1、第1讲 坐标系 第十二章 选修4系列考纲解读 1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换2了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点)3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测 2021年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换题型为解答题，属中、低档题型.1 基础知识过关 PART ONE 1.伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：01_的作用下，点P(x，y)对应
2、到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换xx0，yy02极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：x01_，y02_；203 _，tan04 _cossinx2y21概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)点P的直角坐标为(2，2)，那么它的极坐标可表示为2，34.()(3)过极点作倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为或.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐
3、标方程为2asin.()答案(1)(2)(3)(4)答案2小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，则在这一坐标变换下正弦曲线ysinx的方程变为()Ay13sin2x By3sin12xCy13sinx2Dy3sin2x解析 由已知得x2x，y13y代入ysinx，得13ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程变为y3sin2x.答案解析(2)在极坐标系中A2，3，B4，23 两点间的距离为_解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|OA|OB|6.解法二：A2，3，B4，23 的直角坐标为A(1，3)，B(2,2 3)，|AB|21
4、22 3 326.6解析(3)曲线C1：6与曲线C2：sin6 32 的交点坐标为_解析 将6代入sin6 32，得sin3 32，所以1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为1，6.1，6解析(4)在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为_解析 圆2cos与极轴的交点的极坐标为(0,0)和(2,0)过这两个点垂直于极轴的两条直线即为所求，它们的方程分别为 2(R)和cos2.2(R)和cos2解析2 经典题型冲关 PART TWO 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆x29y241.题型 一 平面直角坐标系中的伸缩变换解 设伸缩变换为xx0，yy0
5、，由题知2x29 2y24 1，即32x222y21.与x2y21比较系数，得321，221，故3，2，所以伸缩变换为x3x，y2y，解即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x29y21，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x29y241.解伸缩变换后方程的求法平面上的曲线yf(x)在变换：xx0，yy0的作用下的变换方程的求法是将xx，yy代入yf(x)，得 y fx，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程见举例说明提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y).解 由题意，把变换公式
6、代入曲线y3sinx6得3y3sin2x6，整理得ysin2x6，故f(x)sin2x6.所以yf(x)的最小正周期为22.解若函数yf(x)的图象在伸缩变换：x2x，y3y的作用下得到曲线的方程为y3sinx6，求函数yf(x)的最小正周期以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为21sin.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程题型 二 极坐标与直角坐标的互化解(1)x2y2，siny，21sin可化为sin2，曲线的直角坐标方程为x24y4.解(2)设直线l
7、的极坐标方程为0(R)，根据题意21sin0321sin0，解得06或056，直线l的极坐标方程为6(R)或56(R).解1.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.2.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos及ysin直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos，sin，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方
8、是常用的变形技巧.3.极角的确定由tan确定角时，应根据点P所在象限取最小正角(1)当x0时，角才能由tanyx按上述方法确定(2)当x0时，tan没有意义，这时可分三种情况处理：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取 2；当x0，y0，为参数)，直线C2：y 33 x，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；(2)直线C3：56(R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，OAB的面积为6 3，求实数m的值xcos，ysin，曲线C1的极坐标方程为2mcos.直线C2的极坐标方程为6(R)解(2)由6，2
9、mcos，得A 3m，6，A 3m，6.由56，2mcos，得B 3m，6，B 3m，6.SOAB12A|B|sinAOB6 3，即12 3m 3msin36 3，解得m28.又m0，m2 2.解B组能力关解(1)由曲线C2的极坐标方程为cos2sin，两边同乘以，得2cos2sin，故曲线C2的直角坐标方程为x2y.解1.(2020贵州适应性测试)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为4cos，曲线C2的极坐标方程为cos2sin.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为64的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|O
10、A|OB|的取值范围(2)射线l的极坐标方程为，64，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|4cos，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|sincos2，|OA|OB|4cos sincos24tan.60)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当03时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，所以当03时，04sin32 3.由已知得|OP|OA|cos32.设Q(，)为l上除P外的任意一点解在RtOPQ中，cos3|OP|2.经检验，点P2，
11、3 在曲线cos3 2上，所以，l的极坐标方程为cos3 2.解(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是4，2.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，4，2.解解(1)由xacos，y1asin 消去参数，得C2的普通方程为x2(y1)2a2.解3.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：xy10，曲线C2：xacos，y1asin(为参数，a0)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；(2)曲线C3的极坐标方程为0(0)，其中tan02，0
12、0，2，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点若|OB|3|OA|5，求a的值C2是以(0,1)为圆心，a为半径的圆xcos，ysin，C2的极坐标方程为(cos)2(sin1)2a2，即C2的极坐标方程为22sin1a20.解(2)曲线C3的极坐标方程为0(0)，tan02，00，2，曲线C3的直角坐标方程为y2x(x0)，sin02 55.由xy10，y2x，解得x13，y23，A13，23.|OA|53.|OB|3|OA|5，|OB|2 5.解故点B的极坐标为(2 5，0)，代入22sin1a20，得a 13.解4.(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，4，C2，
13、34，D(2，)，弧 AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，1，2，(1，)，曲线M1是弧 AB，曲线M2是弧 BC，曲线M3是弧 CD.解(1)由题设可得，弧 AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos04，M2的极坐标方程为2sin434，M3的极坐标方程为2cos34 .解(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标(2)设P(，)，由题设及(1)知若04，则2cos 3，解得6；若434，则2sin 3，解得3或23；若34，则2cos 3，解得56.综上，P的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.解本课结束
