1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1考查空间线面平行、垂直关系的判断2考查空间线面平行、垂直关系与命题或充要条件相结合 考点梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(
2、1)空间两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况【助学微博】一个理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行(2)
3、不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线两种判定方法异面直线的判定方法(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面考点自测1下列命题是真命题的是()A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确答案D2和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A
4、异面 B相交C平行 D异面或相交答案D3三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A0 B1 C0或1 D1或3答案D4空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则为()A60 B120 C30 D60或120解析由等角定理可知60或120.答案D5如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案24 考向一平面的基本性质及其应用【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求
5、证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点审题视点 (1)由EFCD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证PAD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFA1B.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE、D1F、DA三线共点 (1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(
6、或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S
7、四点不共面答案 考向二空间中两直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_审题视点 还原成正四面体来判断解析如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解
8、决【训练2】 在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面答案 考向三异面直线所成角【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小审题视点 (1)把A1C1平移到底面，再连AB1可求；(2)把A1C
9、1平移到底面，连BD可求解(1)如图，连接AC、AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图，连接BD，由(1)知ACA1C1.AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，即所求角为90. 找异面直线所成的角的方法一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移【训练3】 如图，A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，A
10、D的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45. 热点突破18准确判断空间点、线、面的位置关系 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，主要结合线线、线面和面面平行与垂直
11、的判定和性质考查点、线、面的位置关系，题目多为中、低档题，主要以选择题或填空题的形式出现【真题探究】 (2012浙江)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l教你审题 根据空间线面、面面、平行判定性质、垂直判定性质逐个进行判断注意空间位置关系的各种可能情况解法 若l，l，则，可能相交，故A错；若l，则平面内必存在一直线m与l平行，又l，则m，又m，故，故B对；若，l，则l或l，故C错；若，l，则l与关系不确定，故D错答案 B反思 对于空间点、线、面的位置关系的判定与应用问题，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，特别是对于选择
12、题，显得更为有效【试一试】 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：若m，则m；若，m，则m；若n，n，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的序号是()A B C D解析若m，则m或m，或m与相交，故不正确；若，m，则m或m，m或m与相交，故不正确，故选D.答案D A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线
13、必无公共点答案A2若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ()A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案D3以下四个命题中，正确命题的个数是 ()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，
14、因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案B4在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 ()AA1、M、O三点共线 BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直
15、的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)解析只有当ab时，a，b在上的射影才可能是同一条直线，故错，其余都有可能答案6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案三、解答题(共25分)7(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB
16、90，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面8(13分)在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点
17、在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中，这样的直线有几条，应该如何作图？解(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)B1D1BD，lB1D1，l直线BD.图(a)(2)BDB1D1，直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线，如图(b)由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角.当时，这样的直线m有且只有一条，当时，这样的直线m有两条图(b)B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013吉林一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
18、()AABCD BAB与CD相交CABCD DAB与CD所成的角为60解析如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确正确选项为D.图(b)中，DEAB，CDE为AB与CD所成的角，CDE为等边三角形，CDE60.答案D2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ()A45 B60C90 D120解析如图，连接AB1，易知AB1EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则
19、GHAB1EF.设ABBCAA1a，连接HB，在GHB中，易知GHHBGBa，故两直线所成的角即为HGB60.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案ACBDACBD且ACBD4在
20、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数三、解答题(共25分)5(12分)如图，在四面体
21、ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线证明MPQ，直线PQ平面PQR，MBC，直线BC面BCD，M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上同理可证：N、K也在l上M、N、K三点共线6(13分)在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60，在RtPOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面积S菱形ABCD2.四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos 30OP，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，cosDEF.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()高考资源网版权所有 侵权必究
