1、2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1下列关系中正确的个数为（）00；0； 0，10，1；a，b=b，aA1B2C3D42函数f（x）=ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）3设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）ABCD4已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）Ax+y=0Bxy=0Cx+y6=0Dxy+1=05下列函数中，在区间（0，+）上是减函数的是（）Ay=x2+2xBy=x3Cy=2x+1Dy=log2x6某四棱锥的三视
2、图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A32B16+16C48D16+327若0a1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（）Af（2）f（）f（）Bf（）f（2）f（）Cf（）f（2）f（）Df（）f（）f（2）8已知函数f（x）=在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）A（，2B2，0）C3，0）D3，29已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD10下列五个命题中，直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是过点M（3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为xy+8=0
3、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小60过点（3，0）和点（4，）的直线的倾斜角是120其中正确的个数是（）A1B2C3D411函数f（x）=loga（ax3）在1，3上单调递增，则a的取值范围是（）A（1，+）B（0，1）C（0，）D（3，+）12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）13正三角形ABC的边长为a，利用斜二
4、测画法得到的平面直观图为ABC，那么ABC的面积为 14若直线（a+1）x+y+2a=0不经过第二象限，则a的取值范围是 15无论a取何值时，方程（a1）xy+2a1=0表示的直线所过的定点是 16设f（x）为奇函数，且在（，0）上递减，f（2）=0，则xf（x）0的解集为 三、解答题：（共6小题，70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程；（2）直线l1：mx+y（m+1）=0和直线l2：x+my2m=0，已知l1l2，求平行直线l1，l2之间的距离18已知y=f（x）的定义域为1，4，f（1）=2，f（2）=3，当x1，2
5、时f（x）的图象为线段，当x2，4时f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象并求f（x）的值域19已知ABC的顶点坐标A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，求顶点C的坐标，|AC|的值，及直线BC的方程20如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小21如图，四棱锥C的底面是正方形，PA平面ABCD，PA=2，PDA=45，点E、F分
6、别为棱AB、PD的中点（1）求证：AF平面PEC（2）求证：平面PCD平面PEC；（3）求三棱锥CBEP的体积22如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1下列关系中正确的个数为
7、（）00；0； 0，10，1；a，b=b，aA1B2C3D4【考点】12：元素与集合关系的判断【分析】对于，考虑符号“”适用范围，对于，空集是任何非空集合的子集，对于，任何一个集合都是它本身的子集，对于，考虑到集合中元素的无序性即可【解答】解：对于，“”只适用于元素与集合间的关系，故错；对于，空集是任何非空集合的子集，应该是0，故错；对于，任何一个集合都是它本身的子集，故对；对于，考虑到集合中元素的无序性，它们是同样的集合，故正确故选B2函数f（x）=ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】将选项中各区间两端点
8、值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（0）=10，f（1）=e10，所以零点在区间（0，1）上，故选C3设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）ABCD【考点】4H：对数的运算性质【分析】先用换底公式把log512转化为，再由对数的运算法则知原式为=，可得答案【解答】解：log512=故选C4已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）Ax+y=0Bxy=0Cx+y6=0Dxy+1=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l
9、的方程【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线 线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k=1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y=1（x），即xy+1=0，故选 D5下列函数中，在区间（0，+）上是减函数的是（）Ay=x2+2xBy=x3Cy=2x+1Dy=log2x【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点【分析】考查四个选项，涉及到的函数分别是二次函数，一次函数，指数函数，对数函数，根据每个函数的特征依据其性质对其单调性作出判断，得正正确选项即可【解答】解：A选项不正确，此二次函数在区间（0，+）上不是减函数；B选项不正确，此三次函数在区间（0，+）上是增函数；C选项正确，由
10、于y=2x+1=其底数是小于1的正数，故所给指数函数是一个减函数，在区间（0，+）上是减函数；D选项不正确，由对数函数的底数大于1，故其在区间（0，+）上是增函数故选C6某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A32B16+16C48D16+32【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，高为2，求出侧高后，代入棱锥表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，故底面面积为：16，棱锥的高为2，故棱锥的侧高为： =2，故棱锥的侧面积为：44=16，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B
11、7若0a1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（）Af（2）f（）f（）Bf（）f（2）f（）Cf（）f（2）f（）Df（）f（）f（2）【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点【分析】由0a1，将f（2）转化为loga，将f（）转化为loga，将f（）转化为loga，再利用对数函数f（x）=logax在（0，+）上是减函数得到结论【解答】解：0a1f（2）=|loga2|=|loga|=logaf（）=|loga|=logaf（）=|loga|=loga，0a1，函数f（x）=logax，在（0，+）上是减函数，f（）f（）f（2）故选D8已知函数f（x）=在（，+）上是增函
12、数，则a的取值范围是（）A（，2B2，0）C3，0）D3，2【考点】3F：函数单调性的性质【分析】根据分段函数的性质，f（x）=在（，+）上是增函数，二次函数开口向下，是增函函，故得对称轴x=1，那么反比例函数在（1，+）必然是增函数从而求解a的取值范围【解答】解：由题意：函数f（x）=在（，+）上是增函数，二次函数x2ax5，开口向下，是增函函，故得对称轴x=1，解得：a2反比例函数在（1，+）必然是增函数，则：a0；又函数f（x）是增函数，则有：，解得：a3所以：a的取值范围3，2故选D9已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2
13、，则此棱锥的体积为（）ABCD【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，OO1=，高SD=2OO1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，V=，故选：A10下列五个命题中，直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是过点M（3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为xy+8=0在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，A
14、D的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小60过点（3，0）和点（4，）的直线的倾斜角是120其中正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】对5个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】对于，直线x+2y+3=0与直线2x+4y+1=0的距离是，故正确对于，过点M（3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为xy+8=0或5x+3y=0故错对于，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则E（2，1，0），F（1，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，0），=（
15、2，0，2），cos，=，异面直线B1C与EF所成的角的大小60，正确对于，过点（3，0）和点（4，）的直线的斜率为，倾斜角是120，正确；故选：C11函数f（x）=loga（ax3）在1，3上单调递增，则a的取值范围是（）A（1，+）B（0，1）C（0，）D（3，+）【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点【分析】由题意可得可得a1，且a30，由此求得a的范围【解答】解：函数f（x）=loga（ax3）在1，3上单调递增，而函数t=ax3在1，3上单调递增，根据复合函数的单调性可得a1，且a30，求得a3，故选：D12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，
16、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由线面垂直证得两线垂直判断A；由线面平行的定义证得线面平行判断B；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断C；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得AEF的面积与BEF的面积不相等判断D【解答】解：对于A，由题意及图形知，AC面DD1B1B，故可得出ACBE，故A正确；对于B，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，故B正确；对于C，由几
17、何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，故C正确；对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确，故D错误错误命题是D故选：D二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）13正三角形ABC的边长为a，利用斜二测画法得到的平面直观图为ABC，那么ABC的面积为【考点】LB：平面图形的直观图【分析】斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以【解答】解：正三角形ABC的边长为a，=，=故答案为：14若直线（a+1）x+y+2a=0不经过第二象限，则a的取值范围是a1【考点】
18、IG：直线的一般式方程【分析】由于直线l：（a+1）x+y+2a=0不经过第二象限，可得（a+1）0，解出即可【解答】解：直线l：（a+1）x+y+2a=0化为y=（a+1）x2+a直线l：（a+1）x+y+2a=0不经过第二象限，（a+1）0，且a20，解得a1实数a的取值范围为（，1故答案为：（，115无论a取何值时，方程（a1）xy+2a1=0表示的直线所过的定点是（2，1）【考点】IP：恒过定点的直线【分析】方程即 a（x+2）+（xy+1）=0，由解得定点坐标【解答】解：方程（a1）xy+2a1=0（aR） 即 a（x+2）+（xy1）=0，由，解得：定点坐标为（2，1），故答案为
19、（2，1）16设f（x）为奇函数，且在（，0）上递减，f（2）=0，则xf（x）0的解集为（，2）（2，+）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】易判断f（x）在（，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式【解答】解：f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（，0）上递减，f（x）在（0，+）上递减，由f（2）=0，得f（2）=f（2）=0，即f（2）=0，由f（0）=f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）0或，解得x2或x2，xf（x）0的解集为：（，2）（2，+）故答案为：（，2）（2，+）三、解答题：（共6小题，
20、70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程；（2）直线l1：mx+y（m+1）=0和直线l2：x+my2m=0，已知l1l2，求平行直线l1，l2之间的距离【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系；IU：两条平行直线间的距离【分析】（1）设所求直线的方程为y=x+b，由此求出纵截距y=b，横截距x=b，由已知得|b（b）|=6，由此能求出直线方程（2）根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，即可得到使l1l2的实数m的值【解答】解：（1）设所求直线的方程为y=x+b，令x=0，得y=b，令y=0，得x=b，由已知，得
21、|b（b）|=6，即b2=6，解得b=3故所求的直线方程是y=x3，即3x4y12=0（2）解：当直线l1l2时， =解之得m=1（m=1时两直线重合，不合题意，舍去），直线l1：xy=0和直线l2：xy+2=0，两条平行线之间的距离为：d=18已知y=f（x）的定义域为1，4，f（1）=2，f（2）=3，当x1，2时f（x）的图象为线段，当x2，4时f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象并求f（x）的值域【考点】3W：二次函数的性质；36：函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）当x1，2时f（x）的图象为线段，由此能求出x
22、2，4时，f（x）的图象为二次函数的一部分，且顶点为（3，1），由此能求出f（x）=2（x3）2+1（2）当x1，2，2f（x）3，当x2，4，1f（x）3，由此能求出f（x）的值域【解答】解：（1）当x1，2时f（x）的图象为线段，设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3a+b=2，2a+b=3，解得a=1，b=1，f（x）=x+1，当x2，4时，f（x）的图象为二次函数的一部分，且顶点为（3，1），设f（x）=a（x3）2+1，又f（2）=3，所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x3）2+1（2）由（1），f（x）的图象如图所示：当x1，2，2f（x）3，当x2，4，1
23、f（x）3，所以1f（x）3故f（x）的值域为1，319已知ABC的顶点坐标A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，求顶点C的坐标，|AC|的值，及直线BC的方程【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】令直线AC边所在的直线斜率为k，则k=1，从而直线AC的方程为2x+y11=0解方程组，能求出顶点C的坐标根据两点间的距离公式即可求出；设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2xy5=0对称，又点B在直线BH上，能求出x0=1，y0=3，由两点式，得直线BC的方程【解答】解：令直线AC边所在的直线斜率为k，
24、AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，k=1，解得k=2，直线AC的方程为：y1=2（x5），即，2x+y11=0AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，解方程组，得x=4，y=3，顶点C的坐标为（4，3）|AC|=设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2xy5=0对称，又点B在直线BH上，x02y05=0，x0=1，y0=3，所以，由两点式，得直线BC的方程为：，整理，得6x5y9=020如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【考点
25、】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角【分析】（）欲证平面AEC平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC平面PDB；（）设ACBD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可【解答】（）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB（）解：设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在R
26、tAOE中，AEO=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为4521如图，四棱锥C的底面是正方形，PA平面ABCD，PA=2，PDA=45，点E、F分别为棱AB、PD的中点（1）求证：AF平面PEC（2）求证：平面PCD平面PEC；（3）求三棱锥CBEP的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）取PC的中点G，利用线面平行的判定定理，证明AFEG即可；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PCE平面PCD；（3）三棱锥CBEP的体积可转化成三棱锥PBCE的体积，而PA底面ABCD，从而PA即为三棱锥PBCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可【解答
27、】（1）证明：取PC的中点G，连结FG、EG，FG为CDP的中位线，则FGCD，FG=四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AE=，FGAE，且FG=AE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE；（2）PA底面ABCD，PAAD，PACD，又ADCD，PAAD=A，CD平面ADP，又AF平面ADP，CDAF在直角三角形PAD中，PDA=45，PAD为等腰直角三角形，PA=AD=2F是PD的中点，AFPD，又CDPD=DAF平面PCDAFEG，EG平面PCD，又EG平面PCE，平面PCE平面PCD；（3）PA底面ABCD，即PA是三棱锥PB
28、CE的高，在RtBCE中，BE=1，BC=2，三棱锥CBEP的体积VCBEP=VPBCE=SBCEPA=BEBCPA=122=22如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线P
29、O垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用VpDQC=VQPCD，即可得出结论【解答】（1）证明：在PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以POAD又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BCAD，AD=2AB=2BC，有ODBC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC由（1）知POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角因为AD=2AB=2BC=2，在RtAOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，在RtPOA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，在RtPBO中，PB=，所以cosPBO=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设QD=x，则SDQC=x，由（2）得CD=OB=，在RtPOC中，PC=，所以PC=CD=DP，SPCD=，由VpDQC=VQPCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时=
