数 f(x)在0,1上是增函数，函数 f(x)在1,2上是减函数，在2,3上是增函数，f(x)在1,3上是先减后增的函数，故选 D.答案解析3 课时作业 PART THREE 1.(2019武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单调递增的是()A.f(x)exexBf(x)tanxC.f(x)x1xDf(x)|x|A组基础关解析 f(x)|x|是偶函数，排除 D；f(x)x1x
24、在(0，)上先减后增，排除 C；f(x)tanx 在(0，)上不是单调函数，排除 B；f(x)exex 符合题意.答案解析2.函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)g(x)的图象可能为()答案解析 因为 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以 yf(x)g(x)为奇函数，排除 B；由两函数的图象可知当 x，2 时，yf(x)g(x)0，所以只有选项 A 符合题意，故选 A.解析3.(2020烟台适应性练习)已知定义在 R 上的函数 f(x)的周期为 2，且满足 f(x)xa，1x0，25x，0 x1，若 f52 f92，则 f(5a)等于()A.716B25C.11
25、16D.1316答案解析解析 由于函数 f(x)的周期为 2，所以 f52 f12 12a，f92 f122512 110，所以12a 110，所以 a35，因此 f(5a)f(3)f(1)13525.故选 B.解析4.已知函数 yf(x)x 是偶函数，且 f(2)1，则 f(2)()A.2 B3 C4 D5解析 yf(x)x 是偶函数，f(x)(x)f(x)x，f(x)f(x)2x，令 x2，则 f(2)f(2)45，故选 D.答案解析5.(2019成都模拟)若函数 f(x)1a2x1的图象关于原点对称，则实数 a等于()A.2 B1 C1 D2解析 由已知得，函数 f(x)为奇函数，所以
26、f(1)f(1)0，即 1 a211 a1210,1a12a0，解得 a2.答案解析6.(2019合肥模拟)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递增，则对实数 a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(|b|)f(b)因为 f(x)在0，)上单调递增，a|b|0.所以 f(a)f(|b|)f(b)若 f(a)f(b)举反例 f(3)f(3)f(1)，而3|1|.故由 f(a)f(b)无法得到 a|b|.所以“a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件.答案解析7.已知 f(x)
27、是定义域为(1,1)的奇函数，而且 f(x)是减函数，如果 f(m2)f(2m3)0，那么实数 m 的取值范围是()A.1，53B.，53C.(1,3)D.53，解析 f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，1x1，f(x)f(x)，f(m2)f(2m3)0 可转化为 f(m2)f(2m3)f(x)是减函数，m22m3，1m21，12m31，m22m3，1m53.答案解析8.已知函数 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)lg x，则 ff1100 的值为_解析 由已知得 f1100 lg 11002.f(2)f(2)lg 2，所以 ff1100 lg 2.lg 2解析9.已知奇函数 f(x)
28、(xR)满足 f(x4)f(x2)，且当 x3,0)时，f(x)1x3sin2x，则 f(2021)_.解析 因为函数 f(x)(xR)为奇函数满足 f(x4)f(x2)，所以 f(x6)f(x)，即函数 f(x)是以 6 为周期的周期函数，因为当 x3,0)时，f(x)1x3sin2x，所以 f(2021)f(33761)f(1)113sin2 4.4解析10.(2020甘肃天水摸底)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x0,1时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在1,2上的解析式是_解析 因为 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的函数，当 x0,1时，f(x
29、)log2(x1)所以设 x1,2，则 x21,0，2x0,1所以 f(2x)log2(2x)1log2(3x)，又 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x2)f(2x)log2(3x).f(x)log2(3x)解析1.已知 p：a1，q：函数 f(x)ln(x a2x2)为奇函数，则 p 是 q 成立的()A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件B组能力关解析 若函数 f(x)ln(x a2x2)为奇函数，则 f(x)f(x)ln(x a2x2)ln(x a2x2)ln a20，解得 a1.所以 p 是 q 成立的充分必要条件.答案解析2.已知函数 f(x)是
30、定义在区间a，a(a0)上的奇函数，若 g(x)f(x)2019，则 g(x)的最大值与最小值之和为()A.0 B1 C2019 D4038解析 因为函数 f(x)是定义在区间a，a上的奇函数，所以 f(x)maxf(x)min0，所以 g(x)maxg(x)minf(x)max2019f(x)min2019f(x)maxf(x)min40384038.答案解析3.(2019南阳模拟)函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时，f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1,3上的解集为()A.(1,3)B(1,1)C.(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析 若 x2,0，则x0
31、,2，当 x0,2时，f(x)x1，f(x)x1，f(x)是偶函数，f(x)x1f(x)，即当 x2,0时，f(x)x1，即在一个周期2,2内，答案解析f(x)x1，0 x2，x1，2x0 等价为x0，fx0 或x0，fx0，即 1x3 或1x0 在1,3上的解集为(1,0)(1,3).解析4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1，x2，都有x2fx1x1fx2x1x20，记 af4.10.24.10.2，bf0.42.10.42.1，cflog0.24.1log0.24.1，则()A.acbBabcCcbaDbca答案解析 设 00，得fx1x1 fx2x2，
32、所以函数 g(x)fxx 在(0，)上单调递减，因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 g(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，因此 af4.10.24.10.2 g(4.10.2)g(1)，bf0.42.10.42.1 g(0.42.1)g(0.42)g(0.5)，cflog0.24.1log0.24.1 g(log0.24.1)g(log154.1)g(log54.1)g(log54.1)(g(1)，g(0.5)，即 acb，选 A.解析5.若函数 f(x)x1a21ex1 为偶函数，则 a_.解析 令 u(x)1a21ex1，根据函数 f(x)x1a21ex1 为偶函数，可知
33、u(x)1a21ex1为奇函数，利用 u(0)1a21e010，可得 a21，所以 a1 或 a1.1 或1解析6.(2019河北重点中学联考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在2,0上是增函数，下面是关于 f(x)的判断：f(x)的图象关于点 P(1,0)对称；f(0)是函数 f(x)的最大值；f(x)在2,3上是减函数；f(x0)f(4kx0)，kZ.其中正确的是_(正确的序号都填上)解析解析 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)，又 f(x2)f(x)，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)的图象关于点 P(1,0)对称，所以正确；由 f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的函数，所以 f(x0)f(4kx0)(kZ)，所以正确；因为 f(x)是以 4 为周期的函数，且在2,0上是增函数，所以 f(x)在2,4上也是增函数，因此不正确；因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)在0,2上是减函数，所以 f(x)在2,2上的最大值是 f(0)，又 f(x)是以 4 为周期的函数，所以正确所以正确的判断是.解析本课结束
