1、阶段总结热考题型强化课(六)算法、统计与概率【网络构建】【核心要素】1.程序框图、算法的三种逻辑结构、算法语句 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 3.样本的频率分布表、频率分布直方图、茎叶图 4.样本数据的众数、中位数、平均数、方差与标准差 5.回归直线方程、独立性检验的步骤与计算公式 6.事件的分类、互斥、对立、独立关系及事件间的交、并运算的概率计算公式 7.随机事件的概率、古典概型、几何概型、条件概率的特征与计算公式 8.分类加法与分步乘法计数原理、排列、组合的定义、排列数、组合数计算公式与应用 9.二项式定理、通项公式及二项式系数的性质 10.离散型随机变量的分布列及其性质 11.两
2、点分布、超几何分布、n次独立重复试验与二项分布、正态分布 12.离散型随机变量的均值与方差 热考题型一 算法【考情分析】难度：基础题题型：以选择题、填空题为主考查方式：以程序框图的读与补为主要考查对象,常与函数、不等式、数列、样本数据的数字特征等知识交汇命题【考题集训】1.(2014天津高考)阅读如图所示的 程序框图,运行相应的程序,输出S的 值为()A.15 B.105 C.245 D.945【解析】选B.i=1时,T=3,S=3；i=2时,T=5,S=15；i=3时,T=7,S=105,i=4输出S=105.2.(2014四川高考)执行如图的 程序框图,如果输入的x,yR,那么输出的S的最
3、大值为()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.方法一：程序框图的实质是若x0,y0,x+y1,则S=2x+y；否则,S=1.当x0,y0,x+y1时,0y1-x,得0 x1,从而02x+y2,即当x=1,y=0时,Smax=21+0=2.方法二:程序框图的实质是若x0,y0,x+y1,则S=2x+y;否则,S=1.当 时,如图,由线性规划可知,当x=1,y=0时,Smax=21+0=2.x0,y0,xy1 3.(2013重庆高考)执行如图所示的程序 框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入 的条件是()A.k6 B.k7 C.k8 D.k9【解析】选B.第一次执行循环体后,s=log2
4、3,k=3,第二次执行循环体后,s=log24,k=4,第三次执行循环体后,s=log25,k=5,第四次执行循环体后,s=log26,k=6,第五次执行循环体后,s=log27,k=7,第六次执行循环体后,s=log28=3,k=8,结束循环.故选B.4.(2014山东高考)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 .【解析】根据判断条件x2-4x+30,得1x3,输入x=1,第一次判断后循环,x=x+1=2,n=n+1=1,第二次判断后循环,x=x+1=3,n=n+1=2,第三次判断后循环,x=x+1=4,n=n+1=3,第四次判断不满足条件,退出循环,输出n=3.答案
5、：3 5.(2014湖北高考)设a是一个各位数 字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的 三位数记为I(a),按从大到小排成的三 位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=.【解析】当a=123时,b=321-123=198123；当a=198时,b=981-189=792198；当a=792时,b=972-279=693792；当a=693时,b=963-369=594693；当a=594时,b=954-459=495594；当a=495时,b=954-459=4
6、95=a,终止循环,故输出b=495.答案：495 热考题型二 统计与统计案例【考情分析】难度：低中档题型：以选择题、填空题为主,解答题为辅考查方式：以随机抽样、样本的频率分布表、频率分布直方图、茎叶图及平均数、方差、标准差、线性回归方程、独立性检验为主要考查对象,常以统计图表为载体,综合考查以上知识点【考题集训】1.(2014广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是()A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10【解析】选A.样本
7、容量为10 0002%=200,抽取的高中生近视人数为2 0002%50%=20.2.(2013重庆高考)如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8【解析】选C.因为甲组数据的中位数为15,所以易知x=5,又乙组数据的平均数为16.8,所以=16.8,解得y=8.故选C.9 15 18 10y2453.(2013江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环),结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为
8、.运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92【解析】故 答案:2 8791 908993x90,5甲899091 8892x90,5乙222222(8790)(91 90)(9090)(8990)(93 90)s4,5甲222222(8990)(9090)(91 90)(8890)(9290)s2.5乙4.(2014全国卷)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(1)求y关于t的线性回归方程.年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2
9、 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区 农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分 别为：niii 1n2ii 1(tt)(yy)baybt.(tt)，【解析】(1)因为 设回归方程为 代入公式，经计算得 所以y关于t的回归方程为y=t+2.3.1 234567t4,7 2.93.33.64.44.85.25.9y4.3,7ybta,4.220.700.5 1.84.8141b,(94 1)214
10、 221aybt4.342.3,212(2)因为 0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该地区人均纯收入y=9+2.3=6.8(千元)，所以预计到2015年，该地区人均纯收入约6 800元.1b2125.(2014安徽高考)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动 时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分 组
11、区间为：0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】(1)300 =90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得2(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.4 50015 000(3)由(2)知
12、,300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4个小时 45 30 75 每周平均体育运动时间 超过4个小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得K2的观测值 k=4.7623.841.有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.2300 2 25010
13、075 225 210 9021热考题型三 概率的计算【考情分析】难度：基础题题型：以选择题、填空题为主考查方式：以古典概型、几何概型、条件概率、互斥事件的和事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的积事件的概率、二项分布等为主要考查对象,常与排列、组合、函数、方程、不等式、数列、解析几何、线性规划、定积分等知识综合命题【考题集训】1.(2014陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()1234A.B.C.D.5555【解析】选C.从边长为1的正方形的中心和 顶点这五点中,随机(等可能)取两点,共有 =10条线段,满足该两点间的距离
14、不小于1 的有AB,BC,CD,DA,AC,BD共6条线段,则根据古典概型的 概率公式可知随机(等可能)取两点,则该两点间的距离 不小于1的概率P=25C63.1052.(2014湖北高考)由不等式组 确定的平面区域记为 1,不等式组 确定的平面区域记为 2,在 1中随机取一点,则该点恰好在 2内的概率为()x0,y0,yx20 xy1,xy2 1137A.B.C.D.8448【解析】选D.依题意,不等式组表示的平面区域如图,由几何概型概率公式知,该点落在2内的概率为 BDFCEFBDF1112 21SS7222P.1S82 22 3.(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质
15、量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【解析】选A.设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75p,解得p=0.8,故选A.4.(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,约定 先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲 队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.1223(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率.(2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果
16、为32,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.【解析】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1,“甲队 以31胜利”为事件A2,“甲队以32胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=,P(A2)=P(A3)=所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为 ,甲 队以32胜利的概率为 .328()3272232228C()(1)33327，22242214C()(1)33227，827427(2)设“乙队以32胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得 P(=0)=P(A1+
17、A2)=P(A1)+P(A2)=22242214C(1)()(1).3322716,27又P(=1)=P(A3)=P(=2)=P(A4)=P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=故的分布列为 所以E()=4,274,273,27X 0 1 2 3 P 16274274273271644370123.272727279 5.(2014安徽高考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定 先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连 胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜 的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互 独立.2313(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率.(2)记X
18、为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).【解析】Ai表示“第i局甲获胜”,Bi表示“第i局乙 获胜”,则P(Ai)=,P(Bi)=,i=1,2,3,4,5.2313(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)22221221256()()().33333381(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=P(X=3)=P(B1A2
19、A3)+P(A1B2B3)=P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=5,92,910,818.81故X的分布列为：E(X)=X 2 3 4 5 P 59291081881521082242345.99818181 热考题型四 概率与统计、统计案例的综合【考情分析】难度：低中档题型：以解答题为主考查方式：常以统计图表为载体,考查随机抽样、用样本频率分布估计总体、样本的数字特征、回归分析、独立性检验及概率的计算问题【考题集训】1.(2014全国卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位
20、市民对这两部门的评分(评分越高表示市民的评价越高),绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数.(2)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分小于90的概率.(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.【解析】(1)两组数字是有序排列的,50个数的中位数 为第25,26两个数的平均数.由给出的数据可知道,市民 对甲部门评分的中位数为 =75,对乙部门评分的 中位数为 =67,所以市民对甲、乙两部门评分的 中位数分别为75,67.7575266682(2)甲部门评分数大于等于90的共有6个、乙部门评分 数大于等于90的共有9个.因此,估计市民对甲、乙部门 的评分大于等于
21、90的概率分别为P甲=0.12,P乙=0.18.所以市民对甲、乙部门的评分小于90的概率分别为 0.88,0.82.650950(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.2.(2014辽宁高考)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100(1)根据表中数据
22、,问是否有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.【解析】(1)由22列联表中的数据,得K2=4.762,由于4.7623.841,所以有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.2100(60 1020 10)10080 20 70 3021(2)从5名数学系学生中抽取3人的一切可能结果所组 成的基本事件为下列10个:(a1,a2
23、,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),其中ai(i=1,2)表示喜欢甜品的学生,bj(j=1,2,3)表示 不喜欢甜品的学生,这10个基本事件的出现是等可能的.抽取3人,至多有1人喜欢甜品的事件为以下7个:(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),从这5名学生中随机抽取3人,至多有1人喜欢甜品的概 率为 .7103.
24、(2014全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方 差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正 态分布N(,2),其中 近似为样本平均数 ,2近 似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2).xx某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用的结果,求E(X).【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s
25、2分别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+210 0.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+0 0.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.xx(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6.由知,一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6.依题意知XB(100,0.682 6),所以E(X)=1000.682 6=68.26.热考题型五 排列
26、、组合与二项式定理【考情分析】难度：中档题题型：以选择题、填空题为主考查方式：考查两个计数原理、排列、组合、二项式定理、通项公式及二项式系数的性质,排列、组合常与古典概型综合,二项式定理常与函数、方程、定积分等知识综合【考题集训】1.(2014重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168【解析】选B.第一类,当2个小品类节目在1个相声类节 目同侧时有 =72种排法,第二类,当2个小品类节目在1个相声类节目两侧时有 =48种排法,共有72+48=120种排法,故选B.1212223
27、3C A C A2324A A2.(2013全国卷)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则=()A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【解析】选D.(1+x)5中含有x与x2的项为T2=x=5x,T3=x2=10 x2,所以x2的系数为10+5a=5,解得a=-1.15C25C3.(2014浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60 C.120 D.210【解析】选C.由二项展开式的通项性质可知xmyn项的系数为f(m,n)=所以f(3,0)+f(2,1)+
28、f(1,2)+f(0,3)=120.mn64C C,321123664644CC CC CC4.(2014山东高考)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为_.26b(ax)x【解析】将 展开，得到 令12-3r=3，得r=3.由 =20,得ab=1,所以a2+b22ab=2.答案：2 26b(ax)xr6 rr12 3rr 16TC ab x，3336C a b热考题型六 离散型随机变量的分布列、均值与方差【考情分析】难度：中档题题型：以解答题为主考查方式：以考查离散型随机变量的分布列、均值与方差为主要对象,常与古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、二项分布等
29、知识综合命题,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力【考题集训】1.(2014天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率.(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A,则 所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.12033
30、737310C CC C49P(A).C6049.60k3 k46310C CP(Xk)(k0,1,2,3).C所以,随机变量X的分布列是 随机变量X的数学期望 X 0 1 2 3 P 161231013011316E(X)0123.6210305 2.(2014湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
31、(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系：年入流量X 40X120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?【解析】(1)依题意,p1=P(40X120)=0.1.根据二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 10503550550041343433pC(1 p)C(1 p)p43991()4()0.947 7.101010(
32、2)记水电站年总利润为Y,安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=15000=5000.安装2台发电机的情形:依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=50002=10000,因此P(Y=10000)=P(X80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下 所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 安装3台发电机的情形:依题意,当40
33、 x80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=50003=15000,因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1.由此得分布列如下 Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.3.(2013安徽高考)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(
34、n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率.(2)求使P(X=m)取得最大值的整数m.【解析】(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发 信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是 相互独立的事件,所以 与 相互独立,由于 P(A)=P(B)=,故P()=P()=1-,因此 P=1-ABk 1n 1knCkCn ABkn222k2knk(1).nn(2)当k=n时,m只能取n,有P(X=m)=P(X=n)
35、=1,当kn时,整数m满足kmt,其中t是2k和n中的较小者,由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息 给k位同学”所包含的基本事件总数为()2,当X=m时,同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数 knC均为m-k,由乘法计数原理知:事件X=m所包含基本事件数为 ,此时P(X=m)=当kmt时,P(X=m)P(X=m+1)(m-k+1)2(n-m)(2k-m)m2k-,假如 k2k-t成立,则当(k+1)2能被n+2整除时,k2k mm kkm km knkn knkn kC CCC CCk2k mm knkn kk2nC
36、CC(C)m km kkn kknCCC，m km km 1 km 1 kkn kkn kCCCC 2(k1)n22(k1)n2k2k-2k+1-t,故P(X=m)在m=2k-和m=2k+1-处取得最大值;当(k+1)2不能 被n+2整除时,P(X=m)在m=2k-处达最大值.(注:x表示不超过x的最大整数)2(k1)n22(k1)n22(k1)n22(k1)n22(k1)n2下面证明k2k-t.因为1kn,所以 而2k-n=0,故2k-n,显然2k-2k,因此k2k-t.2(k1)n2222(k1)knk1k(k1)k12kkn2n2n2k10n2，2(k1)n22(nk1)n22(k1)n22(k1)n22(k1)n2
