1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求：1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1角的概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向不同分类正角：按逆时针方向旋转而成的角负角：按顺时针方向旋转而成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上(3)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ2弧度制(1)1 弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的
2、圆心角叫做 1 弧度的角(2)角 的弧度数如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是|lr.(3)角度与弧度的换算180 rad；1 180 rad；1 rad180.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为(rad)，半径为 r，则 l|r，扇形的面积为 S12lr12|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin y，cos x，tan yx(x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如
3、图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线，余弦线和正切线(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限角必是锐角()(2)不相等的角终边一定不相同()(3)终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 2k(kZ)()(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位()(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(6)为第一象限角，则 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)23 900是第_象限角，1 000是第_象限角答案：四 一3若 k18
4、045(kZ)，则 在第_象限答案：一、三4弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_解析：l3，13534，所以 rl3344，S12lr12346.答案：4 65已知角 的终边经过点 P(12,5)，则 cos _，sin _，tan _.答案：1213 513 5126若角 终边上有一点 P(x,5)，且 cos x13(x0)，则 sin _.答案：513典题 1(1)终边在直线 y 3x 上的角的集合为_(2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则 是第_象限角听前试做(1)终边在直线 y 3x 上的角的集合为 k3，kZ.(2)由 sin tan 0 可知 si
5、n，tan 异号，从而 为第二或第三象限角；由cos tan 0，可知 cos，tan 异号，从而 为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案：(1)k3，kZ(2)三探究 1 在本例(2)的条件下，2是第几象限角？解：由例题条件可知，为第三象限角，所以2为第二或第四象限角探究 2 若将本例(2)的条件换为“是第三象限角，且sin2 sin2”，则2是第几象限角？解：由 是第三象限角，知 2k2k32(kZ)，k22k34(kZ)，知2是第二或第四象限角再由sin 2 sin2，知 sin20.所以2只能是第四象限角1终边在某直线上的角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线(2)
6、按逆时针方向写出0,2)内的角(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合(4)求并集化简集合2确定 k，k(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角 的范围，再写出 k 或k的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或k的终边所在位置1设集合 Mxxk218045，kZ，Nxxk418045，kZ，那么()AMNBMNCNMDMN解析：选 B 法一：由于 Mxxk218045，kZ，45，45，135，225，Nxxk418045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有 MN.法二：由于 M 中，xk218045k904545(2k1)，2k1 是奇
7、数；而 N 中，xk418045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN.2在7200范围内所有与 45终边相同的角为_解析：所有与 45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得765360k1，则角 的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 B 由已知得(sin cos)21，即 12sin cos 1，sin cos cos，所以 sin 0cos，所以角 的终边在第二象限4若 是第三象限角，则 ysin 2sin2cos2cos2的值为()A0B2C2D2 或2解析：选 A 由于 是第三象限角，所以
8、2是第二或第四象限角当2是第二象限角时，ysin2sin2cos2cos2110；当2是第四象限角时，ysin2sin2cos2cos2110.5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；若 sin sin，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选 A 由于第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；当三角形的内角为 90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于 sin6sin56，但6与56 的终边不相
9、同，故错；当 cos 1，时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确二、填空题6在与 2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_ 解析：2 010676 1256，与 2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为56.答案：567已知点 P(sin cos，2cos)位于第三象限，则角 是第_象限角解析：因为点 P(sin cos，2cos)位于第三象限，所以 sin cos 0,2cos 0，cos 0，所以 为第二象限角答案：二8已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，3a90
10、，a20，即2a3.答案：(2,3三、解答题9角 的终边上的点 P 与点 A(a，b)关于 x 轴对称(a0，b0)，角 的终边上的点 Q与点 A 关于直线 yx 对称，求sin cos tan tan 1cos sin 的值解：由题意可知点 P(a，b)，则 sin ba2b2，cos aa2b2，tan ba；由题意可知点 Q(b，a)，则 sin aa2b2，cos ba2b2，tan ab，sin cos tan tan 1cos sin 1b2a2a2b2a20.10已知扇形的圆心角是，半径为 R，弧长为 l.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长 l；(2)若扇形的周长为 20
11、 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)603，l103103(cm)(2)由已知得：l2R20，所以 S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以 R5 时，S 取得最大值 25，此时 l10 cm，2 rad.冲击名校1已知 是第四象限角，则 sin(sin)()A大于 0B大于等于 0C小于 0D小于等于 0解析：选 C 是第四象限角，sin(1,0)令 sin，当10 时，sin 0.故 sin(sin)cos x 成立的 x 的取值范围为()A.4，2，54B.4，C.4，54，32D.4，54解析：选 D 如图所示，找出在(0,2)内，使
12、sin xcos x 的 x 值，sin4cos4 22，sin54cos54 22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x4，54.3一扇形的圆心角为 120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为_解析：设扇形半径为 R，内切圆半径为 r.则(Rr)sin 60r，即 R12 33r.又 S 扇12|R21223 R23R274 39r2，S扇r274 39.答案：(74 3)94.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：如图，连接 AP，分
13、别过 P，A 作 PC，AB 垂直 x 轴于 C，B 点，过 A 作 ADPC 于 D 点由题意知的长为 2.圆的半径为 1，BAP2，故DAP22.DPAPsin22 cos 2，PC1cos 2，DAAPcos22 sin 2，OC2sin 2.故(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)5已知 sin 0，tan 0.(1)求 角的集合；(2)求2终边所在的象限；(3)试判断 tan2sin 2cos2的符号解：(1)由 sin 0，知 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；由 tan 0,知 在 第 一、三 象 限，故 角 在 第 三 象 限，其 集 合 为
14、2k2k32，kZ.(2)由 2k2k32，kZ，得 k22k34，kZ，故2终边在第二、四象限(3)当2在第二象限时，tan 20，sin 20,cos 20，所以 tan2 sin2 cos2取正号；当2在第四象限时，tan20，sin20,cos20，所以 tan2sin2cos2也取正号因此，tan2sin 2cos 2取正号第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式1同角三角函数基本关系(1)平方关系：sin2cos21(
15、R)(2)商数关系：tan sin cos k2，kZ.2诱导公式2k(kZ)22正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231 都成立()角函数(2)对任意角，sin2cos2tan 2都成立()(3)对任意的角，有 sin2cos21.()(4)六组诱导公式中的角 可以是任意角()(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(6)
16、角 和 终边关于 y 轴对称()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知 sin 35，则 tan _.答案：34或343化简：2sin2112cos2_.答案：14sin 585_；sin314_；tan263_.答案：22 22 3典题 1(1)(2015福建高考)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125B125C.512D 512(2)sin21sin22sin289_.(3)已知 为三角形的内角，且 sin cos 15，则 tan _.听前试做(1)法一：因为 为第四象限的角，故 cos 1sin21 51321213，所以 tan sin c
17、os 5131213 512.法二：因为 是第四象限角，且 sin 513，所以可在 的终边上取一点 P(12，5)，则 tan yx 512.(2)原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)12124412.(3)法一：联立方程sin cos 15，sin2cos21，由得 cos 15sin，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，sin 45，cos 35，tan 43.法二：sin cos 15，(sin cos)2 152，即 12si
18、n cos 125，2sin cos 2425，(sin cos)212sin cos 124254925.sin cos 12250 且 00，cos 0.sin cos 75.由sin cos 15，sin cos 75，得sin 45，cos 35，tan 43.答案：(1)D(2)4412(3)43探究 1 在本例(3)的条件下，求 sin 4cos 5sin 2cos 的值解：sin 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2434543 287.探究 2 在本例(3)的条件下，求1cos2sin2的值解：1cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2c
19、os2cos2sin2cos2tan211tan243211432257.探究 3 在本例(3)的条件下，求 sin22sin cos 的值解：sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2tan22tan 1tan2169 831169 825.(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin2
20、1cos2，cos21sin2.1(2016雅安模拟)已知 sin cos 43，0，4，则 sin cos 的值为()A.23B.13C 23D13解析：选 C(sin cos)2169，12sin cos 169，2sin cos 79，由(sin cos)212sin cos 17929，可得 sin cos 23.又0，4，sin cos，sin cos 23.2若 sin 2sin，tan 3tan，则 cos _.解析：sin 2sin，tan 3tan，sin24sin2，tan29tan2.由得：9cos24cos2.由得 sin29cos24.又 sin2cos21，cos2
21、38，cos 64.答案：64典题 2(1)已知 cos 是方程 3x2x20 的根，且 是第三象限角，则sin32 cos32 tan2cos2 sin2等于()A.916B 916C54D.54(2)已知 sin5 a(a1，a0)，求 cos145tan115tan95cos265 的值听前试做(1)方程 3x2x20 的根为 x11，x223，由题知 cos 23，sin 53，tan 52.原式cos sin tan2sin cos tan254.(2)cos145tan115tan95cos265 cos5 tan5 tan5cos5sin5 sin5cos25aa1a2a32a1
22、a2.答案：(1)D 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1已知 sin 12 13，则 cos712 的值为_解析：cos712 cos2 12sin 1213.答案：132已知 为第三象限角，f()sin2 cos32 tantansin.(1)化简 f()；(2)若 cos32 15，求 f()的值解：(1)f()sin2 cos32 tantansincos sin tan tan sin cos.(
23、2)cos32 15，sin 15，从而 sin 15.又 为第三象限角，cos 1sin22 65，f()cos 2 65.课堂归纳感悟提升方法技巧1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用2三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式 tan sin cos 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan4易错防范1
24、利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化全盘巩固一、选择题1(2016商丘模拟)sin(600)的值为()A.32B.22C1D.33解析：选 A sin(600)sin(720120)sin 120 32.2已知 tan()34，且 2，32，则 sin2()A.45B45C.35D35解析：选 B tan()34tan 34.又因为 2，32，所以 为第三象限的角，所以 sin2 cos 45.3已知 2tan sin 3，20，
25、则 sin()A.32B 32C.12D12解析：选 B 因为 2tan sin 3，所以2sin2cos 3，所以 2sin23cos，即 22cos23cos，所以 cos 12或 cos 2(舍去)，又20，所以 sin 32.4已知 f()sincos2costan ，则 f313的值为()A.12B13C12D.13解析：选 C f()sin cos cos tan cos，f313cos313cos103cos 312.5已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 015)的值为()A1B1C3D3解析：选 D f(4)asin(4)bcos(4)a
26、sin bcos 3，f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin()bcos()asin bcos(asin bcos)3.即 f(2 015)3.二、填空题6.12sin 40cos 40cos 40 1sin250_.解析：原式 sin240cos2402sin 40cos 40cos 40cos 50|sin 40cos 40|sin 50sin 40|sin 40sin 50|sin 50sin 40sin 50sin 40sin 50sin 401.答案：17(2015四川高考)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_解析：由 s
27、in 2cos 0，得 tan 2.所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21 4141 1.答案：18若 f(cos x)cos 2x,则 f(sin 15)_.解析：f(sin 15)f(cos 75)cos 150cos(18030)cos 30 32.答案：32三、解答题9已知 sin 45，2.(1)求 tan 的值；(2)求sin22sin cos 3sin2cos2的值解：(1)sin2cos21，cos2 925.又2，cos 35.tan sin cos 43.(2)由(1)知，sin22sin cos 3sin2cos2
28、tan22tan 3tan21 857.10已知在ABC 中，sin Acos A15.(1)求 sin Acos A 的值；(2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求 tan A 的值解：(1)sin Acos A15，两边平方得 12sin Acos A 125，sin Acos A1225.(2)由 sin Acos A12250，且 0A，可知 cos A0，cos A0，sin Acos A75，由，可得 sin A45，cos A35，tan Asin Acos A453543.冲击名校1已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin 的值为()A 32B
29、.32C34D.34解析：选 B 54 32，cos 0，sin 0 且|cos|sin|，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.2若 sin，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为()A1 5B1 5C1 5D1 5解析：选 B 由题意知：sin cos m2，sin cos m4.(sin cos)212sin cos，m24 1m2，解得 m1 5，又 4m216m0，m0 或 m4，m1 5.3已知 sin 12cos，且 0，2，则 cos 2sin4的值为_解析：法一：由题意得 sin cos 12，因为
30、(sin cos)2(sin cos)22，即(sincos)2 1222，所以(sin cos)274.又 0，2，所以 sin cos 72，所以cos 2sin4cos2sin222 sin cos 2(sin cos)142.法二：由题意得 sin cos 12，所以 2sin4 12，sin4 24.又 0，2，所以 40，4，所以 cos4 144，cos 2sin22sin222sin4cos4 2 24 144 74，所以 cos 2sin4 7424 142.答案：1424已知 2，2，(0，)，若等式 sin(3)2cos2，3cos()2cos()同时成立，则 _.解析：
31、由诱导公式可得sin 2sin，3cos 2cos，22 得 sin23cos22，解得cos212.又 2，2，所以 cos 22，代入得 cos 32.又(0，)，所以 6，sin 12，代入得 sin 22，故 4，所以 512.答案：5125已知关于 x 的方程 2x2(31)xm0 的两根分别是 sin 和 cos，(0,2)，求：(1)sin2sin cos cos 1tan 的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时 的值解：(1)原式sin2sin cos cos 1sin cos sin2sin cos cos2cos sin sin2cos2sin cos sin cos
32、.由条件知 sin cos 312，故sin2sin cos cos 1tan 312.(2)由已知，得 sin cos 312，sin cos m2，又 12sin cos(sin cos)2，可得 m 32.(3)由sin cos 312，sin cos 34知sin 32，cos 12，或sin 12，cos 32.又(0,2)，故 6或 3.第三节 三角函数的图象与性质考纲要求：1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在2，2 上的性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xyc
33、os xytan x图象定义域RRxx2k，kZ值域1,11,1R单调性递增区间：2k2，2k2(kZ)；递减区间：2k2，2k32(kZ)递增区间：2k，2k(kZ)；递减区间：2k，2k(kZ)递增区间：k2，k2(kZ)最值x2k2(kZ)时，ymax1；x2k2(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：k2，0(kZ)对称中心：k2，0(kZ)对称轴：xk2，kZ对称轴：xk，kZ无对称轴周期22自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ysin x 在
34、0，2 上是增函数()(2)ysin x 在第一、四象限是增函数()(3)所有的周期函数都有最小正周期()(4)ytan x 在整个定义域上是增函数()(5)yksin x1(xR)的最大值为 k1.()(6)ysin|x|为偶函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数 y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在2，2 上是增函数，在，2 和2，上都是减函数C在0，上是增函数，在，0 上是减函数D在2，和，2 上是增函数，在2，2 上是减函数答案：B3函数 ysin2x4 的最小正周期 T_.答案：4函数 ytanx6 1 的定义域为_答案：xxk
35、3，kZ5函数 y32cosx4 的最大值为_，此时 x_.答案：5 34 2k(kZ)典题 1(1)函数 ylg(2sin x1)12cos x的定义域是_(2)函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为_听前试做(1)要使函数 ylg(2sin x1)12cos x有意义，则2sin x10，12cos x0，即sin x12，cos x12.解得 2k3x2k56，kZ.即函数的定义域为2k3，2k56，kZ.(2)0 x9，36x376，32 sin6x3 1，故 32sin63 2.即函数 y2sin6x3(0 x9)的最大值为 2，最小值为 3.所以最大值与最小值的
36、和为 2 3.答案：(1)2k3，2k56，kZ(2)2 3探究 1 若将本例(2)中的函数换为“y3sin x2cos2x，x6，76”，如何解决？解：x6，76，sin x12，1.又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin x14278，当 sin x14时，ymin78；当 sin x12或 sin x1 时，ymax2.故函数的最大值与最小值的和为 278238.探究 2 若将本例(2)中的函数换为“ysin xcos xsin xcos x，x0，”，如何求解？解：令 tsin xcos x，又 x0，t 2sinx4，t1,2 由 tsin xcos x
37、，得 t212sin xcos x，即 sin xcos x1t22.原函数变为 yt1t22，t1，2 即 y12t2t12.当 t1 时，ymax121121；当 t1 时，ymin121121.故函数的最大值与最小值之和为 0.探究 3 若将本例(2)中的函数换为“ysin x(cos xsin x)，x0，4”，如何求解？解：ysin x(cos xsin x)sin xcos xsin2x12sin 2x1cos 2x212(sin 2xcos 2x)12 22 sin2x4 12.0 x4，42x434，当 2x42，即 x8时，ymax 212.当 2x44或 2x434，即 x
38、0 或 x4时，ymin0，故函数的最大值与最小值之和为 212.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xk 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin2xbsin xk 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)三角函数的单调性和周期性是每年高考命题的
39、热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求已知三角函数的单调区间和周期典题 2 写出下列函数的单调区间和周期：(1)ysin2x3；(2)ytan2x3；(3)y|tan x|.听前试做(1)ysin2x3 sin2x3，它的递增区间是 ysin2x3 的递减区间，它的递减区间是 ysin2x3 的递增区间由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.由 2k22x32k32，kZ，得 k512xk1112，kZ.故所给函数的递减区间为k 12，k512，kZ；递增区间为k512，k1112，kZ.周期 T 2|2|.(2)k22x
40、3k2(kZ)得 k62xk56(kZ)，即k2 12x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定角度二：已知三角函数的单调区间或周期求参数典题 3(1)若函数 f(x)2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T0，函数 f(x)sinx4 在2，上是减函数，则 的取值范围是_听前试做(1)由题意知，1k2，即 k2k.又 kN，所以 k2 或 k3.
41、(2)由2x，得24x44，由题意知24，4 22k，32 2k(kZ)且222，则2422k，kZ，432 2k，kZ，且 02，故1254.答案：(1)2 或 3(2)12，54已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解典题 4(1)若函数 f(x)sinx3(0,2)是偶函数，则()A.2B.23C
42、.32D.53(2)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2听前试做(1)由已知 f(x)sinx3 是偶函数，可得3k2，kZ，即 3k32(kZ)，又 0,2，所以 32.(2)由题意得 3cos243 3cos23 2 3cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.答案：(1)C(2)A函数 f(x)Asin(x)的奇偶性和对称性(1)若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.(2)对于函数 yA
43、sin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测 f(x0)的值进行判断(3)求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“x”看作一个整体，然后根据 ysin x 和 ycos x 的图象的对称轴或对称中心进行求解1已知函数 ysin x(0)在区间0，2 上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则 的取值集合为()A.13，23，1B.16，13C.13，23D.16，23解析：选 A 由题意知 22，3k，即00)的形式2对于函数的性质(定
44、义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t 的性质3函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 T2|，函数 ytan(x)的最小正周期为 T|.4三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式5在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设 yf(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx0 是对称轴方程f(x0)A，g(x0)A；(x0,0)是对称中心f(x0)0，g(x0)0.易错防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参
45、数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求函数 yAsin(x)的单调区间时要注意 的符号，尽量化成 0 时的情况全盘巩固一、选择题1(2015四川高考)下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是()Aycos2x2Bysin2x2Cysin 2xcos 2xDysin xcos x解析：选 A ycos2x2 sin 2x，最小正周期 T22，且为奇函数，其图象关于原点对称，故 A 正确；ysin2x2 cos 2x，最小正周期为，且为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 B 不正确；C，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C，D 不正确2若函数 f(x)同时具有以下两个性
46、质：f(x)是偶函数；对任意实数 x，都有 f4xf4x.则 f(x)的解析式可以是()Af(x)cos xBf(x)cos2x2Cf(x)sin4x2Df(x)cos 6x解析：选 C 由题意可得，函数 f(x)是偶函数，且它的图象关于直线 x4对称f(x)cos x 是偶函数，f 4 22，不是最值，故不满足图象关于直线 x4对称，故排除 A.函数 f(x)cos2x2 sin 2x 是奇函数，不满足条件，故排除 B.函数 f(x)sin4x2 cos 4x 是偶函数，f 4 1，是最小值，故满足图象关于直线 x4对称，故 C 满足条件函数 f(x)cos 6x 是偶函数，f 4 0，不是
47、最值，故不满足图象关于直线 x4对称，故排除D.3函数 ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32 内的图象是()A B C D解析：选 D ytan xsin x|tan xsin x|2tan x，x2，2sin x，x，32.4函数 f(x)sin2x4 在区间0，2 上的最小值为()A1B 22C0D.22解析：选 B 因为 0 x2，所以42x434，由正弦函数的图象知，1sin2x4 22，所以函数 f(x)sin2x4 在区间0，2 上的最小值为 22.5已知曲线 f(x)sin 2x 3cos 2x 关于点(x0,0)成中心对称，若 x00，2，则 x0()A
48、.12B.6C.3D.512解析：选 C 由题意可知 f(x)2sin2x3，其对称中心为(x0,0)，故 2x03k(kZ)，x06k2(kZ)，又 x00，2，k1，x03.二、填空题6设函数 f(x)3sin2x4，若存在这样的实数 x1，x2，对任意的 xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_解析：对任意 xR，都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，f(x1)，f(x2)分别为函数 f(x)的最小值和最大值，|x1x2|的最小值为12T12222.答案：27设函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 与直线 y3 的交点的横坐标构成以 为公差的等差数列
49、，且 x6是 f(x)图象的一条对称轴，则函数 f(x)的单调递增区间为_解析：由题意得 A3，T，2.f(x)3sin(2x)又 f 6 3 或 f 6 3，26k2，kZ，6k，kZ.又|2，6，f(x)3sin2x6.令22k2x622k，kZ，得3kx6k，kZ，函数 f(x)的单调递增区间为3k，6k，kZ.答案：3k，6k，kZ8已知 x(0，关于 x 的方程 2sinx3 a 有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为_解析：令 y12sinx3，x(0，y2a，作出 y1 的图象如图所示若 2sinx3 a 在(0，上有两个不同的实数解，则 y1 与 y2 应有两个不同的交点
50、，所以 3a2.答案：(3，2)三、解答题9已知函数 f(x)sin(x)023 的最小正周期为.(1)求当 f(x)为偶函数时 的值；(2)若 f(x)的图象过点6，32，求 f(x)的单调递增区间解：由 f(x)的最小正周期为，则 T2，2，f(x)sin(2x)(1)当 f(x)为偶函数时，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，展开整理得 sin 2xcos 0，由已知上式对xR 都成立，cos 0.023，2.(2)f(x)的图象过点6，32 时，sin26 32，即 sin3 32.又023，330.从而 g()1cos 1 1sin214515.(2)f(x)g(x)等价于
51、 3sin x1cos x，即 3sin xcos x1.于是 sinx6 12.从而 2k6x62k56，kZ，即 2kx2k23，kZ.故使 f(x)g(x)成立的 x 的取值集合为 x2kx2k23，kZ.冲击名校1已知函数 f(x)sin x 3cos x(0)，f 6 f 2 0，且 f(x)在区间6，2 上单调递减，则()A3B2C6D5解析：选 B f(x)在6，2 上单调递减，且 f 6 f 2 0，f6220，f(x)sin x 3cos x2sinx3，f622f 3 2sin33 0，33k(kZ)，又12226，0，2.2函数 ysin(x)0且|0)和 g(x)3co
52、s(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0，2，则 f(x)的取值范围是_解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故 2，所以 f(x)3sin2x6，当 x0，2 时，62x656，所以12sin2x6 1，故 f(x)32，3.答案：32，34已知函数 f(x)sin2x6，其中 x6，a.若 f(x)的值域是12，1，则 a 的取值范围是_解析：若6x3，则62x656，此时12sin2x6 1，即 f(x)的值域是12，1.若6xa，则32x2a，62x62a6.因为当 2x66或 2x676 时，sin2x6 12，所以要使 f(x)的值域是12，1，则22
53、a676，即32a，所以6a2，即 a 的取值范围是6，2.答案：6，2第四节 函数 yAsin(x)的图象及应用考纲要求：1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率位相初相AT2f1T2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x 2322x02322yAsin(x)0A0
54、A03.函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤 自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(2)将 y 3sin 2x 的 图 象 向 左 平 移4个 单 位 后 所 得 图 象 的 解 析 式 是 y 3sin2x4.()(3)ysinx4 的图象是由 ysinx4 的图象向右移 2 个单位得到的()(4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案：(1)(2)(3)(4)2为了得到函数 ysin(x1)的图象
55、，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点()A向左平行移动 1 个单位长度B向右平行移动 1 个单位长度C向左平行移动 个单位长度D向右平行移动 个单位长度解析：选 A 由图象平移的规律“左加右减”，可知选 A.3函数 y23sin12x4 的振幅为_，周期为_，初相为_答案：23 4 44用“五点法”作函数 y2sin13x6 的图象，试写出相应的五个点坐标答案：2，0，(2，2)，72，0，(5，2)，132，0典题 1(2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为512，0，求 的最小
56、值听前试做(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6，数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050且函数解析式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6，则 g(x)5sin2x26.因为函数 ysin x 图象的对称中心为(k，0)，kZ，令 2x26k，kZ，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，所以令k2 12512，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.探究 1 在本例(2)中，若 6，求 yg(x)的图象离原点 O 最近的对称中心解：由(1)知 f(x)5
57、sin2x6，因此 g(x)5sin2x6 65sin2x6.因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x6k，kZ，解得 xk2 12，kZ.即 yg(x)图象的对称中心为k2 12，0，kZ，其中离原点 O 最近的对称中心为 12，0.探究 2 在本例条件下，如何由 ysin x 的图象变换得到 yf(x)的图象？函数 yAsin(x)(A0，0)的图象作法(1)五点法：用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数 ysin x 的图象通
58、过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”1(2015山东高考)要得到函数 ysin 4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移 12个单位 B向右平移 12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位解析：选 B 由 ysin4x3 sin4x 12得，只需将 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位即可，故选 B.2将函数 yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整个图象沿 x 轴向左平移2个单位长度，得到的曲线与 y12sin x 的图象相同，则 f(x)_.解析：把 y12sin x
59、的图象向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式为 y12sinx2，将所得图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12得到的图象对应的函数解析式为 y12sin2x2 12cos 2x，故 f(x)12cos 2x.答案：12cos 2x典题 2(1)(2015新课标全国卷)函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为()A.k14，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ(2)(2016株洲模拟)已知函数 f(x)Asin(x)，xR 其中 A0，0，20)来确定；(4)的确定：由函数 yAsin(
60、x)k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为即令 x0，x确定.1.(2016开封模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00，20，22的图象关于直线 x3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值；(2)当 x0，2 时，求函数 yf(x)的最大值和最小值听前试做(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2T 2.又因为 f(x)的图象关于直线 x3对称，所以 23k2，kZ，由20，0，|2的部分图象如图所示，则()A6B.6C3D.3解析：选 D 由图可知 A2，T43 12，故 2，又 f12 2，所以 2
61、 1222k(kZ)，故 32k，kZ，又|0，所以 mmin6.5设函数 yAsin(x)(A0，0)在 x2时，取最大值 A，在 x32 时，取最小值A，则当 x 时，函数 y 的值()A仅与 有关B仅与 有关C等于零D与，均有关解析：选 C 2322，根据函数 yAsin(x)的图象可知，x 时，函数 y 的值为0.正确答案为 C.二、填空题6函数 f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线 y4所得线段长为4，则 f 4 _.解析：依题意4，4.f(x)tan 4x.f 4 tan 0.答案：07将函数 f(x)sin(x)0，22图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
62、再向右平移6个单位长度得到 ysin x 的图象，则 f6_.解析：把函数 ysin x 的图象向左平移6个单位长度得到 ysinx6 的图象，再把函数ysinx6 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 f(x)sin12x6 的图象，所以 f 6 sin1266 sin4 22.答案：228某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos6x6(x1,2,3，12)来表示，已知 6 月份的平均气温最高，为 28，12 月份的平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_.解析：依题意知，a2818223，A281825，y235
63、cos6x6，当 x10 时，y235cos64 20.5.答案：20.5三、解答题9已知函数 f(x)2sin2x4 1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数 yf(x)在2，2 上的图象解：(1)振幅为 2，最小正周期 T，初相为4.(2)图象如图所示10某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos 12tsin 12t，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为 f(t)10232 cos 12t12sin 12t 102sin12t3，又 0
64、t24，所以3 12t311 时实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此76 12t3116，即 10t0，f(0)f(2)，即 f(0)f(2)综上，f(0)f(2)f(2)故选 A.2函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2的部分图象如图所示，若 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)()A1B.12C.22D.32解析：选 D 观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x)将6，0 代入上式得 sin3 0，由|2，得 3，则 f(x)sin2x3.函数图象的对称轴
65、为 x632 12.又 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，x1x22 12，x1x26，f(x1x2)sin263 32.故选 D.3将函数 f(x)2sinx3(0)的图象向左平移 3个单位，得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)在0，4 上为增函数，则 的最大值为_解析：g(x)2sinx 3 3 2sin x，因为 yg(x)在0，4 上为增函数，所以2144，即 2，所以 的最大值为 2.答案：24(2016青岛模拟)已知函数 f(x)4cos xsinx6a(0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 a 和 的值；(2)求函数 f(x)在0
66、，上的单调递减区间解：(1)f(x)4cos xsinx6 a4cos x 32 sin x12cos xa2 3sin xcos x2cos2x11a 3sin 2xcos 2x1a2sin2x61a.当 sin2x6 1 时，f(x)取得最大值 21a3a，又 f(x)图象上最高点的纵坐标为 2，3a2，a1.又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期 T，22T 2，1.(2)由(1)得 f(x)2sin2x6，由22k2x632 2k，kZ，得6kx23 k，kZ.令 k0，得6x23，函数 f(x)在0，上的单调递减区间为6，23.5.已知函数 f(x)2cos
67、xcos22sin(x1)sin cos x02的部分图象如图所示(1)求 的值及图中 x0 的值；(2)将函数 f(x)的图象上的各点向左平移16个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3 倍，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间12，13 上的最大值和最小值解：(1)f(x)2cos xcos22sin(x1)sin cos xcos x2cos221 sin xsin cos xcos sin xsin cos(x)由题图可知，cos 32，又 02，所以 6.又 cosx06 32，所以 x06116，所以 x053.(2)由(1)可知 f(x)cos
68、x6，将图象上的各点向左平移16个单位长度得到 ycosx16 6 cosx3 的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 3倍后得到 g(x)3cosx3 的图象因为 x12，13，所以6x323.所以当 x30，即 x13时，g(x)取得最大值 3；当 x323，即 x13时，g(x)取得最小值 32.第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒
69、等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos_cos_sin_sin_(C()sin()sin_cos_cos_sin_(S()sin()sin_cos_cos_sin_(S()tan()tan tan 1tan tan (T()tan()tan tan 1tan tan (T()(2)公式变形tan tan tan()(1tan tan)tan tan tan()(1tan tan)2二倍角公式(1)公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2si
70、n22cos2112sin2，tan 2 2tan 1tan2.(2)公式变形cos21cos 22，sin21cos 22；1sin 2(sin cos)2,1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(3)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定()(4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意
71、角，都成立()(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(6)存在角，使得 sin 22sin 成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知 sin 35，是第四象限角，则 cos4 _.答案：7 2103计算 cos 42 cos 18cos 48 cos 72的值为_答案：124若 tan()25，tan4 14，则 tan4 的值为_答案：3225已知 sin()35，则 cos 2_.答案：7256计算：tan 7.51tan27.5_.答案：2 32典题 1(1)化简：1sin cos sin2cos222cos(0)；(2)求值：1cos 202sin 2
72、0 sin 101tan 5tan 5；sin 50(1 3tan 10)听前试做(1)由(0，)，得 020，22cos 4cos222cos2.又(1sin cos)sin2cos22sin2cos22cos22 sin2cos22cos2sin22cos222cos2cos.故原式2cos2cos 2cos2cos.(2)原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin
73、 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin30102sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50 cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.三角函数式的化简常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，
74、能求值的求出值，减少角的个数(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一三角函数的条件求值问题是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度较小，且主要有以下几个命题角度：角度一：给值求值问题典题 2(1)(2016合肥联考)已知，为锐角，cos 17，sin()5 314，则 cos _.(2)(2015广东高考)已知 tan 2.求 tan4 的值；求sin 2sin2sin cos cos 21的值听前试做(1)为锐角，sin 1 1724 37.，0，2，0.又sin()2，cos()1114.cos cos()cos()cos sin()sin 1114175
75、 314 4 37 499812.(2)tan4 tan tan 41tan tan 4 211213.sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 2 224221.答案：(1)12解题模板 解决三角函数给值求值问题的一般步骤角度二：给值求角问题典题 3(1)设，为钝角，且 sin 55，cos 3 1010，则 的值为()A.34B.54C.74D.54 或74(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_听前试做(1)，为钝角，sin 55，cos 3 1010，cos 2 55，si
76、n 1010，cos()cos cos sin sin 22 0.又(，2)，32，2，74.(2)tan tan()tantan 1tantan 121711217130，00，022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案：(1)C(2)341解决给值求角问题应遵循以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是2，2，选正弦较好2解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的
77、范围(3)根据角的范围写出所求的角典题 4(2015天津高考)已知函数 f(x)sin2xsin2x6，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间3，4 上的最大值和最小值听前试做(1)由已知，有 f(x)1cos 2x21cos2x321212cos 2x 32 sin 2x 12cos 2x 34 sin 2x14cos 2x12sin2x6.所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间3，6 上是减函数，在区间6，4 上是增函数，且 f3 14，f6 12，f 4 34，所以 f(x)在区间3，4 上的最大值为 34，最小值为12.三角恒等变形的综合
78、应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为 yAsin(x)b 的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题已知函数 f(x)2cos2x12 3sin xcos x(01)，直线 x3是函数 f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移23 个单位长度得到的，若 g23 65，0，2，求 sin 的值解：(1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin2x6，由于直线 x3是函数 f(x)2sin2x6 的图象的一条对称
79、轴，所以 sin23 6 1，因此23 6k2(kZ)，解得 32k12(kZ)，又 01，所以 12，所以 f(x)2sinx6.由 2k2x62k2(kZ)，得 2k23 x2k3(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k23，2k3(kZ)(2)由题意可得 g(x)2sin12x23 6，即 g(x)2cosx2，由 g23 2cos12232cos6 65，得 cos6 35，又 0，2，故6623，所以 sin6 45，所以 sin sin6 6 sin6 cos6cos6 sin645 32 35124 3310.课堂归纳感悟提升方法技巧1三角函数求值的类型及方法(1)给角
80、求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)给值求角：实质是转化为给值求值，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围2应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某
81、个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变形公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等3常见的配角技巧()；()；12()()；12()()等4降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22.5配方变形：1cos 2cos22，1cos 2sin22.易错防范1在三角函数求值时，往往要估计角的范围再求值2在(0，)范围内，sin m(0m1)所对应的角 不是唯一的.全盘巩固一、选择题1(2015新课标全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32 B.32C12D.12解析：选 D sin 20cos 10cos 160sin 10sin
82、20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 3012，故选 D.2(2016抚顺模拟)已知 sin 213，则 cos24()A.13B.23C23D13解析：选 B cos24 1cos2221sin 221132 23.3(2016贵阳模拟)已知 sin6 13，则 cos23 的值是()A.79B.13C13D79解析：选 D 法一：sin6 13，cos32cos2612sin26 79，cos23cos23 2 cos32cos3279.法二：sin6 13，cos3 13，cos232cos23 129179.4已知锐角，满足 sin cos 16，tan t
83、an 3tan tan 3，则，的大小关系是()A4B4C.4D.44.又 tan tan 3tan tan 3，tan()tan tan 1tan tan 3，3，又 4，4.5(2016成都模拟)若 sin 2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A.74B.94C.54 或74D.54 或94解析：选 A 因为 4，所以 22，2，又 sin 2 55，所以 22，4，2，故 cos 22 55.又，32，所以 2，54，故 cos()3 1010.所以 cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()2 55 3 101055 1010 22，且 54，
84、2，故 74.二、填空题6.tan4 cos 22cos24_.解析：tan4 cos 22cos24cos4sin42sin4 cos42cos241.答案：17函数 f(x)sin2x4 2 2sin2x 的最小正周期是_解析：f(x)22 sin 2x 22 cos 2x 2(1cos 2x)22 sin 2x 22 cos 2x 2sin2x4 2，最小正周期 T22.答案：8已知 cos4sin423，且 0，2，则 cos23 _.解析：cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又 0，2，2(0，)，sin 2 1cos22 53，cos23 12c
85、os 2 32 sin 21223 32 53 2 156.答案：2 156三、解答题9已知 2，且 sin2cos2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值解：(1)已知 sin2cos2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 1sin2 32.(2)因为2，2，所以22.又 sin()35，得 cos()45.cos cos()cos cos()sin sin()32 451235 4 3310.10已知函数 f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求 f 6 的值；(2)若 sin 35，且 2，求 f2 24.解：(
86、1)f 6 cos26sin6cos632212 32 3 34.(2)因为 f(x)cos2xsin xcos x1cos 2x212sin 2x1212(sin 2xcos 2x)12 22 sin2x4，所以 f2 24 12 22 sin 12412 22 sin3 12 22 12sin 32 cos .因为 sin 35，且 2，所以 cos 45，所以 f2 24 12 221235 32 45103 24 620.冲击名校1已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，且，2，2，则()A.3B.3或23C3或23D23解析：选 D 由题意得 tan tan 3 30
87、，tan()tan tan 1tan tan 3，且 tan 0，tan 0，又，2，2，故，2，0，(，0)，23.2(2016大连模拟)已知 sin4 7 210，cos 2 725，则 sin()A.45B45C.35D35解析：选 C 由 sin4 7 210 得 sin cos 75，由 cos 2 725得 cos2sin2 725，所以(cos sin)(cos sin)725.由可得 cos sin 15，由可得 sin 35，故选 C.3若 02，20，cos4 13，cos42 33，则 cos2 _.解析：02，20，4434，442sin B，则 AB.()(2)在AB
88、C 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(3)在ABC 中，有 sin Asin(BC)()(4)在ABC 中，asin Aabcsin Asin Bsin C.()(5)在ABC 中，若 a2b2c2，则ABC 为钝角三角形()(6)公式 S12absin C 适合求任意三角形的面积()(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2在ABC 中，若 A60，B45，c20，则 a_.答案：10(3 2 6)3在ABC 中，若 a15，b10，A60，则 cos B_.答案：634已知ABC 中，a2，b3，cos C35，则此
89、三角形的面积 S 的值为_答案：125典题 1(1)(2015北京高考)在ABC 中，a3，b 6，A23，则B_.(2)(2015重庆高考)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，3sin A2sin B，则 c_.(3)(2015新课标全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.求sin Bsin C；若BAC60，求B.听前试做(1)在ABC 中，根据正弦定理 asin A bsin B，有3sin236sin B，可得 sin B 22.因为A 为钝角，所以B4.(2)3sin A2sin B，3a2b.又 a2，b
90、3.由余弦定理可知 c2a2b22abcos C，c2223222314 16，c4.(3)由正弦定理，得ADsin BBDsin BAD，ADsin CDCsin CAD.因为 AD 平分BAC，且 BD2DC，所以sin Bsin CDCBD12.因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB)32 cos B12sin B.由知 2sin Bsin C，所以 tan B 33，所以B30.答案：(1)4(2)4(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两
91、个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 cos B13，a3，求 c 的值解：(1)由正弦定理可得 b2c2a2bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12，因为 A(0，)，所以 A3.(2)由(1)可知 sin A 32，因为 cos B13，B 为ABC 的内角，所以 sin B2 23
92、，故 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 32 13122 23 32 26.由正弦定理 asin Acsin C得c asin Asin C 332 32 2612 63.典题 2 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos BasinA，则ABC 的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定听前试做 依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有 sin(BC)sin2A，从而 sin(BC)sin Asin2A，解得 sin A1，A2，故选 B.答案：B探究 1
93、 若将本例条件改为“2sin Acos Bsin C”，试判断ABC 的形状解：法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB，故ABC 为等腰三角形法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得2aa2c2b22acca2b2ab，故ABC 为等腰三角形探究 2 若将本例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin A
94、cos Bb22cos AsinBa2，即 a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知 a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又 sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC 中，02A2，02B2，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2.ABC 为等腰三角形或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20 或 a2b2c20
95、.即 ab 或 a2b2c2.ABC 为等腰三角形或直角三角形探究 3 若将本例条件改为：“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且 sin Bsin C1”，试判断ABC 的形状解：由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc，cos A12，sin A 32，则 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又 sin Bsin C1，所以 sin B sin C14，解得 sin Bsin C12.因为 0B2，0CBabsin Asin Bcos Acos B.易错防范1在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范
96、围，防止出现增解、漏解2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论全盘巩固一、选择题1(2016兰州模拟)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2asinB，则 A()A30B45C60D75解析：选 A 因为在锐角ABC 中，b2asin B，由正弦定理得，sin B2sin Asin B，所以 sin A12，又 0A90，所以 A30.2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c1，B45，cos A35，则 b()A.53B.107C.57D.5 2
97、14解析：选 C 因为 cos A35，所以 sin A 1cos2A1 35245，所以 sin Csin180(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B45cos 4535sin 457 210.由正弦定理 bsin Bcsin C，得 b 17 210sin 4557.3钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A5B.5C2D1解析：选 B 由题意可得12ABBCsin B12，又 AB1，BC 2，所以 sin B 22，所以 B45或 B135.当 B45时，由余弦定理可得 AC AB2BC22ABBCcos B1，此时 ACAB1，BC
98、2，易得 A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以 B135.由余弦定理可得 AC AB2BC22ABBCcos B 5.4(2016渭南模拟)在ABC 中，若 a2b2 3bc 且sinABsin B2 3，则 A()A.6B.3C.23D.56解析：选 A 因为sinABsin B2 3，故sin Csin B2 3，即 c2 3b，cos Ab2c2a22bc12b2 3bc4 3b2 6b24 3b2 32，所以 A6.5已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cbcasin Asin Csin B，则 B()A.6B.4C.3D.34解析：选 C 根据正弦定理：
99、asin A bsin Bcsin C2R，得cbcasin Asin Csin B acb，即 a2c2b2ac，得 cos Ba2c2b22ac12，故 B3.二、填空题6在ABC 中，若 b2，A120，三角形的面积 S 3，则三角形外接圆的半径为_解析：由面积公式，得 S12bcsin A，代入得 c2，由余弦定理得 a2b2c22bccos A2222222cos 12012，故 a2 3，由正弦定理，得 2R asin A2 332，解得 R2.答案：27(2015广东高考)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sin B12，C6，则 b_.解析：在
100、ABC 中，sin B12，0B，B6或 B56.又BC，C6，B6，A6623.asin A bsin B，basin Bsin A 1.答案：18(2016昆明模拟)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_.解析：如图，在ABD中，由正弦定理，得sinADBABsin BAD2 323 22.由题意知 0ADB60，所以ADB45，则BAD180BADB15，所以BAC2BAD30，所以C180BACB30，所以 BCAB 2，于是由余弦定理，得 ACAB2BC22ABBCcos 120 22 222 2 212 6.答案：6三、解答题9(2015安徽高考)在
101、ABC 中，A34，AB6，AC3 2，点 D 在 BC 边上，ADBD，求 AD 的长解：设ABC 的内角BAC，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，由余弦定理得 a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以 a3 10.又由正弦定理得 sin BbsinBACa33 10 1010，由题设知 0B4，所以 cos B 1sin2B1 1103 1010.在ABD 中，因为 ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD ABsin Bsin2B6sin B2sin Bcos B3cos B 10.10(2016太原模拟)已知
102、 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 所对的边，且 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b；(2)若 sin Csin(BA)2sin 2A，求 A 的值解：(1)c2，C3，由余弦定理得 4a2b22abcos3a2b2ab.ABC 的面积等于 3，12absin C 3，ab4，联立a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2)sin Csin(BA)2sin 2A，sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，sin Bcos A2sin Acos A，当 cos A0 时，A2；当 cos A0 时，sin B2sin A，由正弦定理得 b2a，联立a
103、2b2ab4，b2a，解得 a2 33，b4 33，b2a2c2.C3，A6.综上所述，A2或 A6.冲击名校1已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为()A.32B.3 32C.3D2 3解析：选 C 由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12.又 A(0，)，所以 A3，又 b2c2a2bc2bc4，即 bc4，故 SABC12bcsin A124 32 3，当且仅当 bc2 时，等号成立，则ABC
104、面积的最大值为 3.2在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S(ab)2c2，则 tan C 等于()A.34B.43C43D34解析：选 C 因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得 absin C2abcos C2ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，sin2C4sin Ccos C4cos2Csin2Ccos2C4，所以tan2C4tan C4tan2C14，解得 tan C43或 tan C0(舍去)，故选 C.3在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a
105、，b，c，且满足 sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，则abc 的取值范围为_解析：由正弦定理得 a2b2c2ab，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab12，C23.由正弦定理得abc sin Asin Bsin C2 33(sin Asin B)，又 AB3，B3A，sin Asin Bsin Asin3A sinA3.又 0A3，3A323，sin Asin B32，1，abc 1，2 33.答案：1，2 334在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 a 10，
106、cos B2 55，D 为 AC 的中点，求 BD 的长解：(1)因为 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，由正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，整理得 2a2 2b2 2c22bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc 2bc2bc 22，因为 A(0，)，所以 A4.(2)由 cos B2 55，得 sin B 1cos2B145 55，所以 cos Ccos(AB)cos(AB)22 2 55 22 55 1010.由正弦定理得 basin Bsin A 10 55222，所以 CD12AC1，在BCD 中，由余弦定理得 BD2(10)21221 10
107、101013，所以 BD13.第七节 解三角形应用举例考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似 4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之
108、比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)若点 P 在 Q 的北偏东 44，则 Q 在 P 的东偏北 46.()(5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设 为坡角，那么 cos 34.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在
109、观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为()Aa kmB.3a kmC.2a kmD2a km解析：选 B 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22a2cos 1203a2，故|AB|3a.3在上题的条件下，灯塔 A 在灯塔 B 的方向为()A北偏西 5B北偏西 10C北偏西 15D北偏西 20解析：选 B 由题意可知AB30，又 CB 与正南方向线的夹角为 40，故所求角为 403010，即灯塔 A 在灯塔 B 的方向为北偏西 10.4.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从
110、C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB 等于()A.a2 B.3a2 C.3a D.3a3解析：选 B 因为D30，ACB60，所以CAD30，故 CACDa.所以 ABasin 60 3a2.典题 1(1)要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则 A，B 之间的距离为_km.(2)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC50 m，ABC105，BCA45.则 A，B
111、两点的距离为_ m.听前试做(1)如图所示，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3(km)在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC 3sin 75sin 60 6 22.在ABC 中，由余弦定理，得AB2(3)26 2222 3 6 22cos 7532 3 35，AB 5(km)，即 A，B 之间的距离为5 km.(2)由正弦定理得ABsinBCABCsinCAB，ABBCsinBCAsinCAB50 221250 2(m)答案：(1)5(2)50 2【解题模板】求解距离问题的一般步骤典题 2 要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 4
112、5，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.听前试做 设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtABC 中，由ACB45，得 BCx.在 RtADB 中，由ADB30，得 BD 3x.在BDC 中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(3x)2x24022x40cos 120，解得 x40，所以电视塔高为 40 m.答案：40探究 1 在本例中，若ACB30，BCD60，DC100 m，且 CBDB40 m如何求解？解：设 CBx，则 DBx40.在BCD 中，由余弦定理得(x40)21002x22100
113、xcos 60，即(x40)21002x2100 x，解得 x420.又在 RtABC 中，ACB30，AB420tan 30，即 AB420tan 30420 33 140 3(m)，即电视塔的高度为 140 3 m.探究 2 在本例中，若电视塔的高度为 30 m，且在 D，C 两点的仰视角分别为 45和60，且DBC30，则 C、D 两点间的距离是多少米？解：因为 AB30，ADB45，ACB60，所以 BD30，BC10 3.在DBC 中，由余弦定理，得 CD10 3 m.即 C、D 两点间的距离为 10 3 m.高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是
114、空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin 45 BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 1006(m)答案：100 6典题 3 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东
115、45方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值听前试做 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需
116、要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.求解此类问题的关键是把目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长解题过程中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值解：如题中图所示，在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦
117、定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20 7.由正弦定理，得ABsinACBBCsinBACsinACBABBCsinBAC 217.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 77.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 302114.课堂归纳感悟提升方法技巧1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三
118、角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解易错防范1解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错全盘巩固一、选择题1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80解析：选 D 由条件及图可知
119、，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a.则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为()ABCD解析：选 D 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB.3在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30、60，则塔高是()A.4003米B.400
120、33米C200 3 米D200 米解析：选 A 如图所示，AB 为山高，CD 为塔高，则由题意知，在 RtABC 中，BAC30，AB200(米)则 ACABcos 30400 33(米)在ACD 中，CAD603030，ACD30，ADC120.由正弦定理得 CDsin 30ACsin 120，CDACsin 30sin 120 4003(米)4一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10
121、2 海里B10 3 海里C20 3 海里D20 2 海里解析：选 A 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/hB6 2 km/hC2 34 km/hD10 km/h解析：选 B 设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/
122、h，由题意知，sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v 21102 2122 1102145，解得 v6 2.二、填空题6江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN90030023010 3 32 30010 3(m)答案：10 37.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S
123、在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.解析：由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知BSsin 30 ABsin 45，BSABsin 30sin 45 3 2.答案：3 28.如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得BDC45，则塔 AB 的高是_米解析：在BCD 中，CD10，BDC4
124、5，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得 BCsin 45 CDsin 30，即 BCCDsin 45sin 3010 2.在 RtABC 中 tan 60ABBC，即ABBCtan 6010 6.答案：10 6三、解答题9如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为多少米？(取 21.4，31.7)解：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又
125、在ABC 中，BCsin AABsinACB，BC21 00012sin 1510 500(6 2)(m)CDAD，CDBCsinDBC10 500(6 2)22 10 500(31)7 350(m)故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m)10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(31)海里的 B 处有一艘走私船在A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解：设
126、缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD10 3t海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(31)2222(31)2cos 1206，解得 BC 6.又 BCsin AACsinABC，sinABCACsin ABC2sin 1206 22，ABC45，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得BDsinBCDCDsinCBD，sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD120
127、，BCD30，D30，BDBC，即 10t 6，解得 t 610小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟冲击名校1如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)mD30(31)m解析：选 C tan 15tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，BC60tan 6060tan 15120(31)(m)2一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人
128、在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在点 B 测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选 A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理，得(3h)2h210022h100cos 60，整理得 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得 h50 m，故水柱的高度是 50 m.3.如图所示，某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面 C 处和 D 处，已知 CD6 000 m，ACD4
129、5，ADC75，目标出现于地面 B 处时测得BCD30，BDC15，则炮兵阵地到目标的距离是_ m(结果保留根号)解析：ACD45，ADC75，CAD60.在ACD 中，由正弦定理可得 ADsin 45 CDsin 60，AD6 00022322 000 6(m)在BCD 中，由正弦定理得 BDsin 30CDsin 135，BD126 000223 000 2(m)，在 RtABD 中，由勾股定理可得 AB2BD2AD2，AB3 000 222 000 621 000 42(m)答案：1 000 424如图所示，长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处
130、1.4 m的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan _.解析：由题意，可得在ABC 中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得 AB2AC2BC22ACBCcosACB，即 3.521.422.8221.42.8cos()，解得 cos 516，所以 sin 23116，所以 tan sin cos 2315.答案：23155(2016辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域，点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于
131、点 A 北偏东 45且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45其中sin 2626，090 且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：(1)如图，AB40 2，AC10 13，BAC，sin 2626.由于 040AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QEAEAQ15.过点 E作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离在 RtQPE 中，PEQEsinPQEQEsinAQCQEsin
132、(45ABC)15 55 3 50，所以2244，因此 1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3.当 x32 时，53 2x383.所以 32 sin2x3 1.因此1f(x)32.故 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值分别为 32，1.解三角形多与三角恒等变换相综合，主要涉及两角和与差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题典题 2(2015天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14.(1)求 a 和 sin C 的值；(2)求 cos2A6 的值听前试
133、做(1)在ABC 中，由 cos A14，可得 sin A 154.由 SABC12bcsin A3 15，得 bc24.又由 bc2，解得 b6，c4.由 a2b2c22bccos A，可得 a8.由 asin Acsin C，得 sin C 158.(2)cos2A6 cos 2Acos 6sin 2Asin 6 32(2cos2A1)122sin Acos A157 316.解决此类问题一般利用正、余弦定理，进行边角互化求三角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解(2016兰州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a3cos Acsin C.(
134、1)求 A 的大小；(2)若 a6，求 bc 的取值范围解：(1)a3cos A csin C asin A，3cos Asin A，tan A 3.0A，A3.(2)asin A bsin Bcsin C6sin 34 3，b4 3sin B，c4 3sin C，bc4 3sin B4 3sin C4 3sin Bsin(AB)4 3sin Bsin3B12sinB6.6B656，612sinB6 12，即 bc(6,12三角函数性质与解三角形的综合问题多出现在解答题中，且第(1)问考查三角函数的性质，第(2)问考查解三角形问题典题 3 已知向量 mcos x2，1，n 3sin x2，co
135、s2x2，函数 f(x)mn1.(1)求函数 f(x)在0，上的最值，并求此时 x 的值；(2)将函数 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数 g(x)的图象若在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，g A2 12，a2，bc4，求ABC 的面积听前试做(1)f(x)3sin x2cos x2cos2x21 32 sin x12cos x12sinx6 12.x0，x66，56，当 x66，即 x0 时，f(x)min0，当 x62，即 x23 时，f(x)max32.当 x0 时，f(x)
136、min0，当 x23 时，f(x)max32.(2)将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 ysin2x6 12的图象，再将所得图象向左平移3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数 g(x)sin2x3 6 sin2x2cos 2x 的图象g A2 cos A12，又 0A，A3.在ABC 中，a2b2c22bccos A，22b2c22bc12，4(bc)22bcbc，即 4423bc，bc4.SABC12bcsin A12bcsin 3 34 bc 34 4 3.(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数
137、问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响(2016日照模拟)已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且函数 f(x)2cos xsin(xA)sin A 在 x512 处取得最大值(1)当 x0，2 时，求函数 f(x)的值域；(2)若 a7 且 sin Bsin C13 314，求ABC 的面积解：函数 f(x)2cos xsin(xA)sin A2cos xsin xcos A2cos xcos xsin Asin Asin 2xcos Acos 2xsin Asin(2xA)，又函数 f(x)在 x512 处取得最大
138、值，2512A2k2，其中 kZ，即 A32k，其中 kZ.(1)A(0，)，A3，又 x0，2，2xA3，23，32 sin(2xA)1，即函数 f(x)的值域为 32，1.(2)由正弦定理得 asin Abcsin Bsin C，则 sin Bsin Cbca sin A，即13 314 bc7 32，bc13.又 a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A，即 491693bc，bc40.故ABC 的面积 S12bcsin A1240 32 10 3.1已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，(2bc)cos Aacos C0.(1)求角 A 的
139、大小；(2)求函数 y 3sin BsinC6 的最大值解：(1)在ABC 中，由正弦定理得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，即 2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Asin(AC)sin B.又 sin B0，cos A12，又 0Ac.(1)求 ac 的值；(2)若ABC 的面积 S 74，求 a，c 的值解：(1)因为cos Asin Acos Csin Ccos Asin Ccos Csin Asin Asin CsinACsin Asin Csin Bsin Asin C，所以sin Bsin Asin C 1
140、sin B，即 sin2Bsin Asin C.由正弦定理可得 b2ac，又 b 2，所以 ac2.(2)S12acsin Bsin B 74，又 ac2 且 ac，所以 a2ac2，即 a 2，又 b 2，所以 AB，故角 B 一定为锐角，因此 cos B 1sin2B34.由余弦定理可知 cos Ba2c2b22ac34，所以 a2c25，由 ac2 且 ac，解得 a2，c1.4已知函数 f(x)sin2x6 4sin2x2(0)，其图象与 x 轴相邻两个交点的距离为2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经
141、过点3，0，求当 m 取得最小值时，g(x)在6，712 上的单调递增区间解：(1)f(x)sin2x6 4sin2x2sin 2xcos6cos 2xsin62(1cos 2x)2 32 sin 2x12cos 2x2cos 2x 32 sin 2x32cos 2x 312sin 2x 32 cos 2x 3sin2x3.由题意知 f(x)的周期为，1，故 f(x)3sin2x3.(2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位得到 g(x)的图象，则 g(x)3sin2x2m3.g(x)经过点3，0，3sin23 2m3 0，即 sin2m3 0，2m3k，kZ，解得 mk26，kZ，m
142、0，当 k0 时，m 取得最小值6.此时，g(x)3sin2x23.若6x712，则32x23 116，当32x23 2，即6x 12时，g(x)单调递增；当32 2x23 116，即 512x712 时，g(x)单调递增g(x)在6，712 上的单调递增区间为6，12 和512，712.5(2016淄博模拟)已知在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sinA62cos A.(1)若 cos C 63，求证：2a3c0；(2)若 B0，3，且 cos(AB)45，求 sin B 的值解：由 sinA6 2cos A，得 32 sin A12cos A2cos A，即
143、sin A 3cos A.因为 A(0，)，且 cos A0，所以 tan A 3，所以 A3.(1)证明：因为 sin2Ccos2C1，cos C 63，C(0，)，所以 sin C 33，由正弦定理知 asin Acsin C，即acsin Asin C323332，即 2a3c0.(2)因为 B0，3，所以 AB3B0，3，因为 sin2(AB)cos2(AB)1，所以 sin(AB)35，所以 sin BsinA(AB)sinAcos(AB)cos Asin(AB)4 3310.6设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 2abccos Bcos C.(1)求角
144、C 的大小；(2)设函数 f(x)cos(2xC)，将 f(x)的图象向右平移4个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，3 上的值域解：(1)a，b，c 是ABC 的内角 A，B，C 所对的三边，且 2abccos Bcos C，由正弦定理得 2sin Asin Bsin Ccos Bcos C，即(2sin Asin B)cos Ccos Bsin C，即 2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)ABC，sin(BC)sin A0，2cos C1，即 cos C 22.C 是ABC 的内角，C4.(2)由(1)可知 f(x)cos2
145、x4，g(x)fx4 cos2x4 4 cos2x4.0 x3，42x4512，又 cos512cos23 4 6 24，6 24cos2x4 1，g(x)在区间0，3 上的值域为6 24，1.考点一：简单的三角恒等变换1(2014新课标全国卷)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则()A32B22C32D22解析：选 B 由条件得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos(1sin)，sin()cos sin2，因为22，022，所以 2，所以 22.2(2014新课标全国卷)函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_解析：f(x)si
146、n(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，因为 xR，所以 f(x)的最大值为 1.答案：13(2013新课标全国卷)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.解析：f(x)sin x2cos x 5 55 sin x2 55 cos x 5sin(x)，其中 sin 25，cos 15，当 x 时，f(x)最大，即 22k(kZ)，22k(kZ)时函数 f(x)取得最大值，cos cos22ksin 2 55.答案：2 554(2013新课标全国卷)设 为第二象限角，若 tan412，则 sin cos
147、 _.解析：法一：由 在第二象限，且 tan4 12，因而 sin4 55，因而 sin cos 2sin4 105.法二：若将 tan4 12利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.又因为 在第二象限，所以 sin 110，cos 310，从而 sin cos 210 105.答案：1055(2015重庆高考)若 tan 2tan5，则cos310sin5()A1 B2 C3 D4解析：选 C cos310 cos52sin5，原式sin5sin5sin cos 5cos sin 5sin cos 5cos sin 5tan tan5tan tan5.又ta
148、n 2tan5，原式2tan5tan52tan5tan53.考点二：三角函数的图象与性质1(2015湖南高考)将函数 f(x)sin 2x 的图象向右平移 02 个单位后得到函数 g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2 的 x1，x2，有|x1x2|min3，则()A.512B.3C.4D.6解析：选 D 因为 g(x)sin 2(x)sin(2x2)，所以|f(x1)g(x2)|sin 2x1sin(2x22)|2.因为1sin 2x11，1sin(2x22)1，所以 sin 2x1 和 sin(2x22)的值中，一个为 1，另一个为1，不妨取 sin 2x11，sin(2x22)
149、1，则 2x12k12，k1Z，2x222k22，k2Z,2x12x222(k1k2)，(k1k2)Z，得|x1x2|k1k22.因为 02，所以 020)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数 yf(x)的图象关于直线 x 对称，则 的值为_解析：f(x)sin xcos x 2sinx4，因为 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线 x 对称，所以 f()必为一个周期上的最大值，所以有 42k2，kZ，所以 242k，kZ.又()22，即 22，所以 24，所以 2.答案：26(2015安徽高考)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求
150、 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值解：(1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4 1，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22.(2)由(1)知，f(x)2sin2x4 1.当 x0，2 时，2x44，54，由正弦函数 ysin x 在4，54 上的图象知，当 2x42，即 x8时，f(x)取得最大值 21；当 2x454，即 x2时，f(x)取得最小值 0.综上，f(x)在0，2 上的最大值为 21，最小值为 0.考点三：解三角形1(2015新课标全国卷)在平面四边形 ABCD
151、中，ABC75，BC2，则AB 的取值范围是_解析：如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F，则BFABBE.在等腰三角形 CFB 中，FCB30，CFBC2，BF 2222222cos 30 6 2.在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BEsin 752sin 30，BE212 6 24 6 2.6 2AB 6 2.答案：(6 2，6 2)2(2015广东高考)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c23，cos A 32 且 bc，则 b()A3B2 2C2D.3解析：选 C 由 a
152、2b2c22bccos A，得 4b2126b，解得 b2 或 4.又 bc，b2.3(2014江西高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为()A19B.13C1D.72解析：选 D 由正弦定理可得2sin2Bsin2Asin2A2sin Bsin A212 ba21，因为 3a2b，所以ba32，所以2sin2Bsin2Asin2A2 322172.4(2015山东高考)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B 33，sin(AB)69，ac2 3，求 sin A 和 c 的值解：
153、在ABC 中，由 cos B 33，得 sin B 63，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)69.因为 sin Csin B，所以 CB，可得 C 为锐角，所以 cos C5 39，因此 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 63 5 39 33 69 2 23.由 asin Acsin C，可得 acsin Asin C 2 23 c692 3c.又 ac2 3，所以 c1.5(2015陕西高考)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m()a，3b与 n()cos A，sin B 平行(1)求 A；(2)若 a 7，b2，求ABC
154、 的面积解：(1)因为 mn，所以 asin B 3bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A 3.由于 0A，所以 A3.(2)法一：由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而 a 7，b2，A3，得 74c22c，即 c22c30.因为 c0，所以 c3.故ABC 的面积为12bcsin A3 32.法二：由正弦定理，得7sin3 2sin B，从而 sin B 217.又由 ab，知 AB，所以 cos B2 77.故 sin Csin(AB)sinB3sin Bcos3cos Bsin33 2114.所以ABC
155、 的面积为12absin C3 32.6(2014湖南高考)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD 714，sinCBA 216，求 BC 的长解：(1)如题图，在ADC 中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD.故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)如题图，设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD 714，所以 sinCAD 1cos2CAD12 772 217，sinBAD 1cos2BAD1 71423 2114.于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，得 BCsin ACsinCBA.故 BC ACsin sinCBA7 322163.
