1、第四节数列求和、数列的综合应用考点一数列求和1.(2012课标全国，12)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案D2.(2015江苏，11)设数列an满足a11，且a
2、n1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_.解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上n1个式子相加得ana123n，即an，令bn，故bn2，故S10b1b2b102.答案3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38.又a1a49.可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.4.(2015福建，17)在等差数列an中，a2
3、4，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值.解(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.5.(2015天津，18)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.解(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意q0.
4、由已知，有消去d，整理得q42q280，又因为q0，解得q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.6.(2015山东，19)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列
5、bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.7.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*).(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当
6、n2时，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*).(2)由(1)知anbnn2n.因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).8.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故
7、对一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).从而S2n1S2na2n23n1(53n21).综上所述，Sn9.(2014安徽，18)数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.(1)证明由已知可得1，即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)解由
8、(1)得1(n1)1n，所以ann2.从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.所以Sn.10.(2014新课标全国，17)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)方程x25x60的两根为2，3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1. (2) 设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.11.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差
9、d2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1).所以Tn122334(1)nn(n1).因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn12.(2013重庆，16)设数列an满足：a11，an13an，nN(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列
10、，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解(1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn(3n1).(2)b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差d5，故T2020351 010.考点二数列的综合问题1.(2012四川，12)设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7等于()A.0 B.7 C.14 D.21解析f(x)(x3)3x1(x3)3(x3)2，而yx3x是单调递增的奇函数，f(x)(x3)3(x3)2是关于点(3，2)成中心对称的增函数.又an是等差数列，f(
11、a1)f(a2)f(a7)1472，f(a4)2，即(a43)3(a43)22，a43，a1a2a77a421.答案D2.(2015浙江，10)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.解析因为a2，a3，a7成等比数列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d，2a1a21，2a1a1d1即3a1d1，a1，d1.答案13.(2015北京，16)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7；问：b6与数列an的第几项相等？解(1)设等差数列an的公差
12、为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1，2，).(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63，所以bn与数列an的第63项相等.4.(2015重庆，18)已知等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d，则由已知条件得a12d2，3a1d，化简得a12d2，a1d，解得a11，d，故通项公式an1，即an.(2)由(1)得b11，
13、b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1.5.(2015广东，19)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式.(1)解当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得：a4.(2)证明因为4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)，因为4a3a14164a2，所以4an2an4an1，因为，所以数列是以a2a11为首项，公比为的等比数列.(3)解由
14、(2)知；数列是以a2a11为首项，公比为的等比数列，所以an1an，即4，所以数列是以2为首项，公差为4的等差数列，所以2(n1)44n2，即an(4n2)(2n1)，所以数列an的通项公式是an(2n1).6.(2015湖北，19)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.7.(2014广东，19)设各项均为正数的数列an
15、的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13(121)0，可得有SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221，所以an2n.(3)证明当n1时，成立；当n 2时，所以.所以对一切正整数n，有.
