1、2011年高三数学一轮复习精品导学案：第八章 平面解析几何第二节 直线与圆【高考目标定位】一、圆的方程（一）考纲点击1、掌握确定圆的几何要素；2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。（二）热点提示1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；2、直线和圆的位置关系是考查的热点；3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。（二）热点提示1、直线与圆，圆与圆的位置关系一直是
2、高考考查的重点和热点问题，主要考查：（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。【考纲知识梳理】一、圆的方程1圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程圆心坐标（a,b）半径r注：方程表示圆的充要条件是3点与圆的位置关系已知圆的方程为，点。则：（1）点在圆上：；（2）点在圆外：；（3）点在圆内：。4确定圆的方程方法和步骤确定圆
3、的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）二、直线、圆的位置关系1直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个几何特征（圆心到直线的距离，半径）
4、代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。2圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210几何特征（圆心距，两圆半径，）代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【热点难点精析】一、圆的方程（一）圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.2如果已知条件
5、中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。3以为直径的两端点的圆的方程为注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。例题解析例求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐
6、。解答：（方法一） 设所求的圆的方程是，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为，即由于所求的圆与x轴相切，又因为所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0联立，解得a=1,b=3,=9或a=-1,b=-3, =9.故所求的圆的方程是：（方法二）设所求的圆的方程是=0，圆心为，半径为令y=0，得=0，由圆与x轴相切，得=0，即又圆心到直线x-y=0的距离为由已知，得即又圆心在直线3x-y=0上，3D-E=0联立，解得D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。故所求圆的方程是=0或（二）与圆有关的最值问题相关链接1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。
7、如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。2特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。例题解析例已知实数、满足方程。（1）求的最大值和最小值；（2）求-的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值。思路解析：化，满足的关系为理解，-，的几何意义根据几何意义分别求之。解答：（1）原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=，即
8、。当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得=。所以的最大值为，最小值为（2）-可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得。所以-的最大值为，最小值为。（3）表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是。（三）与圆有关的轨迹问题相关链接1解决轨迹问题，应注意以下几点：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相
9、关的点设为等。（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。2求轨迹方程的一般步骤：（1）建系：设动点坐标为（x,y）；（2）列出几何等式；（3）用坐标表示得到方程；（4）化简方程；（5）除去不合题意的点，作答。例题解析例设定点M（-3，4），动点N在圆上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。解答：如图所示，设P（x,y），N，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。因为平行四边形的对角线互相平分，故。
10、N（x+3,y-4）在圆上，故。因此所求轨迹为圆：，担应除去两点：（点P在OM所在的直线上时的情况）。（四）有关圆的实际应用例有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。解答：如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原
11、点建立直角坐标系，|AB=10，A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，3a=a.化简整理，得（1）当P点在以（-，0）为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。（2）当P点在上述圆内时，当P点在上述圆外时，注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系相关链接直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方
12、程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即0直线与圆相交;=0直线与圆相切;0直线与圆相离.（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即dr直线与圆相切；d=r直线与圆相离。例题解析例已知圆（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用
13、几何法计算弦长。解答：（1）配方得：设圆心为(x,y)，则，消去m得则圆心恒在直线。（2）设与平行的直线是：，（3）对于任一条平行于且与圆相交的直线：，由于圆心到直线的距离（与m无关）。弦长=任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。（二）圆与圆的位置关系相关链接1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；2若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项即可得到；3两圆公切线的条数（如下图）（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为
14、3；（5）两圆相离时，公切线条数为4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。例题解析例求经过两圆和的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程思路解析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为展开、配方、整理，得+=+圆心为，代入方程xy4=0，得=7故所求圆的方程为注：圆C1：x2+y2+
15、D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1） （三）圆的切线及弦长问题相关链接1求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式=0进而求得k。几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存
16、在时的情况。（2）若点在圆上，则M点的圆的切线方程为。2圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。（2）代数法：设直线与圆相交于两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得则弦长为。（四）直线、圆位置关系的综合应用例如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的方程解答：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为-3分（II）由解得点的坐标为， -4分因为矩形两条对角线
17、的交点为所以为矩形外接圆的圆心 -6分又从而矩形外接圆的方程为-9分（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即-11分故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为 -14分【感悟高考真题】1（2010江西理数）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除
18、B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A 2（2010安徽理数）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、B、C、D、和9.D【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。OMNEAB【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.3（2010全国卷
19、2文数）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 。【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3，球半径为4，小圆N的半径为，小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB， NE=，同理可得，在直角三角形ONE中， NE=，ON=3， ， ， MN=34（2008江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令0，得抛物线与轴交
20、点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）【考点精题精练】一、选择题1直线与圆相切，则的值为（ A ）A. 0 B. C.2 D. 2已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（C）A.(x1)2y21 B.x2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)213（
21、上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、成等比数列，则的取值范围为-（ B ）（A） （B） （C） （D）4（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为-（ B ）A 4 B 5 C 6 D 75直线x+y+1=0与圆的位置关系是 （ C ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定答案：C提示：圆心，6两圆的位置关系是（ B ）A内切B外切C相离D内含7已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k 0）上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PA
22、CB的最小面积是2，则k的值为（ D ）A3BCD2答案：D8经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为（A）A B C. D9已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为（B）(A) (B) (C) (D) 10已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线相切，则圆的方程是（ A ）ABCD11若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为原点)，则k的值为（A）A、 B、 C、 D、12如图，点P(3，4)为圆上的一点，点E，F为y轴上的两点，PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sinDA
23、O的值为 ( A )A B C D二、填空题13圆C: （为参数）的圆心坐标是 ；若直线与圆C相切，则的值为 0 .14如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，则圆O的面积等于15（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知实数成等差数列，点在直线上的射影是Q，则Q的轨迹方程是_。 16(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)已知直线与圆相交于、两点，则= 三、解答题17已知A是圆上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P.(1)求点P的轨迹方程;(2)若(1)所求得的点P的轨迹为M,过点Q(,0)作直线l交轨迹M于E、G
24、两点，O为坐标原点，求EOG的面积的最大值，并求出此时直线l的倾斜角.解答:(1)设点A的坐标为A(2cosa，2sina)，则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为(x2cosa)2 + (y2sina)2 = 4sin2a 1分联立已知圆x2 + y2 = 4的方程，相减，可得公共弦CD的方程为xcosa + ysina = 1+ cos2a (1) 3分而AB的方程是 x = 2cosa (2)所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cosa，sina)，消去a，即得点P的轨迹方程为x2 + 4y2 = 4 5分说明： 设A(m，n)亦可类似地解决 (2) EOG的最大面积为1. 9分此时直
25、线l的倾斜角为45或135. 10分18设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).（1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；（2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.解答：（1），-2分代入-非所问- 4分当时，点 在圆上- -5分（2）在椭圆上，即可设- -7分又，于是（令）点在双曲线上 -10分（3）圆的方程为设由 -12分又，-14分又原点到直线距离 ，即原点到直线的距离恒为直线恒与圆相切。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
