1、第3讲 带电粒子在复合场中的运动 【秒判正误】(1)当带电粒子在复合场受静电力和洛伦兹力平衡，则 带电体不可能做匀速直线运动。()(2)带电粒子在复合场中运动时所受的洛伦兹力有可能 会做功。()(3)速度选择器选出的粒子速度大小与粒子电荷量、电 性、质量无关。()(4)回旋加速器的半径越大，带电粒子获得的最大动能 就越大。()(5)利用回旋加速器加速带电粒子，要提高加速粒子的 最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径 R。()(6)磁流体发电机工作时两极板间电势差大于Bdv。()(7)处理“电偏转”和“磁偏转”的问题都是用类平抛 方法。()考点1 带电粒子在组合场中运动【典题突破】题型
2、1 电场+磁场【典例1】(2018全国卷)一足够长的条状区域内存 在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所 示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹。(2)求该粒子从M点射入时速度的大小。(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向 的
3、夹角为 求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的 时间。6，【解题思维】1.题型特征：电场+磁场+电场。2.题型解码：(1)模型构建：带电粒子在电场和磁场(组合场)中运动的问题。(2)方法处理：带电粒子在电场中做平抛运动，应用运动的分解进行分析，注意速度和位移的分析；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，注意半径和圆心角的分析；粒子由电场进入磁场时，速度与x轴正方向的夹角与做圆周运动的圆心角关系的利用。【解析】(1)粒子运动的轨迹如图甲所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧
4、电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为(见图乙)，速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有 qE=ma 式中q和m分别为粒子的电荷量和质量。由运动学公式有v1=at l=v0t v1=vcos 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 由几何关系得l=2Rcos 联立式得 2vqvBm R02EvBll(3)由运动学公式和题给数据得 联立式得 10vv cot 62 2q4 3EmBll设粒子由M点运动到N点所用的时间为t，则 式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 由式得 2()26t2tT
5、2 2 mTqBB3t(1)E18 lll答案：(1)图见解析(2)2 24 3EB3(3)(1)BE18lllll2EBll【触类旁通】(2018全国卷)如图，在y0的区域存 在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在yh0时，即 带电小球能进入区域 22202q B dh2m g2222q B dh2m g，(3)因为带电小球在、两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三 个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内 角为60，如图b所示，由几何关系可知 dRsin 60 联立计算得出 22222q B dh3m g答案：(1)小球带正电 mgq22
6、222222q B d2q B d(2)h(3)2m g3m g题型2 有约束条件【典例5】如图所示，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时 存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平 向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁 感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的 小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN 做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC。(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf。(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小
7、滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP。【解题思维】1.题型特征：带电粒子在叠加场中有约束运动。2.题型解码：(1)模型构建：粒子先变加速直线运动后类平抛运动；(2)方法处理：直线运动由牛顿第二定律或平衡条件处理，类平抛运动由运动的合成与分解处理。【解析】(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足 qvB+N=qE 小滑块在C点离开MN时，N=0 解得 CEvB(2)由动能定理得 解得 2fC1mghWmv022f2mEWmgh2B(3)如图所示，小滑块速度最大时，速度方向与电场 力、重力的合力方向垂
8、直。撤去磁场后小滑块将做类 平抛运动，等效加速度为g 则 由运动的合成与分解知 解得 22qEg()gm2222PDvvg t2222PDqEvv()g tm答案：22EmE(1)(2)mghB2B2222DqE(3)v()g tm【提分秘籍】处理带电粒子在复合场中运动的思路【加固训练】1.(多选)如图所示，空间存在水平向左的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B，在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球，不考虑两带电小球间的相互作用，两小球所带电荷量始终不变，关于小球的运动，下列说法正确的是()A.沿ab、ac方向抛出的带电小球都可能做直线运动 B.若沿ab运动小球做直线运动，则该小球
9、带正电，且一定是匀速运动 C.若沿ac运动小球做直线运动，则该小球带负电，可能做匀加速运动 D.两小球在运动过程中机械能均保持不变【解析】选A、B。根据左手定则，若小球带正电，沿ab抛出，可以做直线运动，同理，若小球带负电，沿ac抛出，可以做直线运动，选项A正确；若小球沿ab运动做直线运动，因速度会影响洛伦兹力大小，所以若小球做直线运动，一定处于平衡状态，必然是匀速直线运动，选项B正确、C错误；两小球在运动过程中，因电场力做功，小球的机械能不守恒，选项D错误。综上本题选A、B。2.如图所示，空间的某一区域存在着相互垂直的匀强 电场和匀强磁场，此区域的宽度为d，长度为2d，电场 强度为E，方向竖
10、直向下，磁感应强度为B。一个带电 粒子以某一初速度由中点A进入这个区域沿直线运动，从C点离开该区域。若射入时撤去磁场，其他条件不 变，则粒子从B点离开场区，沿电场方向偏移量为y；若射入时撤去电场，其他条件不变，则这个粒子从D点离开场区，射出磁场时的偏转角为。不计粒子的重力作用。求：(1)该带电粒子的比荷。(2)粒子在磁场中做圆周运动的半径r和从A到D所用的时间。(3)若撤去电场，该带电粒子射入磁场的速度大小可以改变，其他条件不变，要使带电粒子从下边界离开磁场，射入磁场时速度大小范围应是多少？【解析】(1)电场方向竖直向下，撤去磁场，则粒子在电场中从B点离开场区，说明粒子受到的电场力方向向上，该
11、粒子的带负电，撤去电场，粒子在磁场中从D点离开场区，由左手定则可以判断匀强磁场方向是垂直纸面向里。当电场、磁场同时存在时，粒子做匀速直线运动，所受电场力和洛伦兹力平衡，即qE=qvB 得初速度大小为 当只有电场时，粒子垂直进入匀强电场，从B点射出，向上做类平抛运动，由运动的合成与分解可知：在水平方向有：d=vt 得 EvBBdtE竖直方向做匀变速直线运动，则：解得该粒子的比荷为：21qEyata2m，22q2EymB d(2)粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，由 粒子进入磁场做圆周运动的周期：从A到D所用的时间：22vmvdqvBmrrqB2y，得22 rBdTvEy2BdtT22yE(3)
12、要使带电粒子从下边界离开磁场，设粒子进入匀强 磁场做匀速圆周运动的最小半径为r1，最大半径为 r2，由几何关系可知：r1=d，r2=d 由洛伦兹力提供向心力可知：qvB=m 得最小速度值是 最大速度值是 121EyvBd，22EyvBd2vr射入磁场时速度取值范围：答案：Ey2EyvBdBd22222EydBdEy2Ey(1)(2)(3)vB d2y2yEBdBd考点3 带电粒子在复合场中的运动实例应用 【典题突破】题型1 速度选择器【典例6】(2018广州模拟)如图所示，水平放置的两 块平行金属板，充电后与电源断开。板间存在着方向 竖直向下的匀强电场E和垂直于纸面向里、磁感应强度 为B的匀强
13、磁场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力及空气阻力)，以水平速度v0从两极板的左端中间射入场区，恰好做匀速直线运动。则()A.粒子一定带正电 B.若仅将板间距离变为原来的2倍，粒子运动轨迹偏向 下极板 C.若将磁感应强度和电场强度均变为原来的2倍，粒子 仍将做匀速直线运动 D.若撤去电场，粒子在板间运动的最长时间有可能是 2 mqB【解题思维】1.题型特征：电性不确定的粒子叠加场中运动。2.题型解码：(1)模型构建：速度选择器原理的应用。(2)方法处理：带电粒子在复合场中受力分析。【解析】选C。不计重力，粒子仅受电场力和磁场力做 匀速直线运动，合力为零。电场力与磁场力等大反 向。该粒子
14、可以是正电荷，也可以是负电荷，选项A错 误；仅将板间距离变为原来的2倍，由于带电荷量不 变，板间电场强度不变，带电粒子仍做匀速直线运 动，选项B错误；若将磁感应强度和电场强度均变为原 来的2倍，粒子所受电场力和磁场力均变为原来的2 倍，仍将做匀速直线运动，C对。若撤去电场，粒子将偏向某一极板，甚至从左侧射出，粒子在板间运动的最长时间可能是在磁场中运动周期的一半，选项D错误。【触类旁通】医生做某些特殊手术时，利用电磁血流 计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电 极a和b以及一对磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀 的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的 连线、磁场方向和血流速度方
15、向两两垂直，如图所 示。由于血液中的正负离子随血流一起在磁场中运 动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看作匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 V，磁感应强度的大小为 0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为 ()A.1.3 m/s，a正、b负 B.2.7 m/s，a正、b负 C.1.3 m/s，a负、b正 D.2.7 m/s，a负、b正【解析】选A。根据左手定则，正离子在磁场中受到洛 伦兹力的作用向上偏，负离子在磁场中受到洛伦兹力 的作用向下偏，
16、因此电极a为正极，电极b为负极；当 达到平衡时，血液中的离子所受的电场力和磁场力的 合力为零，则qE=Bqv，又 得 选项A正确。UEd，UvBd63160 10 m/s 1.3 m/s0.04 3 10，题型2 质谱仪【典例7】(2017江苏高考)一台质谱仪的工作原理如 图所示。大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速 电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的 狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀 强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离 子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线 为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹。不考虑离子间的相互作用。(1
17、)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x。(2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d。(3)若考虑加速电压有波动，在(U0-U)到(U0+U)之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件。【解题思维】1.题型特征：带电粒子在电磁场技术中应用。2.题型解码：(1)模型构建：电场+磁场组合场。(2)处理方法：动能定理、牛顿第二定律和几何关系。【解析】(1)设甲种离子在磁场中的运动半径为r1 在电场中加速过程有 且qvB=2m 解得 根据几何关系x=2r1-L 解得 201qU2mv201mU2rBq0mU4xLBq21vr(2)如图，最窄
18、处位于过两虚线交点的垂线上 22112002Ldrr()2mU4mU2LdBqqB4解得(3)设乙种离子在磁场中的运动半径为r2 r1的最小半径 r2的最大半径 01minm(UU)2rBq 02max2m(UU)1rBq 由题意知2r1min-2r2maxL，即 解得 0m(UU)4Bq 02m(UU)2LBq 002mL2 UU2(UU)Bq 答案：(1)(2)图见解析 (3)0mU4LBq2002mU4mU2LBqqB4002mL2 UU2(UU)Bq 【触类旁通】质谱仪可以测定有机化合物分子结构，现有一种质谱仪的结构可简化为如图所示，有机物的 气体分子从样品室注入“离子化”室，在高能电
19、子作 用下，样品气体分子离子化或碎裂成离子。若离子化 后的离子带正电，电荷量为q，初速度为零，此后经过 高压电源区、圆形磁场室(内为匀强磁场)、真空管，最后在记录仪上得到离子，通过处理就可以得到离子 比荷 进而推测有机物的分子结构。已知高压电源 的电压为U，圆形磁场区的半径为R，真空管与水平面 夹角为，离子进入磁场室时速度方向指向圆心。则 下列说法正确的是()q()m，A.高压电源A端应接电源的正极 B.磁场室的磁场方向必须是垂直纸面向里 C.若离子化两同位素X1、X2(X1质量大于X2质量)同时进入磁场室后，出现图中的轨迹和，则轨迹一定是X1 D.若磁场室内的磁感应强度大小为B，当记录仪接收
20、到 一个明显信号时，与该信号对应的离子比荷 qm 2222Utan 2B R【解析】选D。正离子在电场中加速，可以判断高压电 源A端应接负极，同时根据左手定则知，磁场室的磁场 方向应是垂直纸面向外，选项A、B均错误；设离子通 过高压电源后的速度为v，由动能定理可得qU=mv2，离子在磁场中偏转，则 联立计算得出 由此可见，质量大的离子的运动轨迹半径大，122vqvBm r，r 12mUBq，选项C错误；带电粒子在磁场中偏转轨迹如图所示，由 几何关系可知 选项D正确。2222UtanRq2rmB Rtan 2，可解得，题型3 回旋加速器【典例8】如图为某种离子加速器的设计方案。两个半 圆形金属盒
21、内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁 场。其中MN和MN是间距为h的两平行极板，其上分 别有正对的两个小孔O和O，ON=ON=d，P为靶 点，OP=kd(k为大于1的整数)。极板间存在方向向上 的匀强电场，两极板间电压为U。质量为m、带电量为 q的正离子从O点由静止开始加速，经O进入磁场区域。当离子打到极板上ON区域(含N点)或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小。(2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值。(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场
22、中运动的时间。【解析】(1)离子在电场中加速时，由动能定理可得 故离子第一次射出电场时的速度 若离子经过一次加速后就能打到P点，则离子在匀强磁 场中运动时的轨道半径：(k为大于1的整数)211Uqmv2，12Uqvm1kdr2离子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向 心力，由牛顿第二定律可得：将 代入解得 2111vqv Bm r11kd2Uqrv2m，2 2UqmBqkd(2)设经n(n为大于零的整数)次加速后离子获得的速度 为vn，由动能定理可得：解得 若离子经过n次加速后能打到P点，则n次加速后离子在 匀强磁场中运动时的轨道半径：(k为大于1的整数)2n1nUqmv02n2nUqv
23、mnkdr2离子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向 心力，由牛顿第二定律可得：将 代入解得：为使离子从电场中射出后不被极板吸收，则离子第一 次加速后进入匀强磁场时的轨道半径必须大于 所以qv1Bn99%，解得 T2Tt2T2 ，02mUd100qB R。答案：(3)22220q B RBR2BRdm(1)(2)2m2UqB02mUd100qB R题型4 磁流体发电机【典例9】(多选)磁流体发电是一项新兴技术，如图是 它的示意图，平行金属板A、C间有一很强的磁场，将 一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负 带电离子)喷入磁场，两极板间便产生电压，现将A、C 两极板与电阻R相连，
24、两极板间距离为d，正对面积为 S，等离子体的电阻率为，磁感应强度为B，等离子 体以速度v沿垂直磁场方向射入A、C两极板之间，则稳定时下列说法中正确的是()A.极板A是电源的正极 B.电源的电动势为Bdv C.极板A、C间电压大小为 D.回路中电流为 BdvSRRSpdBdvR【解题思维】1.题型特征：带电粒子在叠加场中运动。2.题型解码：(1)模型构建：电场和磁场形成的空间叠加场。(2)方法处理：力的平衡和电路规律应用。【解析】选B、C。等离子体喷入磁场，带正电的离子 因受到向下的洛伦兹力而向下偏转，带负电的离子向 上偏转，即极板C是电源的正极，A错误；当带电离子 以速度v做直线运动时，所以电
25、源电动势为 Bdv，B正确；极板A、C间电压U=IR，而 则 所以C正确，D错误。EqvBq d，BdvIdRS BdvSRSd ，BdvSRURSd，【触类旁通】(多选)磁流体发电机又叫等离子体发电 机，如图所示，燃烧室在3 000 K的高温下将气体全部 电离为正离子与负离子，即高温等离子体。高温等离 子体经喷管提速后以1 000 m/s的速度进入矩形发电通 道。发电通道有垂直于喷射速度方向的匀强磁场，磁 感应强度为6 T，等离子体发生偏转，在两极间形成电 势差，已知发电通道长a=50 cm，宽b=20 cm，高 d=20 cm，等离子体的电阻率=2 m，则以下判断中正确的是()A.发电机的
26、电动势为1 200 V B.开关断开时，高温等离子体可以匀速通过发电通道 C.当外接电阻为8 时，电流表示数为150 A D.当外接电阻为4 时，发电机输出功率最大【解析】选A、B、D。离子在复合场中由 得 电源电动势U=vBd=1 200 V，故A正确；开关断开时，高温等离子体在磁场力作用下发生偏转，导致极板间 存在电压，当电场力与磁场力平衡时，高温等离子体 可以匀速通过发电通道，故B正确；由电阻定律r=4，得发电机内阻为4，由闭合电路欧姆定律 U qqvBd，dab得，当外接电阻为8 时，电流为100 A，故C错误；当外电路总电阻R=r时有最大输出功率，故D正确。【提分秘籍】带电粒子在复合
27、场中运动的实例分析【加固训练】一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质 量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几 乎为零。这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直 的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片 上。已知放置底片的区域MN=L，且OM=L。某次测量发 现MN中左侧 区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧 23 区域QN仍能正常检测到离子。在适当调节加速电 压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到。13(1)求原本打在MN中点P的离子质量m。(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围。(3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求
28、需要调节U的最少次数。(取lg 2=0.301，lg 3=0.477，lg 5=0.699)【解析】(1)离子在电场中加速 在磁场中做匀速圆周运动 解得 代入 201qUmv22vqvBm r02mU1rBq220039qB LrLm432U，解得(2)由(1)知，若离子打在Q点，则 若离子打在N点，则r=L，则电压的范围 2 2qB rU2m，00100U510rLrU6981，016UU900100U16UU819(3)由(1)可知r 由题意知，第1次调节电压到U1，使原本打在Q点的离 子打在N点，则 此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上 10UL5UL61105 LU6rUU解得
29、 第2次调节电压到U2，原本打在Q1的离子打在N点，原 本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，则 解得 215r()L62212005 LUUL6rrUU，325r()L6同理，第n次调节电压，有 检测完整，有 解得 最少次数为3次。答案：n 1n5r()L6nLr2lg 2n12.8,6lg()522000100U16U9qB L(1)(2)U(3)332U819带电粒子在复合场中的运动【规 范 解 答】解：(1)由粒子的比荷 则粒子做圆周运动的 周期 (1分)则在0t0内转过的圆心角=(2分)由牛顿第二定律qv0B0=(2分)得 位置坐标为 (2分)0 0q,mB t002 mT2tB q
30、201vm r0 01v tr ，0 02v t(,0)。(2)粒子在t=5t0时回到原点，轨迹如图所示 r2=2r1，(3分)得v2=2v0，又 (2分)021200mvmvr,rB qB q0 020 02v tq,rmB t粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动，2t03t0时 间内做匀速圆周运动，则在05t0时间内粒子距x轴的 最大距离：(2分)00m020 0v2v32htr()v t22。(3)如图所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：n(2r2-2r1)=2r1，(n=1，2，3，
31、)(1分)(1分)联立以上各式解得 (n=1，2，3，)(1分)又由 (n=1，2，3，)。(2分)01200mvmvr,rB qB q 0n1vv,n000000E qtv BvvEmn，得，【满 分 规 则】规则1：仔细审题，弄清题意 本题考查带电粒子在交变电磁场中的运动，题中不考虑重力，出发点在原点，电磁场不同时存在，要么粒子做圆周运动，要么做匀变速直线运动，往往粒子运动轨迹特殊。规则2：规范解析书写过程，注意分步列式 对所列方程最好用序号标出，阅卷老师才好找到得分点；尽量不要列连等式，以防由于写综合方程，一处出错则全部没分。规则3：保证结果计算正确 本题较多的是数学表达式的推导，要提高计算能力，会做的题尽量做对。只要结果正确，前面书写的稍有不规范，阅卷老师也可能不在意，但一旦结果错误，阅卷老师再找得分点时，书写不规范或马虎往往就会吃亏。规则4：等价给分 采用不同的思路，只要方程正确，也确实能推出正确答案的，就能给分。规则5：只看对的，不看错的 对于不会做的题目，要把与本题相关的公式都写上，公式是主要得分点，阅卷时只看评分标准中给定的公式来给分，无用的如果写了，不给分也不扣分。