1、北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 2、（朝阳区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A B C D3、（西城区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A）（B）（C）（D）4、（东城区2017届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A） （B） （C） （D）5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知直线，和平面，如果，那么“”是“
2、”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱AD，B1C1上的动点，设若棱与平面有公共点，则的取值范围是AB CD7、（海淀区2017届高三上学期期末）（海淀区2017届高三上学期期末）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_8、（石景山区2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如右图所示已知这个几何体的体积为，则（ ）ABCD9、（通州区2017届高三上学期期末）如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的
3、正方形，那么它的体积为A B4 C D二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）如图1，四边形为正方形，延长至，使得，将四边形沿折起到的位置，使平面平面，如图2.（I）求证：平面；（II）求异面直线与所成角的大小；（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 .（）求证：平面；（）若二面角为直二面角，（i）求直线与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由3、（西城区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，（）求证：平面平面；（
4、）若为的中点，求证：平面；（）若与平面所成的角为，求四棱锥的体积4、（东城区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由5、（丰台区2017届高三上学期期末）如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面平面，分别为棱的中点.（）求证：平面；（）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图1，在梯形中，是边的中点将三角形绕边所在直线旋转到位置，使得，如图2设为平面与平面的交线（）判断直线与直线的位置关系并证明；（）若直线上的点满足，求
5、出的长；（）求直线与平面所成角的正弦值7、（石景山区2017届高三上学期期末）如图1，等腰梯形中，于点，且沿把折起到的位置（如图2），使（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）线段上是否存在点，使得平面若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由8、（通州区2017届高三上学期期末）在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，平面平面，分别为中点.（）求证：/平面；（）求二面角的大小；（）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择、填空题1、C2、B3、C4、B5、B6、C7、8、B9、D二、解答题1、解：()证明：因为平面平面，且平面平面， 因为四边形为正
6、方形，在的延长线上， 所以. 因为平面， 所以平面. 4分()法一：连接. 因为是正方形， 所以. 因为平面， 所以. 因为， 所以平面. 所以. 所以异面直线与所成的角是. 9分法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示. 设则. 则. 所以. 因为， 所以. 所以异面直线与所成的角是. 9分 () 因为平面， 所以平面的法向量. 设平面的法向量. 因为， 所以，即. 设，则.所以. 因为 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 14分2、证明：（）连结，设，因为四边形为正方形，所以为中点设为的中点，连结，则，且由已知，且，所以所以四边形为平行四边形所以，即因为平面，平面，所以/平面
7、5分xzXyzXzzXPFADCBE（）由已知，所以因为二面角为直二面角，所以平面平面所以平面，所以四边形为正方形，所以所以两两垂直以为原点，分别为轴建立空间直 角坐标系（如图）因为，所以，所以（i）设平面的一个法向量为， 由 得即 取，得设直线与平面所成角为，则，因为，所以即直线与平面所成角的大小为 9分（ii）假设棱上存在点，使得平面 设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以 又，所以解得 因为，所以上存在点，使得平面，且（另解）假设棱上存在点，使得平面 设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以设平面的一个法向量为，则 由，得 取，得由，即，可得 解得因为，所以上存
8、在点，使得平面，且 14分3、解：（）因为，所以，1分又因为，所以平面3分所以平面平面4分（）取的中点，连接，5分因为为的中点，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，7分又平面，平面，所以平面8分（）过作于，连接因为，所以为中点，又因为平面平面，所以平面如图建立空间直角坐标系9分设由题意得，所以，设平面的法向量为，则即令，则所以11分因为与平面所成角为，所以，解得13分所以四棱锥的体积14分4、解：（）设与的交点为，连结因为为矩形，所以为的中点在中，由已知为中点，所以又平面，平面，所以平面 5分 （）取中点，连结因为是等腰三角形，为的中点，所以又因为平面平面，平面，所以平面取中点，连结，
9、由题设知四边形为矩形， 所以 所以1分如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即令，则， 所以平面的法向量为设的夹角为，所以由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为10分（）设是棱上一点，则存在使得因此点，由，即 因为，所以在棱上存在点，使得此时， 14分5、证明：（）取中点，连接， 因为是正方形，所以，. 因为分别是,中点，所以,. 又因为且， 所以， 所以四边形是平行四边形, .3分 所以. 又因为平面，平面 所以平面 .5分（）因为平面平面， 平面平面， ，平面， 所以平面 .6分 如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系 设，则 7
10、分 因为底面，所以平面的一个法向量为. .8分 设平面PFB的一个法向量为， , 则 即 令x=1，得，所以 .10分 由已知，二面角的余弦值为， 所以得 ， .11分 解得a =2,所以 .13分 因为是四棱锥的高， 所以其体积为 .14分6、解：（）直线/.证明：由题设可得，所以平面. 又因为平面，平面平面所以.法1：（）由已知，是边的中点，所以，因为，所以四边形是正方形，所以在图1中，所以结合题设可得，在图2中有，又因为，所以. 在平面内作垂直于，则.如图，建立空间直角坐标系，则，所以.设，则由可得，即解得.所以.（）设平面的法向量，则即令，则，所以，设直线与平面所成角为，则.法2：（）
11、由已知，是边的中点，所以，因为，所以四边形是正方形，所以在图1中，所以结合题设可得，在图2中有，又因为，所以.又因为，所以.若在直线上的点满足，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）（）由（II）可知两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，则，所以设平面的法向量，则即令，则，所以，设直线与平面所成角为，则.7、解：（）因为，所以因为在等腰梯形中，所以在四棱锥中，又，所以面因为面，所以3分因为等腰梯形中，且所以，所以所以因为=, 所以平面 5分PABCDxyz（）由（）知，面，如图，建立空间直角坐标系，5分所以，由（）知
12、，平面的法向量为，设为平面的一个法向量，则,即，再令，得=所以二面角的余弦值为 9分（）若线段上存在点，使得平面依题意可设,其中所以，由（）知，平面的一个法向量因为平面，所以，所以，解得所以，线段上存在点，使得平面14分8、（）证明：M，N分别是PB，PC中点MN是ABC的中位线MNBCAD又AD平面PAD，MN平面PAD所以MN平面PAD. .4分()过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB平面ABCD，所以PO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,B（1,0，0），N（,，），则，设平面CAM法向量为，由可得，令，则，即平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于.10分（）存在.11分设，则，由可得，所以在存在点，使得平面，此时.14分
