1、第4章幂函数、指数函数和对数函数4.3对数函数4.3.2对数的运算法则课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=()A.B.1C.2D.3答案D解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.2.(2021吉林公主岭高一期末)log2+lg 25+lg 4+9.80=()A.1B.4C.5D.7答案C解析原式=log22+lg(254)+1=2+2+1=5.故选C.3.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x0,y0,n0,mR,则下列各式恒等的是()A.lg x+lg y=lg(x+y)B.lg=lg x-lg yC.loym=lo
2、gxyD.lg答案BCD解析因为x0,y0,n0,mR,则lg x+lg y=lg(xy),故A错误;lg=lg x-lg y,故B正确;loym=logxy,故C正确;lg ,故D正确.故选BCD.4.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x2y0),则的值为()A.4B.1或C.1或4D.答案D解析2lg(x-2y)=lg x+lg y(x2y0),lg(x-2y)2=lg xy,(x-2y)2=xy,x2-5xy+4y2=0,(x-y)(x-4y)=0,x=y或x=4y.x-2y0,且x0,y0,xy,.5.计算:2+lg 4+2lg 5-eln 3=.答案2解析由题意得2+lg 4
3、+2lg 5-eln 3=(33+(lg 4+lg 25)-eln 3=3+2-3=2.6.log35log46log57log68log79=.答案3解析log35log46log57log68log79=3.7.计算:(1);(2)lg-lg+lg-log92log43.解(1)原式=1.(2)(方法1)原式=lg+lg=lg=lg 1-=-.(方法2)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lg 2+lg 4)+lg 8-=-lg(24)+lg 8-=-.关键能力提升练8.(2021北京昌平高一期末)已知2x=
4、3,log2=y,则2x+y=()A.3B.4C.8D.9答案A解析由2x=3可知x=log23,且y=log2.2x+y=2log23+log2=log232=log28=3.9.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为()A.B.C.D.答案C解析根据换底公式和对数运算性质得log212=.故选C.10.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.D.答案AD解析由题意,设4a=6b=9c=k(k0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=
5、2,因为=log69+36=2,故A正确,B错误;对于选项C,=2lo4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误;对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.11.解下列对数方程:(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,得即解得x=2或x=-9(舍).(2)由logx4+log2x=3(x0,且x1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.当t=1时,可得
6、log2x=1,即x=2;当t=2时,可得log2x=2,即x=4.经检验x=2,x=4均符合题意.故原方程的解为x=2或x=4.12.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)(参考数据:ln 0.2-1.61,ln
7、 0.3-1.20,ln 0.4-0.92,ln 0.5-0.69,ln 0.9-0.11)解(1)由已知得当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9(或k0.022).(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,有0.3P0=P0,解得t=55.故污染物减少到30%至少需要55 h.学科素养创新练13.已知2ylogy4-2y-1=0(y0,y1),log5x=-1(x0,x1),是否存在一个正数P,使得P=?解存在.由2ylogy4-2y-1=0,得2y=0,logy4=,即y=16.由log5x=-1,得=-,即=-logx50.(logx5+1)=(logx5)2,整理得2(logx5)2-logx5-1=0,解得logx5=-(logx5=1舍去),=25.从而P=3,即存在一个正数P=3,使得P=成立.
