1、1.4 柱坐标系与球坐标系简介学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式,能应用公式解决问题.柱坐标系与球坐标系 柱坐标系球坐标系柱坐标、球坐标与直角坐标的互化 1.柱坐标系(1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(,)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(,z)(zR)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(,z)叫做点P的柱坐标
2、,记作P(,z),其中0,02,-z+.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,z)之间的变换公式为 =cos,=sin,=.名师点拨柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的,柱坐标的表示形式为(,z).因此,在求空间一点P的柱坐标时,先确定点P在xOy平面上的射影Q的极坐标(,),它的柱坐标中的z与空间直角坐标中的z相同.做一做1(1)若点P的柱坐标为,则它的直角坐标为 ;(2)已知点M的直角坐标为(0,1,5),则它的柱坐标为 .2,4,1 解析：(1)设点 P 的直角坐标为(x,y,z).因为 x=2cos4=1,y=2sin4=1,z=1,所以点 P 的直
3、角坐标为(1,1,1).(2)设点 M 的柱坐标为(,z),根据题意,得 0=cos,1=sin,=5,所以 2=2cos2+2sin2=1,易知=2.故点 M 的柱坐标为 1,2,5.答案：(1)(1,1,1)(2)1,2,5 2.球坐标系(1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r,)表示.这样,空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),
4、有序数组(r,)叫做点P的球坐标,记作P(r,),其中r0,0,02.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的变换关系为 =sincos,=sinsin,=cos .名师点拨1.球坐标的排列顺序:r(点P到原点的距离);(OP与z轴正方向所夹的角);(OP在平面Oxy内的射影与x轴正方向所成的角).2.求空间一点P的球坐标,先求|OP|=r,再求OP与Oz轴正方向所夹的角,设OP在平面Oxy上的射影为OQ,则Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为,则点P的球坐标确定为(r,).3.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系的联系与区别:柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标
5、系为背景,柱坐标系中的一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系中的竖坐标相同;在球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是三个数值组成的有序数组.做一做 2(1)若点 M 的球坐标为 8,3,2,则其直角坐标为 ;(2)将点 M(1,-1,6)化成球坐标为.(2)设点 M 的球坐标为(r,),则 r=12+(-1)2+(6)2=2 2,tan=2+2=2 6=33.由 0,知=6.由 tan=-1,00,所以=74.故点 M 的球坐标为 2 2,6,74 .解析：(1)设点 M 的直角
6、坐标为(x,y,z),由点 M 的球坐标 8,3,2,得 =8sin3 cos2=0,=8sin3 sin2=4 3,=8cos3=4.故点 M 的直角坐标为(0,4 3,4).答案：(1)(0,4 3,4)(2)2 2,6,74 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)要刻画空间点的位置,无论用哪种坐标都需要三个数值.()(2)球坐标系与柱坐标系中的点的坐标一定包含一个角.()(3)利用三角函数可以实现柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.()(4)点A(1,0,1)的柱坐标与直角坐标是相同的.()探究一 探究二 思维辨析 直角坐标与柱坐标的互化 【例1】已
7、知点A的直角坐标为(1,5),求它的柱坐标.3分析：由公式求出,再由 tan=求出.解：设点 A 的柱坐标为(,z).由公式 =cos,=sin,=得 2=2+2,=,即 2=12+(3)2=4,所以=2.tan=3,又 x0,y0,点 A 在 xOy 平面内的射影在第一象限.因此=3,故点 A 的柱坐标为 2,3,5.探究一 探究二 思维辨析 反思感悟已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定和,尤其是,要注意求出tan 后,还要根据点在xOy平面内的射影所在的象限确定的值(的取值范围是0,2).探究一 探究二 思维辨析 变式训练1 已知点M的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：设
8、点 M 的柱坐标为(,z).由变换公式,得 2=x2+y2=12+12=2,=2,tan=11=1,=4(点 M 在 xOy 平面内的射影在第一象限).因此点 M 的柱坐标为 2,4,3.探究一 探究二 思维辨析【例2】根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:(1)2,56,3;(2)2,4,5.分析：解答本题直接利用公式 =cos,=sin,=计算即可.解：(1)设所求点的直角坐标为(x,y,z).因为(,z)=2,56,3,所以 =cos=2cos 56=-3,=sin=2sin 56=1,=3,故(-3,1,3)为所求.探究一 探究二 思维辨析(2)设所求点的直角坐标为(x,y,z).因为(
9、,z)=2,4,5,所以 =cos=2cos 4=1,=sin=2sin 4=1,=5,故(1,1,5)为所求.反思感悟1.在点M的柱坐标(,z)中,要求0,0,2),z可以取一切实数.2.将点的柱坐标(,z)化为直角坐标(x,y,z)的公式为运用特殊角的三角函数值计算即可.=cos,=sin,=,探究一 探究二 思维辨析 变式训练2 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标:(1)2,6,1;(2)(1,0).解：设所求点的直角坐标为(x,y,z).(1)因为(,z)=2,6,1,所以 =cos=2cos 6=3,=sin=2sin 6=1,=1,即(3,1,1)为所求.(2)因为(,z)=(1,
10、0),所以 =cos=cos =-1,=sin=sin =0,=0,即(-1,0,0)为所求.探究一 探究二 思维辨析 球坐标与直角坐标的互化 【例3】根据下列点的球坐标分别求其直角坐标:分析：根据公式 =sincos,=sinsin,=cos计算即可.解：设所求点的直角坐标为(x,y,z).(1)(r,)=2,34,54 ,=sincos=2sin 34 cos 54=-1,=sinsin=2sin 34 sin 54=-1,=cos=2cos 34=-2.点 2,34,54 的直角坐标为(-1,-1,-2).(1)2,34,54 ;(2)6,3,23 .探究一 探究二 思维辨析(2)(r,
11、)=6,3,23 ,=sincos=6sin 3 cos 23=-3 32,=sinsin=6sin 3 sin 23=92,=cos=6cos 3=3.点 6,3,23 的直角坐标为-3 32,92,3.反思感悟化点的球坐标(r,)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式转化为三角函数的求值与运算,但要注意分清哪个角是,哪个角是.=sincos,=sinsin,=cos 探究一 探究二 思维辨析 变式训练3 已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.4,34,4 解：设点 P 的直角坐标为(x,y,z),由变换公式得 x=rsin cos=4sin34 cos4=2,y=rsin sin=4sin3
12、4 sin4=2,z=rcos=4cos34=-2 2,所以它的直角坐标为(2,2,-2 2).探究一 探究二 思维辨析【例 4】(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标;(2)设点 N 的直角坐标为(-1,1,-2),求它的球坐标.分析：利用相关公式转化求解.解：(1)设点 M 的球坐标为(r,),则由坐标变换公式,可得 r=2+2+2=12+12+(2)2=2.由 rcos=z=2,得 cos=2=22,=4.又 tan=1,所以=4(点 M 在 xOy 平面内的射影在第一象限).从而知点 M 的球坐标为 2,4,4.探究一 探究二 思维辨析(2)设点 N 的球坐标为(r,
13、),则由变换公式得r=2+2+2=(-1)2+12+(-2)2=2.由 z=rcos,得 cos=-22,所以=34.又 tan=1-1=-1,x0,所以=34.故它的球坐标为 2,34,34 .反思感悟由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为(r,),再利用变换公式求出r,代入点的球坐标即可.特别注意由直角坐标求球坐标时,和的取值应看清点所在的位置,准确取值,才能准确无误.=sincos,=sinsin,=cos 探究一 探究二 思维辨析 变式训练4 若点的直角坐标为(1,2),则其球坐标为 .3解析：设所求的球坐标为(r,),则 r=2+2+2=12+(3)2+22=2 2.由
14、z=rcos,得 cos=22 2=22,所以=4.又 tan=31=3,x0,y0,所以=3,因此它的球坐标为 2 2,4,3.答案：2 2,4,3 探究一 探究二 思维辨析 对点的坐标中有关角的意义与范围理解不清致误 典例设点M的直角坐标为(-1,-1,),求它的球坐标和柱坐标.2错解设点 M 的球坐标为(r,),柱坐标为(,z).因为 r=2+2+2=1+1+2=2,cos=22,tan=1,所以=4,=4.所以点 M 的球坐标为 2,4,4,柱坐标为 2,4,2.正解点 M 的球坐标为 2,4,54 ,柱坐标为 2,54,2.探究一 探究二 思维辨析 纠错心得 1.由 tan=-1-1
15、=1,得=54,错解中未根据点在 xOy 平面内的射影所在的象限进行判断,误认为=4.另外,在柱坐标系中,=2+2=2.2.化点 M 的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(,z)或球坐标(r,),需要对公式 =cos,=sin,=以及 =sincos,=sinsin,=cos进行逆向变换,得到 =2+2,tan=(0),=以及 =2+2+2,tan=,cos=.在由三角函数值求角时,要结合点的位置确定角的范围再求值,若不是特殊角,可以设定角,然后明确其余弦值或正切值,并标注角的范围即可.探究一 探究二 思维辨析 变式训练 已知点M的柱坐标为,求点M关于原点O对称的点的柱坐标.2,4,1 解：设点
16、M 的直角坐标为(x,y,z),则 =2cos 4=1,=2sin 4=1,=1,即点M的直角坐标为(1,1,1).所以点M关于原点O的对称点的直角坐标为(-1,-1,-1).设其柱坐标为(,z),则 =2+2=2,tan=1,=-1,因为 x0,y0,所以=54.故点 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标为 2,54,-1.1 2 3 4 51.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置,应适合运用()A.极坐标系B.空间直角坐标系 C.柱坐标系D.球坐标系 答案：D 1 2 3 4 52.已知点A的柱坐标为(5,0,1),则点A的直角坐标为()A.(5,1,0)B.(5,0,1)C.(0,5,1)D
17、.(5,1,1)解析：设点A的直角坐标为(x,y,z),则由点A的柱坐标为(5,0,1),知=5,=0,z=1,故x=cos=5,y=sin=0,z=1,所以直角坐标为(5,0,1).答案：B 1 2 3 4 53.在柱坐标系中,方程=1表示.答案：以z轴为中心轴,底面半径为1的圆柱侧面 1 2 3 4 54.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为 .8,3,56 解析：设点 M 的直角坐标为(x,y,z).x=8sin3cos56=-6,y=8sin3sin56=2 3,z=8cos3=4,点 M 的直角坐标为(-6,2 3,4).答案：(-6,2 3,4)1 2 3 4 55.在球坐标系中,求两点 P 3,4,6 和 Q 3,34,6 之间的距离.解：将 P,Q 两点的球坐标转化为直角坐标.xP=3sin4cos6=3 64,yP=3sin4sin6=3 24,zP=3cos4=3 22,所以点 P 的直角坐标为 3 64,3 24,3 22 .xQ=3sin34 cos6=3 64,yQ=3sin34 sin6=3 24,zQ=3cos34=-3 22,因此点 Q 的直角坐标为 3 64,3 24,-3 22 .故|PQ|=3 64-3 64 2+3 24-3 24 2+3 22+3 22 2=3 2,即 P,Q 两点之间的距离为 3 2.
