1、2.2.2等差数列的前n项和一、非标准1.在等差数列an中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220解析:(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,a1+a20=18.则S20=1018=180.答案:B2.已知某等差数列an共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2解析:由解得d=3.答案:C3.等差数列an的公差d0,且,则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n
2、是()A.5B.6C.5或6D.6或7解析:由,得(a1+a11)(a1-a11)=0.又d,与凸多边形矛盾.答案:A5.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN+)的直线的斜率是()A.4B.3C.2D.1答案:A6.设Sn是等差数列an的前n项和,若,则等于()A.B.C.D.解析:由等差数列的前n项和公式可得,可得a1=2d,且d0,所以,故选A.答案:A7.设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意,得4a1+d=14,又=30,联立解
3、得a1=2,d=1,所以S9=92+1=54.答案:548.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)(4n+27),则它们的第11项之比为.解析:设等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,则a11=,b11=,.答案:439.(2014江西高考)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为.解析:由题意知当d0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,Sn取最大值,解得-1d0,S130,S130得到不等式组即可解决;本题(2)由da2a12a13,可知数列前面的项为正,后面的项为负,加上正数,和变大;
4、加上负数,和变小.因此在1n12中,若存在自然数n,使an0,an+10,则可判定Sn是最大值.解:(1)根据题意,得整理得解得-d-3.d的取值范围是.(2)法一:da2a3a4a12a13,而S13=13a70,a70,a60.数列an的前6项的和S6最大.法二:a1=12-2d,Sn=n2+n.考察二次函数y=x2+x.d0,-,当x=时,y有最大值.-d-3,6.nN+,当n=6时,Sn最大,即数列的前6项和最大.12.数列an是各项为正数的数列,前n项和为Sn,且2=an+2.(1)求证:an是等差数列;(2)令bn=,数列bn的前n项和为Bn,求证:Bn0,an+an-10.an-an-1-4=0,an-an-1=4.an是等差数列.(2)令n=1,有2=a1+2,2=a1+2,a1=2.故an=2+(n-1)4=4n-2,bn=.Bn=b1+b2+bn=.Bn.
