1、2.4 等 比 数 列 第1课时 等 比 数 列 必备知识自主学习 1.等比数列的概念 一个数列_,_,这个数列叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q0).导思1.类比等差数列,等比数列是如何定义的?如何定义等比中项?2.类比等差数列的通项公式,等比数列的通项公式怎样?如何推导?从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数【思考】(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:=q(n2)或 =q(q0).nn 1aa n 1naa2.等比中项 在a与b中间插入一个数G
2、,_,那么G叫做a与b的等比中项.【思考】(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.使a,G,b成等比数列(2)如果2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?提示:由 得a2=8,即a=2 ,答案不唯一.3.等比数列的通项公式 首项为a1,公比是q(q0)的等比数列的通项公式为_.a42a2an=a1qn-1【思考】(1)等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1 的图象有什么关系?提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成的,这些离散的点都在函数 y=2x-
3、1的图象上.(2)除了课本上采用的不完全归纳法,你还能用什么方法推导等比数列的通项公 式.提示:还可以用累乘法.当n2时,所以an=a1 nn 12n 1n 21aaaqqqaaa，3212aaaan 1n 1n1n 2n 1aaa q.aa【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等 比数列.()(2)若G是a与b的等比中项,则G=()(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.()ab.提示:(1).应等于同一个常数.(2).G=.(3).如0,0,0满足02=00,但不是等比数列.ab.2
4、.已知2,b,8是等比数列,则实数b=()A.6 B.4 C.-4 D.4或-4【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,所以b=4.2 83.(教材二次开发:练习改编)等比数列an中,a2=2,a5=,则公比q=.14【解析】由定义知a2=a1q=2,a5=a1q4=,所以得q3=,所以q=.答案:14181212关键能力合作学习 类型一 等比数列基本量的运算(逻辑推理、数学运算)【题组训练】1.在等比数列an中,若a2=3,a5=-24,则a1=()2233A.B.C.D.3322 2.已知各项为正数的等比数列an中,a2=1,a4a6=64,则公比q=()A.4 B.3 C.2 D.3.在
5、公比为整数的等比数列an中,a2-a3=-2,a1+a3=,则an的通项公式 an=.2103【解析】1.选C.设公比为q,则 则q=-2,则a1=2.选C.因为各项为正数的等比数列an中,a2=1,a4a6=64,所以 且q0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.435121aa qq8aa q，2a3.22 13511a q1a q a q64，12，3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=所以 两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2 103，211211a qa q210aa q3，1
6、3【解题策略】利用基本量结合方程思想运算(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以通过通项公式列方程(组)得出.(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.【补偿训练】1.已知等比数列an中,a4=27,q=-3,则a1=()A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】选B.等比数列an中,a4=27,q=-3,则a1=433a271.q3（）2.已知等比数列an中,a6=4,a8=8,则a10的值是()A.5 B.6 C.14 D.16【解析】选D.依题意,设公比为q,等比数
7、列an中,a6=4,a8=8,所以 又 所以a10=a8q2=82=16.7281561aa q8q2aa q4，92101781aa qq2aa q ，3.已知a1=,an=,q=,则n=.981323【解析】因为a1=,q=,an=,所以 所以 所以n-1=3,所以n=4.答案:4 981323n 1192().383n 13282()().3273 类型二 等比中项的应用(数学运算)【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.四步内容理解题意条件:b是a,c的等比中项.结论:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.思路探求证明(ab+bc)
8、2=(a2+b2)(b2+c2)即可书写表达【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.题后反思本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b2和b2+c2的关系.【解题策略】等比中项法证明等比数列“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,可以用它来判断或证明三个数成等比数列
9、.【跟踪训练】1.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是 .【解析】设三边为a,aq,aq2(q1),由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=较小锐角记为,则sin =答案:51.222a151.aqq251.22.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与 的等比中项,则k等于()A.2 B.4 C.6 D.8 2ka【解析】选B.因为an=(n+8)d,又 =a1a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.2ka【拓展延伸】等比中项的注意点 1.注意非零.若b2=ac且ac0,则a,b,c成等比数列.这里要注意条件a
10、c0;若只 有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.2.注意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.3.注意从第2项起.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.【拓展训练】(1)三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则abc=.【解析】由题意得2b=a+c,c2=ab,由得c=2b-a,将代入得a=b(舍去)或a=4b,所以c=2b-a=2b-4b=-2b.则abc=41(-2).答案:41(-2)(2)在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按
11、序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .【解析】设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得 ,28,28q石,所以 +28+28q=98,所以q=2或 .又0q1,所以q=.答案:28q28q121212【补偿训练】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=.【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1(-25)=25,所以b=5,又因为b=-1q20),则有a1=f,a3=f,所以q2=,解得q=,第十个单音的频率a10=a1q9=()9f=f.6 26 243212 212 212 2课时素养评价 十二 等 比 数 列【基础通关】(20分钟
12、 35分)1.在等比数列an中,若a6=8a3=,则an=()A.2n-1 B.2n C.3n-1 D.3n 228a【解析】选A.若a6=8a3=,所以a1q5=8a1q2=q2,即q=2,a1=1,所以an=12n-1=2n-1.228a218a2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6 B.-6 C.6 D.12【解析】选C.因为a=,b2=(-1)(-16)=16,所以b=4,所以ab=6.12322 3.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金
13、,以计算下期的利息)计算,到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为()参考数据:1.0581.48,1.0591.55,1.05101.63,1.05111.71 A.14.8万 B.15.5万 C.16.3万 D.17.1万【解析】选C.由题意知,该家庭2021年1月1日本金加收益和为10(1+5%)=101.05,2022年1月1日本金加收益和为101.052,2023年1月1日本金加收益和为101.053,2030年1月1日本金加收益和为 101.0510101.63=16.3.所以到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.4.正项等比数列
14、an,若3a1,a3,2a2成等差数列,则an的公比q=.12【解析】因为正项等比数列an,3a1,a3,2a2成等差数列,所以 ,解得q=3.所以an的公比q=3.答案:3 122111q012(a q)3a2a q2 5.在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=.【解析】根据题意,设等比数列an的公比为q,若2a2为3a1和a3的等差中项,则有22a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.答案:27 6.
15、在等比数列an中,(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;(2)若a4=2,a7=8,求an.【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,q=-3,所以a5=405.(2)因为 所以 由 得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1=,所以an=a1qn-1=.21aa341671aa qaa q，3161a q2a q8，3 432q122n 532【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知各项均为正数的等比数列an中,公比q=2,a2a4=4,则a1=()【解析】选B.各项均为正数的等比数列an中,公比q=2,a2a4=4,所以 24=4,所以
16、a1=.11A.B.C.1 D.24221a122.若a,2a+2,3a+3成等比数列,则实数a的值为()A.-1 B.-4 C.1 D.4【解析】选B.因为a,2a+2,3a+3成等比数列,所以(2a+2)2=a(3a+3),即a2+5a+4=0,解得a=-1或a=-4,又a=-1时,这三个数为-1,0,0,不是等比数列,故舍去.所以a=-4.3.在等比数列an中,a1+a3=,a4+a6=3,则其公比为()A.-B.C.2 D.4 381212【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1+a3=,a4+a6=3,所以q3(a1+a3)=q3 =3,解得q=2.38384.已知等比数列a
17、n的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3a7=()A.16 B.64 C.128 D.256【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a6+a4=2(a3+a1),所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.则a1a2a3a7=q0+1+6=q21=27=128.5.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰减到原来的一半,铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,已知物质A的半衰期为7.5小时,则物质B的半衰期为()A.10小时 B.8小时 C.12小时 D.15小时【解析】选B
18、.=16.设mB=1.则mA=2.设物质B的半衰期为t小时.由题意可得:2 ,解得t=8.1207.512016t11()()22二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=.【解析】由已知可知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q=,所以an=4 .答案:4 21a63a42 n 13()2n 13()27.在数列an中,a2=,a3=,且数列nan+1是等比数列,则an=.3273【解析】因为数列an中,a2=,a3=,且数列nan+1是等比数列,2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
19、所以数列nan+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以nan+1=2n,解得an=.答案:3273n21nn21n【补偿训练】等比数列an中,a4=2,a5=4,则数列lg an的通项公式为 .【解析】因为a5=a4q,所以q=2,所以a1=,所以an=2n-1=2n-3,所以lg an=(n-3)lg 2.答案:lg an=(n-3)lg 2 43a1q4148.已知等比数列an,an0,nN*,且2a1+3a2=33,9 =a2a6,则a2 020=.23a【解析】设等比数列an的公比为q0,因为2a1+3a2=33,9 =a2a6,an0,nN*,所以a1(2+3q)=33,9 q4=q
20、6,解得a1=q=3.所以an=3n.则a2 020=32 020.答案:32 020 23a21a21a三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an是一个等差数列且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an和前n项和Sn;(2)设cn=,bn=,证明数列bn是等比数列.n5a2cn2【解析】(1)设an的公差为d,由已知条件得,解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,Sn=na1+d=-n2+4n.11ad1a4d5 n(n1)2(2)因为an=-2n+5,所以cn=n;所以bn=2n.因为 =2(常数),所以数列bn是等比数列.n5a52n522（）cn
21、2n 1n 1nnb2b2 10.已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=n,(1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,所以cn+1=cn,又因为a1+a1=1,即a1=,所以c1=a1-1=-1=-,所以数列cn是以-为首项,为公比的等比数列;12121212121212(2)由(1)可知cn=an-1=-=-,所以an=1-.12n 112 n12n12【补偿训练】数列an中,a1=2,a2=
22、3,且anan+1是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值;(2)求证:bn是等比数列.【解析】(1)因为anan+1是公比为3的等比数列,所以anan+1=a1a23n-1=23n,所以 .2345345623452 32 32 32 3a6a9a18a27aaaa，(2)因为anan+1是公比为3的等比数列,所以anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,所以a1,a3,a5,与a2,a4,a6,a2n,都是公比为3的等比数列.所以a2n-1=23n-1,a2n=33n-1,bn=a2n-1+a2n=53n-1,所以 =3.
23、故bn是以5为首项,3为公比的等比数列.2 n 1ann 1n 1nb5 3b5 3【创新迁移】1.已知数列an是等比数列,有下列四个命题:数列|an|是等比数列;数列anan+1是等比数列;数列 是等比数列;数列lg 是等比数列.其中正确的命题是 .(填序号)n1a2na【解析】由an是等比数列可得 =q(q为常数,q0).=|q|为常数,故是等比数列;=q2为常数,故是等比数列;为常数,故是等比数列;数列an=1是等比数列,但是lg =0不是等比数列.答案:nnn 1n 1a|a|a|a|nn 1aa nnn 1n 11n 2n 1nn 11a aaa qaaaa qnn 1nn 11aa
24、11aqa2na2.已知an是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列bn满足b1=1,b4=6,且an-bn是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若任意nN*,都有bnbk成立,求正整数k的值.【解析】(1)设an的公差为d,则d=4,所以an=2+(n-1)4=4n-2,故an的通项公式为an=4n-2(nN*).设cn=an-bn,则cn为等比数列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,设cn的公比为q,则q3=8,故q=2.则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.所以bn=4n-2-2n-1(nN*).故bn的通项公式为bn=4n-2-2n-1(nN*).41aa341cc(2)由题意,bk应为数列bn的最大项.由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(nN*).当n0,bnbn+1,即b1b23时,bn+1-bnbn+1,即b4b5b6,所以k=3或k=4.
