1、微专题5高考中的圆锥曲线问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.x212-y2=1B.x2-y23=1 C.x29-y23=1D.x223-y232=12.设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若F1PF2=90,c=2,SPF2F1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为()A.5 B.4 C.6 D.33.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为
2、半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是()A.22,1)B.(0,32C.32,1)D.(0,22 4.已知M,N为双曲线x24-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是12,2,则直线PN的斜率的取值范围是()A.(18,12)B.-12,-18 C.18,12 D.-12,-1818,12二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知离心率为22的椭圆C:x22+y2b2=1(0bb0)的离心率为32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x
3、1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.图5-18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F1(-6,0), 且过点T(6,22). (1)求椭圆C的方程;(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),AOB面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程;(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出
4、该直线的方程;若不在,请说明理由.图5-210.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P.(1)求点P的轨迹的方程;(2)已知Q为曲线上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线于E,D两点,求|DE|QM|的取值范围.答案1.B由题意得ba=tan 60=3,又双曲线C过点(2,3),所以(2)2a2-(3)2b2=1,联立方程得ba=3,2a2-3b2=1,解得a2=1,b2=3,所以双曲线C的标准方程是x2-y23=1,故选B.2.D由题意知|PF1|2+|PF2|2=16,12|
5、PF1|PF2|=3,化简得(|PF1|-|PF2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1,b=22-12=3,所以渐近线方程为y=3x,所以双曲线的两条渐近线的夹角为3,故选D.3.A由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足cb,则 c2b2=a2-c2,所以2c2a2,所以1e22,故选A.4.C设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(mx0),则kPM=n-y0m-x0,kPN=n+y0m+x0.因为点P,M,N均在双曲线x24-y2=1上,所以m24-n2=1,x024-y
6、02=1,两式相减得(m-x0)(m+x0)4-(n-y0)(n+y0)=0,化简得n-y0m-x0n+y0m+x0=14,即kPMkPN=14,又12kPM2,即1214kPN2,解得18kPN12,故选C.5.2由椭圆C的长半轴长a=2,离心率e=ca=c2=22,知c=1,所以b=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1,所以 A(0,1).设P(x,y),由两点间的距离公式可得|PA|=x2+(y-1)2=2-2y2+y2-2y+1=4-(y+1)2, 因为-1y1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.6.33因为2OM=OA+OB,所以OM=OA+OB2,所以M为线段A
7、B的中点.设|AF|=x,|BF|=y,根据抛物线的定义,知|MN|=x+y2,因为|AB|2=x2+y2-2xycos ,且|AB|=|MN|,所以2=(|AB|MN|)2=|AB|2|MN|2=x2+y2-2xycosx2+y2+2xy4=4(1-2+2cosxy+yx+2)4(1-2+2cos4)=2-2cos ,当且仅当xy=yx时取等号.因为的最小值为2-3,所以2-2cos =(2-3)2,解得cos =32,又0,所以=6,所以 tan =33.7.(1)因为椭圆C的离心率为ca=32,所以a2-b2a2=34,即a2=4b2, 所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2,又椭圆
8、C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,a2=8,所以椭圆C的标准方程为x28+y22=1.(4分)(2)由题意,知直线PA,PB的斜率均存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(k0),联立方程,得x2+4y2=8,y=k(x-2)-1,消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, (6分)所以2x1=16k2+16k-41+4k2,即x1=8k2+8k-21+4k2,因为直线PQ平分APB,且PQ与x轴平行,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数,设直线PB的方程为y+1=-k(x-2)(k0),同理可得x2=8k2-8k-21+4
9、k2.(9分)又y1+1=k(x1-2),y2+1=-k(x2-2),所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k16k2-41+4k2-4k=-8k1+4k2,x1-x2=16k1+4k2.所以直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-8k1+4k216k1+4k2=-12,为定值.(12分)8.(1)解法一依题意得a2-b2=6,6a2+12b2=1,解得a2=8,b2=2,(2分)所以椭圆C的方程为x28+y22=1.(4分)解法二依题意得c=6,2a=6-(-6)2+(22-0)2+(6-6)2+(22-0)2=42,(2分)所以a=22,于是b
10、2=a2-c2=2,所以椭圆C的方程为x28+y22=1.(4分)(2)由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.当k=0时,可设直线l的方程为y=y0(-2y02,且y00),A(-x0,y0),B(x0,y0),则x028+y022=1,所以S=12|2x0|y0|=|x0|y0|=2y02(2-y02)2y02+(2-y02)2=2,当且仅当y02=2-y02,即|y0|=1时取等号,此时00,得8k2+2m2(*),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-2)1+4k2,所以可得AB的中点M(-4km1+4k2,m1+4k2).(9分)因为|PA|=|PB|,所以P
11、MAB,所以kPM=m1+4k2+1-4km1+4k2-0=-1k,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0m6.又点O到直线l的距离d=|m|1+k2,|AB|=1+k2|x1-x2|=41+k28k2+2-m21+4k2,所以S=12|AB|d=1241+k28k2+2-m21+4k2|m|1+k2,(11分)即S=236m-m2=23-(m-3)2+9.所以,当m=3时,S取得最大值2,即0S2.综上,OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围为(0,2.(12分)9.(1)不妨设点A在第二象限,点B在第一象限.设直线OA:y=kx(k4=|AB|.(2分)所以点P的轨迹是以B,A为焦点,
12、以6为长轴长的椭圆,设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则2a=6,2c=4,从而得a=3,c=2,b2=a2-c2=5,故点P的轨迹的方程为x29+y25=1.(4分) (2)由题意知,直线QM的斜率存在.当直线QM的斜率为0时,|QM|=6,DE为椭圆的短轴,则|DE|=25,所以|DE|QM|=256=53.(5分)当直线QM的斜率不为0时,设直线QM的方程为y=k(x-3),Q(x0,y0),故直线DE的方程为y=-1kx,由y=k(x-3),x29+y25=1得(5+9k2)x2-54k2x+81k2-45=0,=(-54k2)2-4(5+9k2)(81k2-45)0,3+x
13、0=54k25+9k2,即x0=27k2-155+9k2,所以|QM|=(x0-3)2+(y0-0)2=(1+k2)(x0-3)2=301+k29k2+5.(8分)由y=-1kx,x29+y25=1得(5k2+9)x2=45k2,所以|DE|=1+(-1k)2|65|k|5k2+9|=651+k25k2+9,所以|DE|QM|=651+k25k2+9301+k29k2+5=559k2+55k2+9.(10分)令t=5k2+93,则|DE|QM|=559(t25-95)+5t=525(9t-56t)(t3),设g(t)=9t-56t(t3),则g(t)=9+56t20,所以g(t)在(3,+)上是增函数,于是g(t)93-563=253,所以|DE|QM|525253=53.综上,|DE|QM|的取值范围是53,+). （12分）
