1、 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不等式及其解法 必备知识自主学习 1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且_的不等式,称为一元二次不等式.导思1.类比学过的一元一次不等式,思考一元二次不等式的定义是什么?2.一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程有何关系?如何解一元二次不等式?未知数的最高次数是2【思考？】(1)关于x的不等式ax2+bx+c0一定是一元二次不等式吗?提示:不一定,如果a=0,则不是一元二次不等式.(2)不等式x2-y20是一元二次不等式吗?提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.2.一元二次不等式与相应二次
2、函数、一元二次方程的联系 【思考？】一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根有什么关系?提示:一元二次不等式的解集的端点为一元二次方程的根,若一元二次方程没有根,则解集可能是R,也可能是.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)不等式mx2+x+10是一元二次不等式.()(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0无根,则一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(3)若a0,ax2+10的解集是R.提示:(1).当m=0时是一元一次不等式.(2).当a0,ax2+10恒成立,解集为R.2.(教材二次开发:练习改编)不等式x2-2x0的解集为()A.(2,+)B.(-,
3、2)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)【解析】选D.不等式x2-2x0化为x(x-2)0,解得x2,所以不等式的解集为(-,0)(2,+).3.不等式2x2-x-10的解集是 .【解析】不等式化为(2x+1)(x-1)0,解得-x1,所以不等式的解集是 .答案:121(1)2，1(1)2，关键能力合作学习 类型一 一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)【题组训练】1.不等式x2x+2的解集为()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(1,+)C.(-1,2)D.(-2,1)【解题指南】先化为标准的一元二次不等式形式,再求解.【解析】选C.不等式化为x2-x-20的解集为()C.D.
4、R11A.x1x B.xx 133 【解题指南】先求判别式再求解集.【解析】选D.因为=(-2)2-431=4-12=-80的解集为R.3.在下列不等式中,解集是的是()A.x2-3x+50 B.x2+4x+40 C.4-4x-x20【解析】选D.A的解集为R;B的解集是x|x=-2;C的解集为x|x-2+2 或x-2-2 ;D,不等式可化为2x2-3x+20得=-7,故2x2-3x+20 B.-2x2+x+10 C.2x-x25 D.x2+x2【解析】选C.根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=,则x2-x+10恒成立,其解集为R,A不符合题意;对于B,-2x2+x+102x2-x-
5、10,其解集不是空集,B不符合题意;对于C,2x-x25x2-2x+50,有=-162x2+x-20,有0,其解集不是空集,D不符合题意.213x243.(2019天津高考)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为 .【解析】3x2+x-20,即(x+1)(3x-2)0,即-1x ,故x的取值范围是 .答案:232(1)3，2(1)3，类型二 一元二次不等式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)【典例】有一长为24米的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃,设该花圃一边AB为x米,面积是y平方米,(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.(2)因种植需
6、要,花圃的面积不小于54平方米,则花圃一边AB应为多少?四步内容理解 题意条件:(1)长为24米,(2)一面利用墙,(3)墙最大长度是10米,(4)围成一个矩形花圃,(5)花圃的面积不小于54平方米 结论:(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.(2)花圃一边AB应为多少.思路 探求(1)用x表示出矩形的一边,得到面积,再利用墙的最大长度求范围;(2)构造一元二次不等式求范围.四步内容书写 表达(1)如图所示:,因为024-2x10,所以7x12,所以y=x(24-2x)=-2x2+24x(7x12).(2)令y=-2x2+24x54,即x2-12x+270,解得3x9,又7x0,
7、所以012,即x2+10 x-1 2000,解得x30或x10,即x2+10 x-2 0000,解得x40或x-50(不符合实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过40 km/h,即超过规定限速,所以乙车的驾驶人应负主要责任.【补偿训练】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加
8、的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?【解析】(1)依题意,得y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000(1+0.6x)=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).所以所求关系式为y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0 x(1.2-1)1 000.化简,得3x2-x0.解得0 x .所以投入成本增加的比例x的范围是0 x0的解集为 ,其中a,b为常数,则不等 式3x2+bx+a0的解集为 ,则方程ax2+bx+3=0的 两实数根为-1和 ,且a0,则 ,解得a=-6,b=-3,所以不等式3x2+bx+
9、a0可化为3x2-3x-60,即x2-x-20,解得-1x2,所以所求不等式的解集是(-1,2).b11a2311a2 ，1(1)2，12【变式探究】将本例中的条件改为“解集为(,),0”,试求不等式的解集.【解析】关于x的不等式ax2+bx+30的解集为(,),则方程ax2+bx+3=0的两实数根为 和,则 且a0.所以不等式3x2+bx+a0,即 x2-(+)x+10,解 x2-(+)x+1=0,得x=或 ,因为 0,所以 ,所以 x0的解集为x|2x3,求关于x的不等式 cx2+bx+a0的解集为x|2x3可知,a0,且2和3是方程 ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知 =-
10、5,=6.由a0知c0,=,故不等式 cx2+bx+a0,即x2-x+0,解得x ,所以不等 式cx2+bx+a0的解集为x|x4,那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有()A.f(5)f(2)f(-1)B.f(2)f(5)f(-1)C.f(-1)f(2)f(5)D.f(2)f(-1)0的解集为x|x4,所以a0,函数的对称轴为x=1,所以f(-1)=f(3),函数在(1,+)上单调递增,所以f(2)f(3)f(5),所以f(2)f(-1)0的解集是()A.(-,-1)(3,+)B.RC.x|x1 D.x|x=1【解析】选C.因为f(x)=x2+bx+1且f(-1)=f(3),所以 ,解得
11、b=-2.所以f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所以f(x)0的解集为x|x1.b1 322 2.关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是 .求不等式cx2+bx+a0的解集.【解析】方法一:由ax2+bx+c0的解集为 知a0.又 2=0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,所以-=,所以 .又 ,所以b=-a,c=-a,所以不等式变为 0.又因为a0,所以2x2+5x-30,所求不等式的解集为 .1x3x2 方法二:由已知得a0,设方程cx2+bx+a=0的两 根分别为x1,x2(x1x2),则x1+x2=-,x1x2=,其中 ,所以 所以 所以不等式cx2+bx+a0)的解
12、集为 1()3ba1()3cabcaca131c2()23b1()2b5a3c1c2()2a3，12125xx23x x2 ，12x31x2，1x3x.2 课堂检测素养达标 1.(教材二次开发:习题改编)不等式3+5x-2x20的解集为()1A.x x3x21B.xx321C.x x3x2D.或 或R【解析】选C.3+5x-2x202x2-5x-30(x-3)(2x+1)0 x3或x-.122.关于x的不等式x2+px-20的解集是(q,1),则p+q的值为()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选B.由不等式x2+px-22 816 D.(60+x)(40+2x)2 816【解析】选A
13、.“不大于”就是“”,所以根据题意可列出不等式为(60+2x)(40+2x)2 816.4.已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解 集为 .【解析】由题意,-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根且a0,即为2x2-5x+20,解得 x0的 解集为 .答案:1x x2x2 或121b2()2a1c2()2a ，（），52121xx22 1xx22 5.解不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的 解是x1=-,x2=2.因为函数y=2x2-3x-2是开口向上的抛物线(如草图(1),
14、所以不等式的解集是 121x xx2.2或(2)不等式可化为3x2-6x+20,所以方程3x2-6x+2=0的解是 x1=1-,x2=1+.因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线(如草图(2),所以不等式的解集是 333333x 1x 1.33(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线(如草 图(3),所以原不等式的解集是 .121x x2(4)因为x2-2x+2=0的判别式0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线(如草图(4),所以原不等式的解集为R.【新情境新思维】1.对于实数x,当且仅当n
15、xn+1(nZ)时,规定x=n,则不等式4x2-36x+450的解集为()A.2,7 B.2,8 C.2,8)D.3 15()22，【解析】选C.不等式化为(2x-15)(2x-3)0,解得 x .又nx2.22x40 x6x0，2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a0时,不等式ax2+bx+c0的解集为()A.x|x2 B.x|x-1或x2 C.x|-1x2 D.x|-1x2【解析】选D.由题意知,-=1,=-2,所以b=-a,c=-2a,又因为a0,所以x2-x-20,所以-1x2.baca3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20
16、 x-0.1x2(0 x240),每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台 B.120台 C.150台 D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,即x2+50 x-30 0000,解得x150或x-200(舍去).【补偿训练】在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20 B.12,25 C.10,30 D.20,30【解析】选C.设矩形的另一边长为y m,则由三角形相似知 所以y=40-x.因为xy300,所以x(4
17、0-x)300,所以x2-40 x+3000,所以10 x30.x40y4040，4.函数y=的定义域为A,值域为B,则AB=.2x2x8【解析】A=x|-x2-2x+80=-4,2,B=0,3,所以AB=0,2.答案:0,2 【补偿训练】已知集合A=x|3x-2-x20,B=x|x-a0,且BA,则a的取值范围为 .【解析】A=x|3x-2-x20=x|x2,B=x|x0的解集为x|xm,则a+m=.【解析】关于x的不等式x2-3ax+20的解集为x|xm,则1与m是对应方程x2-3ax+2=0的两个实数根,把x=1代入方程得1-3a+2=0,解得a=1;所以不等式化为x2-3x+20,其解
18、集为x|x2,所以m=2,所以a+m=3.答案:3 6.已知关于x的不等式ax2-5x+20,aR.(1)当a=2时,解此不等式.(2)若此不等式的解集为 ,求实数a的值.1x|x2x3或【解析】(1)a=2时,不等式为2x2-5x+20,可化为(x-2)(2x-1)0,解得 x2,所以不等式的解集为 (2)若不等式ax2-5x+20的解集为 ,则方程ax2-5x+2=0的实数根为-2和 且a0,所以-2+=,解得a=-3,即a的值为-3.121x|x2.2 1x|x2x3或 13135a【补偿训练】若不等式ax2+bx+c0的解集为x|-1x3,(1)若a=2,求b+c的值.(2)求关于x的
19、不等式cx2-bx+a0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-1和3,所以 ,解得 所以不等式cx2-bx+a0可变为-3ax2+2ax+a0,所以不等式化为3x2-2x-10,解得不等式的解集为 b1 3ac1 3a b2ac3a ；1x|x 1x.3 或【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围为()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)【解析】选B.因为x(x-2)=x(x-2)+2x+x-20,所以x2+x-20,所以-2x0的解集为(
20、-3,2),则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.B.C.(-3,2)D.1 13 2，13，12，12，13，【解析】选B.由题意得 解得 所以bx2-5x+a0可化为30 x2-5x-50,即6x2-x-10,得x 或x0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)0的解集是()A.x|-nxm B.x|xm C.x|-mxn D.x|xn【解析】选A.m+n0时,m-n,不等式可化为(x-m)(x+n)0,解得-nxm,所以该不等式的解集是x|-nxm.4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+10(0t30,tN);销售量g(t)与时间t的函数关
21、系是g(t)=-t+35(0f(1)中x的范围是()A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)2x4x6x0 x6x0，【解析】选A.f(1)=12-41+6=3,当x0时,x2-4x+63,解得x3或0 x1;当x3,解得-3xf(1)中x的范围是(-3,1)(3,+).二、填空题(每小题5分,共15分)6.若一元二次不等式f(x)0的解集 为 .1x|x1x2或【解析】一元二次不等式f(x)0可化为-12x ,解得x-1,所以所求不等式的解集为x|x-1.答案:x|x0的解集是 .【解析】函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是
22、-1和2,即-1,2是方程x2+ax+b=0的两 根,可得-1+2=-a,-12=b,解得a=-1,b=-2,f(x)=x2-x-2,af(-2x)0,即为4x2+2x-20,解得-1x0在(1,4)内有解,则a的取值范围是 .【解析】原不等式可化为a2x2-8x-4,只需a小于2x2-8x-4在(1,4)内的最大值.设f(x)=2x2-8x-4,因为f(x)=2x2-8x-4=2(x-2)2-12,x(1,4),所以f(x)max=f(4)=2(4-2)2-12=-4.则有a0的解集是x|-3x0;(2)b为何值时,ax2+bx+30的解集为R?【解析】(1)由题意知1-a0,即为2x2-x
23、-30,解得x ,所以所求不等式的解集为 1 a0421 a631 a ，323x|x1x.2或(2)ax2+bx+30,即3x2+bx+30,若此不等式解集为R,则=b2-4330,所以-6b6.10.荆州市政府招商引资,为吸引外商,决定第一个月产品免税.某外资厂第一 个月A型产品出厂价为每件10元,月销售量为6万件,第二个月,荆州市政府开始 对该商品征收税率为p%(0p0以及p0得,定义域为p|0p6.10010p10010pp10026pp10p，(2)由y1,得 1化简得p2-7p+100,即(p-2)(p-5)0,解得2p5,故当2p5时,税收不少于1万元.26pp10p，【创新迁移
24、】1.已知f(x)为二次函数,且不等式f(x)f(1+t2),则实数t的取值范围是 .【解析】f(x)为二次函数,且不等式f(x)f(1+t2),所以t-11+t2或t-1+(t2+1)2,解得t ;解得-2t1.综上,实数t的取值范围是(-2,1).答案:(-2,1)2 0182 02022.已知函数f(x)=x2+(m-1)x-2m.(1)若函数f(x)在区间(0,1)上不单调,求m的取值范围.(2)若函数f(x)有一个正的零点和一个负的零点,求m的取值范围.【解析】(1)原函数的对称轴为x=-,当-(0,1)时,不单调,此时-1m0,且-2m0;m12m12m32 2m32 2m0 或 方法二:因为函数f(x)有一个正的零点和一个负的零点,可得f(0)0,即-2m0.